李政宵，謝遠(yuǎn)濤，蔣 濤

(1.中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院,北京100872；2.對(duì)外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)a.保險(xiǎn)學(xué)院b.金融學(xué)院，北京100029)

0 引言

在許多團(tuán)體保險(xiǎn)業(yè)務(wù)中，保單之間通常具有很強(qiáng)的相關(guān)性，使得傳統(tǒng)信度模型在定價(jià)過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)一定的偏差。同時(shí)傳統(tǒng)的信度模型運(yùn)用非參數(shù)估計(jì)的方法估計(jì)結(jié)構(gòu)參數(shù)，使得在實(shí)際運(yùn)用中誤差偏大。Frees（1999,2001）[1]認(rèn)為基于縱向數(shù)據(jù)在線性混合模型下的隨機(jī)效應(yīng)的最佳線性無(wú)偏預(yù)測(cè)（BLUP）[2]可以分解出信度因子，并將B-S信度，Jewell分層信度[3]和Hachemeister回歸信度作為混合模型的特例進(jìn)行實(shí)證研究[4]。至此，線性混合模型逐漸代替信度模型成為廣泛使用的經(jīng)驗(yàn)費(fèi)率厘定的工具。

本文從傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)的思路出發(fā)，擴(kuò)展了Frees（1999，2001）的研究，認(rèn)為隨機(jī)效應(yīng)和殘差間的相關(guān)性不再局限于特殊的形式。通過(guò)引入四種不同的協(xié)方差矩陣，解釋縱向數(shù)據(jù)之中存在的四種不同的相關(guān)結(jié)構(gòu)。本文發(fā)現(xiàn)，數(shù)據(jù)間的相關(guān)結(jié)構(gòu)會(huì)影響信度保費(fèi)預(yù)測(cè)值的表達(dá)式。雖然信度預(yù)測(cè)值不再以線性形式表出，但是仍然能從理論上分解出信度因子，并滿足信度因子的特性。最后本文運(yùn)用Hachemeister(1975)的縱向數(shù)據(jù)，探究不同形式協(xié)方差矩陣下隨機(jī)效應(yīng)和固定效應(yīng)的估計(jì)值以及信度因子的“收縮效應(yīng)”，分析了數(shù)據(jù)間相關(guān)性對(duì)信度表達(dá)式的影響，為信度模型擴(kuò)展提供相應(yīng)的理論依據(jù)。

1 線性混合模型

在非壽險(xiǎn)精算中經(jīng)驗(yàn)費(fèi)率厘定中，信度定價(jià)基本的思想是在經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)和整體保單組合信息的基礎(chǔ)上，預(yù)測(cè)個(gè)體的未來(lái)賠款額度。而線性混合模型可以用來(lái)對(duì)縱向數(shù)據(jù)建模并預(yù)測(cè)，固定效應(yīng)包含了個(gè)體歷史經(jīng)驗(yàn)信息，隨機(jī)效應(yīng)則用來(lái)描述同一風(fēng)險(xiǎn)類別下保單的異質(zhì)性（隱藏的風(fēng)險(xiǎn)特征）。因此，本文可以將線性混合模型和信度理論結(jié)合起來(lái)一起研究。

線性混合模型表示如下：

其中yit表示第i個(gè)個(gè)體在時(shí)間t的數(shù)據(jù)，i=1，2，...，n ，t=1，2，...，T（假設(shè)每個(gè)體都包含T 個(gè)觀察值），xit為固定效應(yīng)解釋變量，zit為隨機(jī)效應(yīng)解釋變量

矩陣形式表示如下：

y=Xβ+Zu+ε

其中殘差和隨機(jī)效應(yīng)滿足下述假定：

（1）E(εi)=0 Var(εi)=Ri

（2）ui為隨機(jī)變量，期望與方差表示為 E(ui)=0,Var(ui)=Di

（3）殘差與隨機(jī)效應(yīng)獨(dú)立，即 Cov(εi，ui)=0

響應(yīng)變量y的協(xié)方差矩陣由兩部分構(gòu)成：殘差的協(xié)方差矩陣R以及隨機(jī)效應(yīng)的協(xié)方差矩陣ZDZ'。固定效應(yīng)值影響y的期望值，隨機(jī)效應(yīng)只影響y的方差，衡量了數(shù)據(jù)間的離散程度。在信度理論中，固定效應(yīng)可以解釋為索賠平均值，信度預(yù)測(cè)值在均值的基礎(chǔ)上通過(guò)隨機(jī)效應(yīng)進(jìn)行調(diào)整。為了研究方便，本文假設(shè) y的方差為：Var(y)=V=ZDZ'+R。因此響應(yīng)變量 y服從期望為Xβ，方差為V 的多元分布，即 y～(Xβ，V)。

2 風(fēng)險(xiǎn)相依的信度模型

2.1 信度模型預(yù)期保費(fèi)

保險(xiǎn)數(shù)據(jù)的形式通常以縱向數(shù)據(jù)為主。下面根據(jù)線性混合模型的基本假定，建立縱向數(shù)據(jù)模型。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)為平衡數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（Balanced data），即每個(gè)單位個(gè)體有相同的觀察值，將個(gè)體記為 i（i=1，2，...，n），觀察值個(gè)數(shù)記為 j（T=1，2，...，T）。

第i個(gè)單位觀察值矩陣記為：

2.2 風(fēng)險(xiǎn)相依的信度模型

2.2.1 風(fēng)險(xiǎn)個(gè)體i之間獨(dú)立不相關(guān)

此時(shí)，隨機(jī)效應(yīng)相關(guān)系數(shù)滿足ρu=0。y的方差矩陣簡(jiǎn)化為

2.2.2 個(gè)體間獨(dú)立不相關(guān)，并且單位個(gè)體在不同時(shí)間上的觀察值也不相關(guān)。

此時(shí)滿足隨機(jī)效應(yīng)之間的相關(guān)系數(shù)ρu=0，殘差的協(xié)方差矩陣滿足：

2.2.3 個(gè)體之間獨(dú)立不相關(guān)，即ρu=0。但是特定的風(fēng)險(xiǎn)個(gè)體在不同時(shí)間上的觀察值存在相關(guān)性。

殘差的協(xié)方差矩陣表示為

綜上所述，本文考慮了以上四種數(shù)據(jù)間的相關(guān)性情況，認(rèn)為如果個(gè)體間和個(gè)體歷史觀察值之間都分別不相關(guān)，用線性混合模型得到的預(yù)測(cè)值可以分解為標(biāo)準(zhǔn)的Bühlmann信度公式,見(jiàn)表1。歷史觀察值之間的相關(guān)性會(huì)導(dǎo)致隨機(jī)效應(yīng)的方差減小；相關(guān)性越高，個(gè)體之間的風(fēng)險(xiǎn)同質(zhì)性越強(qiáng)，賦予其他個(gè)體間信息的權(quán)重越高；反之，相關(guān)性越低，個(gè)體之間風(fēng)險(xiǎn)異質(zhì)性越強(qiáng)，賦予個(gè)體歷史經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)的信息的權(quán)重越高。另外，不同個(gè)體之間的相關(guān)性也會(huì)影響信度預(yù)測(cè)值的表達(dá)值。雖然信度預(yù)測(cè)值不能分離出信度因子的表達(dá)式，但預(yù)測(cè)值仍然可以看作個(gè)體歷史數(shù)據(jù)信息和組合信息根據(jù)權(quán)重進(jìn)行調(diào)整，該權(quán)重從廣義上仍然可以解釋為信度因子。

2.3 特例B-S信度公式

本文探討了數(shù)據(jù)在組間和組內(nèi)都不相關(guān)的假設(shè)下，估計(jì)結(jié)果可以由Bühlmann信度公式完全表示出。下面，沿著協(xié)方差矩陣形式（2）：個(gè)體間獨(dú)立不相關(guān)，不同觀察值間殘差也不相關(guān)，將索賠頻率作為殘差協(xié)方差的權(quán)重引入線性混合模型模型中，殘差協(xié)方差矩陣形式調(diào)整為：

B-S信度公式不同于傳統(tǒng)Bühlmann信度公式在于：引入索賠頻率作為殘差協(xié)方差矩陣的權(quán)重后，信度因子不再是單一的值，而是隨著個(gè)體i的不同而不同，即滿足不同個(gè)體i都存在一個(gè)信度因子zi，對(duì)該個(gè)體的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)和分類費(fèi)率進(jìn)行調(diào)整。

2.4 實(shí)證分析

數(shù)據(jù)集包含美國(guó)6個(gè)州、12個(gè)月的汽車索賠強(qiáng)度和索賠次數(shù)的縱向數(shù)據(jù)。在線性混合模型的框架下，將每個(gè)州視為一個(gè)單位個(gè)體i，每個(gè)個(gè)體的觀察值T=12。本文選擇特例的B-S信度公式作為模型，引入索賠頻率對(duì)殘差協(xié)方差矩陣調(diào)整。

運(yùn)用SAS統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行參數(shù)和方差估計(jì)，利用SAS中協(xié)方差矩陣（UN）的設(shè)定，在受限極大似然估計(jì)（REML）的估計(jì)方法下，得到固定效應(yīng)的估計(jì)值（BLUE）和隨機(jī)效應(yīng)的預(yù)測(cè)值（BLUP）（見(jiàn)表2）。

Frees（2001）指出通常情況下，信度因子具有“收縮效應(yīng)”：個(gè)體經(jīng)驗(yàn)信息在信度預(yù)測(cè)值計(jì)算中起決定性作用，整體信息只是通過(guò)很小的權(quán)重進(jìn)行調(diào)整，使得整體信息的定價(jià)作用收縮。根據(jù)實(shí)證結(jié)果，本文將得到的實(shí)際信度預(yù)測(cè)值與個(gè)體經(jīng)驗(yàn)信息（完全信度預(yù)測(cè)值）相比較，信度因子基本達(dá)到90%以上，即認(rèn)為實(shí)際信度值與完全信度值存在較小差異。信度因子的“收縮效應(yīng)”（shrinkage effect）見(jiàn)圖1。

表1 風(fēng)險(xiǎn)相依的信度模型

表2 估計(jì)值和信度因子

3 結(jié)論

圖1 信度因子收縮效應(yīng)

Frees（1997）通過(guò)線性混合模型模型推導(dǎo)出了4種著名的信度公式：Bühlmann信度，B-S信度，Hachemeister回歸信度和Jewell分層信度。但是其研究結(jié)果都是基于個(gè)體組間和組內(nèi)相互獨(dú)立且不相關(guān)的假設(shè)。本文的創(chuàng)新點(diǎn)在于引入了4種協(xié)方差矩陣的形式建立組間和組內(nèi)觀察值的相關(guān)性，探討了信度因子的不同表達(dá)形式，驗(yàn)證了B-S信度下的線性混合模型模型分解出的信度因子的收縮特性。本文發(fā)現(xiàn)個(gè)體間的相關(guān)性會(huì)影響信度因子的表達(dá)式形式，即如果相互獨(dú)立，信度因子可以分離出與Bühlmann信度相似的表達(dá)式；反之，相關(guān)系數(shù)會(huì)對(duì)信度因子表達(dá)式進(jìn)行調(diào)整，但仍然滿足信度因子的根本性質(zhì)。另外一方面，殘差在個(gè)體觀察值之間的相關(guān)性會(huì)增加個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)同質(zhì)性的假設(shè)，使得信度因子減小，而從將更多的權(quán)重賦予其他個(gè)體的信息。

以上研究都是基于線性混合模型，由于考慮數(shù)據(jù)之間的非線性關(guān)系以及存在的右尾情況，將線性混合模型擴(kuò)展到廣義線性混合模型（GLMMs）并嘗試分解出信度因子中是今后的研究方向。沿著隨機(jī)效應(yīng)和殘差協(xié)方差矩陣的思路，通常認(rèn)為引入copula回歸的結(jié)果比普通回歸的結(jié)果誤差更小，今后可以考慮用copula來(lái)研究個(gè)體間的相關(guān)性和個(gè)體觀察值之間的相關(guān)性，并構(gòu)建相應(yīng)的信度模型。

[1]Edward W.Frees,Virginia,Yu Luo.A Longitudinal Data Analysis Interpretation of Credibility Models[J].Insurance:Mathematics and Economics,1999,24(3).

[2]G.K.Robinson.That BLUP is a Good Thing:The Estimation of Random of effects,with Discussion[J].Statistical Science,1991,6(1).

[3]Jewell,W.S..The use of collateral data in credibility theory:a hierarchical model[J].Giornale dell'Instituto Italiano degli Attuari,1975,（38）.

[4]Edward W.Frees,Virginia,Yu Luo,Case studies using panel data models[J].North American Actuarial Journal,2001,5(4).