李 翔，劉少波

（暨南大學(xué)a.金融研究所；b.經(jīng)濟(jì)學(xué)院，廣州510632）

0 引言

資產(chǎn)組合選擇模型的研究最早可以追溯到Markowitz(1952)的均值—方差模型。這一模型的提出不僅在金融理論界得到很大反響，也在金融實(shí)踐業(yè)得到廣泛應(yīng)用。在隨著研究的深入，均值-方差模型有了很多改進(jìn)和擴(kuò)展：Merton（1971）研究了帶有消費(fèi)的連續(xù)時間模型；Koo（1995）把勞動者的收入考慮到資產(chǎn)組合選擇模型中；Leippold et al.（2004）首先把債務(wù)考慮到均值-方差模型，他們在M-V模型下研究了提出了多期資產(chǎn)債務(wù)的管理問題，得出準(zhǔn)確的最優(yōu)策略并在幾何路徑的假設(shè)條件下求出有限邊界；謝蜀祥等（2008）利用隨機(jī)的線性-方差控制技術(shù)研究了基于多種風(fēng)險資產(chǎn)和單一債務(wù)的不完全市場下的連續(xù)時間均值-方差模型。

盡管國內(nèi)外的學(xué)者經(jīng)過半個世紀(jì)對資產(chǎn)組合模型進(jìn)行大量的研究和擴(kuò)展，然而這些研究工作尚存在許多值得深入的地方。本文研究的資產(chǎn)組合選擇模型是基于一年期下的兩種風(fēng)險資產(chǎn)和單一債務(wù)的連續(xù)時間均值-方差模型，方法上采用在金融實(shí)務(wù)界有廣泛應(yīng)用的蒙特卡洛模擬技術(shù)。本文的貢獻(xiàn)主要有以下幾點(diǎn)：首先，對于資產(chǎn)價格隨機(jī)游走假設(shè)中常系數(shù)估計問題，提出采用Kalman-Bucy濾波求解；其次，擴(kuò)展了資產(chǎn)組合選擇模型的應(yīng)該范圍。一般的資產(chǎn)組合模型都屬于靜態(tài)范疇，本文將資產(chǎn)的價格波動考慮到資產(chǎn)組合選擇模型中。同時，本文在分析投資者進(jìn)行資產(chǎn)組合選擇時，將投資者年初具有的債務(wù)也考慮進(jìn)去，并且假設(shè)投資者的債務(wù)與市場利率和資產(chǎn)組合相關(guān)。

1 模型建立

首先假設(shè)市場中可供選擇的資產(chǎn)組合有三種選擇：無風(fēng)險資產(chǎn)、兩種相互獨(dú)立的風(fēng)險資產(chǎn)和債務(wù)。債務(wù)的選擇主要是考慮在投資實(shí)踐中的完備性，在本文中所考慮的債務(wù)不同于一般意義下的債務(wù)。投資初期進(jìn)行借債投資只是本文考慮的總債務(wù)的一部分。假設(shè)投資的期限為一年，在投資期間不可借貸投資，但投資期的債務(wù)價值受市場利率和資產(chǎn)組合的總價值的影響。

1.1 無風(fēng)險資產(chǎn)

無風(fēng)險資產(chǎn)一般指一年期國債和銀行一年期存款。假設(shè)無風(fēng)險資產(chǎn)的價格A0是按以下的常微分方程的路徑變化的：

其中rt是無風(fēng)險利率，采用月無風(fēng)險收益率衡量。假設(shè)rt滿足CIR利率模型

其中 α＞0，β＞0，σ＞0，σ2表示月無風(fēng)險利率的方差。

1.2 風(fēng)險資產(chǎn)

風(fēng)險資產(chǎn)一般指股票和公司債券等高風(fēng)險資產(chǎn)。本文假設(shè)只有兩類風(fēng)險資產(chǎn)且價格過程相互獨(dú)立，假設(shè)風(fēng)險資產(chǎn)的價格A1，A2是服從以下隨機(jī)微分方程的路徑變化的：

1.3 債務(wù)

對于一個投資者，當(dāng)市場利率下降時會借入資本再投資別的投資項(xiàng)目；假設(shè)當(dāng)風(fēng)險資產(chǎn)價格上升時也會借入資本再投資于風(fēng)險市場。故在投資期可能由于市場利率上升導(dǎo)致投資者的浮動債務(wù)額的上升。本文假設(shè)借入的資本不進(jìn)行再投資，年初投資年末收益，期間不進(jìn)行再操作。定義Lt為投資者累計到時刻t時的債務(wù)總額。通過上述分析，可知債務(wù)變化dLt滿足以下隨機(jī)微分方程：

其中k＜0，ρ＞0。k定義為當(dāng)資產(chǎn)總額不變時，單位市場利率的變化所導(dǎo)致的負(fù)債總額的變化；ρ定義為當(dāng)市場利率不變的時候，單位資產(chǎn)總額的變化所引起的債務(wù)總額的變化。

1.4 投資的凈資產(chǎn)總額

本文假設(shè)投資者一年期內(nèi)沒有收入和消費(fèi)，在市場進(jìn)行交易時無交易成本且市場無摩擦。定義xt為投資者在時刻t的凈資產(chǎn)總額。這樣凈資產(chǎn)總額的變化dxt為很短的時間區(qū)間內(nèi)，所持有的各種資產(chǎn)總額的變化與所負(fù)債的總額的變化的差，即表示為：

2 模型系數(shù)估計

2.1 隨機(jī)微分方程常系數(shù)估計

CIR利率模型中系數(shù)的估計已引起國內(nèi)外大量學(xué)者的研究，主要有以下兩種：Nowman(1997)提出的最大似然估計法(MLE)對上述利率動態(tài)模型進(jìn)行估計；第二種就是無損卡爾曼濾波估計方法。而本文采用Kalman-Bucy濾波結(jié)合隨機(jī)微分分析估計其系數(shù)。

證明略。

本文接著利用我國月無風(fēng)險收益率數(shù)據(jù)估計CIR利率模型中常系數(shù)。首先，本文選取時間區(qū)間為1988年9月到2010年4月。σ的計算方法采用求無風(fēng)險收益率的方差來代替σ2=5.06*exp(-7)=0.0046。m的處理采取試探MC法，分別賦值m=1.8 1.9 2.0 2.1 2.2。最后根據(jù)性質(zhì)1的結(jié)果，得出β的無偏估計量：

表1給出m賦值下的α，β的無偏估計結(jié)果。通過中國22年的月無風(fēng)險收益率的數(shù)據(jù)分析得出的結(jié)果發(fā)現(xiàn)α，β均為負(fù)值，這與CIR模型的假設(shè)不符合。當(dāng)m的值逐漸增加時，α，β均逐漸增加。這可能與m=1.92為初值假設(shè)錯誤有關(guān)，以及算法不精確造成的。

表1 m的試探MC法的α，β估計結(jié)果

2.2 對于風(fēng)險資產(chǎn)價格波動系數(shù)的假設(shè)

為了模擬A的路徑，可以將一年期限分割成12個長度為每月的區(qū)間，并采用下等式代替：

其中Δt代表每月的變化，ε是期望值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布中的抽樣。

由伊藤引理，lnA服從的過程為

3 例證

在這個部分，本文將給出一個例子來驗(yàn)證模型的正確性，并將結(jié)果與采用隨機(jī)線性-方差控制技術(shù)的結(jié)果進(jìn)行比較分析。首先考慮一個投資者在銀行存款，公司債券和股票三者進(jìn)行決策。假設(shè)無風(fēng)險資產(chǎn)的月收益率和波動率為0.001171和0.0678，而第一種風(fēng)險資產(chǎn)的月收益率和波動率分別為0.0081和0.255，且第二種風(fēng)險資產(chǎn)的月收益率和波動率分別為0.0123和0.482。故根據(jù)方程（5）可以得出兩種風(fēng)險資產(chǎn)的每月的價格為：

其中t=1，2...12，假設(shè) A1(0)=A2(0)=1。

關(guān)于債務(wù)變化的系數(shù)，本文假設(shè)k=-1，ρ=0.1。根據(jù)（4）式得出凈資產(chǎn)的變化：

通過對資產(chǎn)價格、凈資產(chǎn)的變化和CIR利率模型的數(shù)學(xué)表述，本文給出了資產(chǎn)組合選擇模型的凈資產(chǎn)的變化遞歸表達(dá)式：

對于凈資產(chǎn)的一年后的價格，通過凈資產(chǎn)的變化遞歸表達(dá)式進(jìn)行蒙特卡洛模擬得到。

令初始資產(chǎn)的價格均為1，r（0）=0.001171初始無風(fēng)險利率。本文模擬次數(shù)為n=1000，時間區(qū)間為一年（12個月），即每一個模擬過程有12個間隔。

MC的模擬結(jié)果如下：

作為一般的投資者都希望資產(chǎn)收益率固定的時候，風(fēng)險即方差最小。這樣就轉(zhuǎn)化為帶條件的二次規(guī)劃問題的求解：

其中c表示投資者希望一年后的凈資產(chǎn)收益率。

假設(shè)投資者希望一年后的收益率為10%，可以求解出上文的最優(yōu)解。在預(yù)定年收益率10%的情形下選擇7%的比例資產(chǎn)投資到無風(fēng)險資產(chǎn)，76%的比例的資產(chǎn)投資到風(fēng)險資產(chǎn)A1，17%比例的資產(chǎn)投資到風(fēng)險資產(chǎn)A2。根據(jù)謝蜀祥（2008）采用隨機(jī)線性-方差控制技術(shù)(隨機(jī)LQ控制技術(shù))的方法，本文也得出了其最優(yōu)組合結(jié)果，結(jié)果與本文的結(jié)果比較可見表2?？梢缘贸?，當(dāng)假設(shè)投資者希望一年后的收益率為10%，在兩種方法下的決策是不同的：

表2 MC估計和隨機(jī)LQ控制技術(shù)下的最優(yōu)資產(chǎn)組合比較

在投資者期望一年后收益固定在10%的技術(shù)上兩種方法所得到的結(jié)果略有不同，MC模擬的結(jié)果傾向于風(fēng)險資產(chǎn)波動率較小的一個，而LQ方法則傾向于選擇風(fēng)險資產(chǎn)波動率較大的一個。這可能的原因是蒙特卡洛模擬的結(jié)果中的隨機(jī)數(shù)生成的不確定，而LQ方法優(yōu)勢是在于確定理論上的投資的隨機(jī)邊界，而對于實(shí)際的市場變化，蒙特卡洛模擬的結(jié)果更接近于現(xiàn)實(shí)。

4 結(jié)論

債務(wù)被引入到M-V的資產(chǎn)組合選擇模型，已經(jīng)得到很多金融學(xué)者和金融實(shí)務(wù)界的廣泛研究和討論。主要存在分歧的地方是債務(wù)的分析問題，Chiu,Li(2006)指出債務(wù)在模型中假設(shè)是服從布朗運(yùn)動的。在本文模型中，更符合金融市場的實(shí)際假設(shè)，債務(wù)是與市場利率和資產(chǎn)價格變化相關(guān)的。

在本文分析中使用了隨機(jī)濾波來估計隨機(jī)過程的常系數(shù)，這樣便以結(jié)合實(shí)際數(shù)據(jù)使用蒙特卡洛模擬資產(chǎn)收益變化。金融模型能夠完美的應(yīng)用到金融實(shí)務(wù)中一個很大的阻礙就是模型的不合理假設(shè)。在本模型中，有一些假設(shè)值得斟酌，比如債務(wù)變化方程中的系數(shù)假定。由于本文使用的蒙特卡洛模擬的計算過程太復(fù)雜，將導(dǎo)致實(shí)際應(yīng)用中的很多不便。因此，進(jìn)一步的研究方向是，采用實(shí)證的方法更精確的估計模型系數(shù)和采用方差控制技術(shù)改進(jìn)蒙特卡洛模擬的效率。

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