王　霞， 黨耀國

(南京航空航天大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院， 江蘇 南京 211106)

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基于Choquet積分的區(qū)間灰數(shù)多屬性決策方法

王霞， 黨耀國

(南京航空航天大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院， 江蘇 南京 211106)

摘要：針對多屬性決策中屬性間的關(guān)聯(lián)性對決策結(jié)果的影響，提出了基于區(qū)間灰數(shù)灰度和Choquet積分的區(qū)間灰數(shù)多屬性決策方法。根據(jù)區(qū)間灰數(shù)灰度的定義，證明了區(qū)間灰數(shù)的灰度是一種灰測度，由此定義了關(guān)于區(qū)間灰數(shù)灰度的離散Choquet積分并證明其性質(zhì)；依據(jù)各方案的綜合屬性值的方差最小的原則建立多目標(biāo)優(yōu)化模型，確定了各屬性或?qū)傩约臋?quán)重，最后利用Choquet積分對各方案的效果評價向量進(jìn)行集成。通過實例說明了該方法的有效性。

關(guān)鍵詞：區(qū)間灰數(shù)； 關(guān)聯(lián)性； 灰度； Choquet積分

0引言

多屬性決策[1]是研究不確定性決策問題的一種系統(tǒng)分析方法,其目的是改進(jìn)決策過程，從一系列備選方案中找出滿足一定目標(biāo)的最優(yōu)方案。決策屬性指標(biāo)體系的構(gòu)建是影響決策結(jié)果合理性的重點(diǎn)問題之一，因此所建立的決策屬性指標(biāo)體系應(yīng)滿足代表性、完備性和獨(dú)立性,但在實際應(yīng)用中獨(dú)立性往往難以達(dá)到，故在多數(shù)情況下決策者會忽略屬性指標(biāo)體系間的獨(dú)立性[2]。屬性之間的關(guān)聯(lián)性，使得屬性權(quán)重的可加性遭到破壞，導(dǎo)致加權(quán)求和后得到與實際不相符的結(jié)論。文獻(xiàn)[3]指出了現(xiàn)實決策問題中常存在關(guān)聯(lián)，這是決策分析從理論邁向應(yīng)用的瓶頸，并介紹了基于關(guān)聯(lián)的多屬性決策分析理論的發(fā)展情況，分析其研究特點(diǎn)和熱點(diǎn)；文獻(xiàn)[4]對屬性間的關(guān)聯(lián)性進(jìn)行了總結(jié),并分析其對決策結(jié)果的影響。由此可見，在多屬性決策中對屬性間具有關(guān)聯(lián)性的問題進(jìn)行研究，具有重要的理論和現(xiàn)實意義。文獻(xiàn)[5]利用加權(quán)馬氏距離對傳統(tǒng)的灰靶決策方法進(jìn)行改進(jìn),避免了決策指標(biāo)間的相關(guān)性、不同量綱和重要性差異對決策效果的影響以及灰靶變換的不相容問題；文獻(xiàn)[6]定義了廣義三角模糊相關(guān)平均算子，該算子不僅考慮了元素間的重要性而且反映了元素間的相關(guān)性，并把該算子應(yīng)用到多屬性決策中；文獻(xiàn)[7]針對多屬性群決策中專家權(quán)重和屬性權(quán)重通常具有相關(guān)性的問題，提出了兩類誘導(dǎo)直覺模糊相關(guān)集成算子；文獻(xiàn)[8]定義了誘導(dǎo)Choquet積分算子，并利用該算子研究了決策者對方案有模糊偏好且偏好間存在相互關(guān)聯(lián)的群決策問題。文獻(xiàn)[9]提出Choquet容度及其積分，Choquet積分考慮了屬性間存在相互影響的情況，即屬性間的互補(bǔ)性或可替代性可以由容量模擬。文獻(xiàn)[10]首次把Choquet積分理論應(yīng)用到?jīng)Q策理論中，目前Choquet積分已經(jīng)被廣泛應(yīng)用到數(shù)據(jù)源選擇、經(jīng)濟(jì)效益研究、績效評價等多個領(lǐng)域。

在現(xiàn)實管理決策問題中，由于實際問題的多樣性和不確定性以及人類認(rèn)識的局限性，決策者在決策過程中往往難以給出確切的屬性值，區(qū)間灰數(shù)[11]作為處理多屬性不確定性決策問題的一種手段，自提出以來一直是研究的熱點(diǎn)。文獻(xiàn)[12]提出了基于信息還原算子的區(qū)間灰數(shù)序列關(guān)聯(lián)度的計算方法，建立了多指標(biāo)區(qū)間灰數(shù)關(guān)聯(lián)決策模型；文獻(xiàn)[13]推導(dǎo)了信息分布已知條件下區(qū)間灰數(shù)“核”的計算公式，在此基礎(chǔ)上通過比較各指標(biāo)值與靶心連線所圍成圖形的面積大小來對方案的優(yōu)劣進(jìn)行評價。

綜上所述，對于屬性值是區(qū)間灰數(shù)且屬性間具有關(guān)聯(lián)性的多屬性決策問題，在目前的研究基礎(chǔ)上，本文將Choquet積分應(yīng)用于屬性值是區(qū)間灰數(shù)的多屬性決策中，提出了基于區(qū)間灰數(shù)灰度和Choquet積分的區(qū)間灰數(shù)多屬性決策方法，通過實例說明了該方法的合理性和有效性。

1基本知識

為區(qū)間灰數(shù)a(?)≥b(?)的可能度。

定義 3[11]設(shè)灰數(shù)?產(chǎn)生的背景或論域為Ω，μ(?)為灰數(shù)?取數(shù)域的測度，則稱

為灰數(shù)?的灰度。

(1) 若?1??2，則g°(?1)≤g°(?2)

(2) 若?1∩?2=φ，則

若?1∩?2≠φ，則

證明(1) 由灰度的定義知，當(dāng)?1??2時，易證

g°(?1)≤g°(?2)

(2) 若?1∩?2=φ，

若?1∩?2≠φ，

證畢

由定理1可知，區(qū)間灰數(shù)的灰度滿足單調(diào)性和次可加性，因此可認(rèn)為區(qū)間灰數(shù)的灰度為一種灰測度。

設(shè)任一多屬性決策問題的屬性集為X，對于任意的T?X，g°(T)可認(rèn)為是屬性集的權(quán)重或者是重要程度。?S,T?X，若g°(T∪S)=g°(T)+g°(S)，則表明屬性集間相互獨(dú)立；g°(T∪S)

Choquet容量是一種非可加測度,Choquet積分是關(guān)于非可加測度的一種非線性積分，Choquet容量和Choquet積分是概率測度和數(shù)學(xué)期望的自然推廣，是在非可加測度下研究問題。

定義 4[12]設(shè)X是非空集合，P(X)是X的冪集，u是定義在P(X)上的集函數(shù)u:P(X)→[0,1]，若u滿足以下兩個條件：

(1) u(X)=0，u(X)=1；

(2) ?S,T?X，S?T，則u(S)≤u(T)則稱u是定義在P(X)上的容量。

定義 5[12]設(shè)X={x1,x2,…,xn}為非空集合，P(X)是X的冪集，f為定義在X上的非負(fù)函數(shù)，u為定義在P(X)上的容量，則f關(guān)于容量u的離散Choquet積分為

式中，為f(x(i))向量的變換，使得

0≤f(x(1))≤f(x(2))≤…≤f(x(n))，A(i)={xi, xi+1,…,xn}且A(n+1)=0。

由上所述，根據(jù)灰度的性質(zhì)和Choquet積分的定義，可以定義區(qū)間灰數(shù)關(guān)于灰度的離散Choquet積分。

定義 6設(shè)X={x1,x2,…,xn}為一區(qū)間灰數(shù)序列，P(X)是X的冪集，f為定義在X上的非負(fù)函數(shù)，g°(?)為區(qū)間灰數(shù)的灰度，則f關(guān)于灰度g°(?)的離散Choquet積分為

式中，(i)為f(x(i))向量的變換，使得

0≤f(x(1))≤f(x(2))≤…≤f(x(n))，A(i)={xi, xi+1,…, xn}且A(n+1)=0。

由定義6以及定理1可知，關(guān)于灰度g°(?)的離散Choquet積分作為一種合并算法，考慮了屬性間存在冗余關(guān)聯(lián)的情況，即屬性間的關(guān)聯(lián)可以由灰度g°(?)來模擬。

由區(qū)間灰數(shù)的運(yùn)算法則和關(guān)于灰度g°(?)的離散Choquet積分，可以得到區(qū)間灰數(shù)離散Choquet積分的如下性質(zhì)：

性質(zhì) 1(冪等性)設(shè)ai(?)(i=1,2,…,n)為一組區(qū)間灰數(shù)，g°(?)為區(qū)間灰數(shù)的灰度，若

則

證畢

又由ai(?)≥bi(?)得

即λiai(?)≥λibi(?)，故

證畢

則有

則有

于是有

即證C(a1(?),a2(?),…,an(?))≥a-(?)。

同理可證C(a1(?),a2(?),…,an(?))≤ a+(?)。故a-(?)≤C(a1(?),a2(?),…,an(?))≤a+(?)

證畢

2基于Choquet積分的區(qū)間灰數(shù)多屬性決策方法

醇類化合物主要由甲基酮和醛類的還原、氨基酸的降解及脂肪分解氧化產(chǎn)生，直鏈醇可以通過脂質(zhì)氧化生成，而支鏈醇由 Strecker降解產(chǎn)生的支鏈醛還原得到[25,26]，直鏈低級醇一般無風(fēng)味，但隨碳鏈的增加而產(chǎn)生芳香和脂肪香等香味。低氣味閾值的醇是板鴨制品香味的貢獻(xiàn)者，具有令人愉快的水果味和花香味[27]。各地區(qū)板鴨的醇類含量比例均較高，醇類屬普遍性揮發(fā)性風(fēng)味物質(zhì)，其中南京板鴨的醇類含量最高，種類最多，與徐為民等[16]的研究一致。1-戊醇帶有面包香、酒香和果香，只在沙縣竹炭板鴨和雷官板鴨中檢測；苯乙醇只存在于南京板鴨中，具有玫瑰香，廣泛應(yīng)用于釀酒工業(yè)、化妝品和香料中。

對某一多屬性決策問題的屬性集X={x1,x2,…,xm}，可以把屬性集X={x1,x2,…,xm}看作是屬性集產(chǎn)生的背景或論域Ω，因此把屬性集X可作一個整體，即可以取μ(Ω)=1，則由區(qū)間灰數(shù)灰度的定義可知

對于?={xi1,xi2,…,xip}?Ω，其中p≤m，則μ(?)可以認(rèn)為是專家給出的選取屬{xi1,xi2,…,xip}的重要程度。

由上述所述，則各方案的綜合評價值為

(1)

C(hi)仍為一區(qū)間灰數(shù)。

(2)

求解上述模型可得屬性集的測度μ(Ai)。利用式(1)得到各方案綜合屬性值，再用區(qū)間灰數(shù)的可能度，對各方案的綜合評價值進(jìn)行大小排序。

3實例分析

本文以文獻(xiàn)[15]中的案例為例進(jìn)行分析。某部隊在采購火炮武器時，有4種系列的火炮hi(i=1,2,3,4)可供選擇，并考慮下例5項屬性：x1為火力突擊能力系數(shù)；x2為反應(yīng)能力指數(shù)；x3為機(jī)動能力指數(shù)；x4為生存能力指數(shù)；x5為成本(元)，各方案關(guān)于評價屬性的效果值如表1所示。

表1　決策矩陣

在本例中除了成本外，其余均為效益型屬性，利用文獻(xiàn)[15]中的規(guī)范化方法，得到規(guī)范化矩陣為

本文利用區(qū)間灰數(shù)的可能度，對方案hi的一致效果評價向量的各分量重新進(jìn)行排序，得到排序后各方案的新的一致效果評價向量。把屬性集看作一個整體，即有μ(Ω)=1，則得到

故μ(?)可以認(rèn)為是屬性{xi1,xi2,…,xip}的權(quán)重，利用Lingo11求解式(2)得到屬性集的權(quán)重如表2所示。

根據(jù)式(1)對各方案的效果向量進(jìn)行信息集成，得到各方案的綜合評價值為

C(h1)=[0.401 4,0,478 1]

C(h2)=[0.369 9,0.443 9]

C(h3)=[0.388 4,0.478 7]

C(h4)=[0.338 6,0.539 4]

再利用區(qū)間灰數(shù)的可能度，對各方案的綜合評價值進(jìn)行大小排序

則方案的優(yōu)劣順序為h1fh4fh3fh2，故決策者可優(yōu)先考慮h1。

表2　屬性集的灰測度μ

文獻(xiàn)[15]中方案的排序為h1fh3fh2fh4，可看出該排序與本文排序不完全一致，主要差別是h3和h4的排序位置不同。主要原因是文獻(xiàn)[15]中的方法沒有考慮屬性間的關(guān)聯(lián)性，直觀來看各屬性間不具有獨(dú)立性，即各屬性間存在關(guān)聯(lián)性；從數(shù)據(jù)直觀來看，方案h3和h4在屬性x1、x2、x4下的屬性值差別不大，在屬性x3、x5下的屬性值相差很大，從屬性極性來看，在屬性x3、x5下方案h4的值較方案h3更符合決策者的理想值。

從以上分析可以看出，屬性間的關(guān)聯(lián)性會對決策的結(jié)果產(chǎn)生影響，在實際決策中由于問題的復(fù)雜性，屬性間常存在相互關(guān)聯(lián)，若假設(shè)屬性間是相互獨(dú)立的，則會影響決策結(jié)果的合理性, 因此在決策中考慮屬性間具有關(guān)聯(lián)的情況有一定的實際意義。

4結(jié)論

在多屬性決策中，決策屬性指標(biāo)體系的構(gòu)建是影響決策結(jié)果合理性的重點(diǎn)問題之一，本文針對多屬性決策中屬性間的關(guān)聯(lián)性對決策結(jié)果的影響，提出了基于區(qū)間灰數(shù)灰度和Choquet積分的區(qū)間灰數(shù)多屬性決策方法。首先由區(qū)間灰數(shù)灰度的定義，證明了區(qū)間灰數(shù)灰度的非可加性，即證明區(qū)間灰數(shù)的灰度是一種灰測度，進(jìn)而定義了區(qū)間灰數(shù)的離散Choquet積分，并證明其性質(zhì)；最后利用區(qū)間灰數(shù)的離散Choquet積分集成方案的綜合屬性值，并通過實例說明了該方法的有效性和合理性。

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王霞(1985-)，女，博士研究生，主要研究方向為灰色系統(tǒng)理論與決策分析。

E-mail：wangxia0509@163.com

黨耀國(1964-)，男，教授，博士研究生導(dǎo)師，主要研究方向為灰色系統(tǒng)理論、數(shù)量經(jīng)濟(jì)。

E-mail：iamdangyg@163.com

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20141030.1136.013.html

Approach for multiple attribute decision-making with interval grey

number based on Choquet integral

WANG Xia， DANG Yao-guo

(CollegeofEconomicsandManagement,NanjingUniversityofAeronauticsand

Astronautics,Nanjing211106,China)

Abstract:With regard to the interaction between attributes which has influenced on decision results in multiple attribute decision making, a multiple attribute decision making method of interval grey number based on degree of greyness and Choquet integral is presented. Degree of greyness of interval grey number is proved as a grey measure according to its definition, then discrete Choquet integral of degree of greyness of interval grey number is defined, and some of its properties are investigated. The weight of each attribute or attribute set is determined by using a multi-objective optimization model，which variance of comprehensive attribute values of each scheme is minimum; and the effect evaluation vector of each scheme are integrated based on Choquet integral. Finally, an example is also presented to illustrate the effectiveness of the proposed method.

Keywords:interval grey number; interaction; degree of greyness; Choquet integral

作者簡介：

中圖分類號：N 941.5

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：ADOI:10.3969/j.issn.1001-506X.2015.05.20

基金項目：國家自然科學(xué)基金(71071077，71371098)；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項資金(NC2012001)；江蘇省高校哲學(xué)社會科學(xué)重點(diǎn)研究基地重大項目(2012JDXM005)；江蘇省普通高校研究生科研創(chuàng)新計劃(CXZZ130183)資助課題

收稿日期：2014-06-24；修回日期：2014-09-18；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2014-10-30。