尹艷玲, 王泰華, 曾　旗

(1. 河南理工大學(xué)電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院, 河南 焦作 454000;

2. 河南理工大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院, 河南 焦作 454003)

?

基于2D模型的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)迭代學(xué)習(xí)控制設(shè)計(jì)方法

尹艷玲1, 王泰華1, 曾旗2

(1. 河南理工大學(xué)電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院, 河南 焦作 454000;

2. 河南理工大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院, 河南 焦作 454003)

摘要：迭代學(xué)習(xí)控制(iterative learning control, ILC)方法應(yīng)用于網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)時(shí),由于數(shù)據(jù)需要在控制器和遠(yuǎn)程對(duì)象間傳輸經(jīng)常產(chǎn)生數(shù)據(jù)丟失現(xiàn)象。給出了一種存在數(shù)據(jù)丟失時(shí)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的隨機(jī)迭代學(xué)習(xí)控制設(shè)計(jì)方法,首先將數(shù)據(jù)丟失現(xiàn)象描述為隨機(jī)伯努利序列,在此基礎(chǔ)上將迭代學(xué)習(xí)的控制器設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化為隨機(jī)2D-Roesser系統(tǒng)的穩(wěn)定問(wèn)題。定義了隨機(jī)意義下2D系統(tǒng)的均方漸進(jìn)穩(wěn)定,基于線性矩陣不等式(linear matrix inequality, LMI)給出一個(gè)判別穩(wěn)定性的條件,該條件同時(shí)可實(shí)現(xiàn)迭代學(xué)習(xí)控制器的設(shè)計(jì)。仿真示例驗(yàn)證了設(shè)計(jì)方法的有效性。

關(guān)鍵詞：迭代學(xué)習(xí)控制; 網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng); 數(shù)據(jù)包丟失; 2D-Roesser模型; 隨機(jī)系統(tǒng)

0引言

迭代學(xué)習(xí)控制(iterative learning control, ILC)由日本學(xué)者Arimoto在1984年提出[1],該方法針對(duì)具有重復(fù)運(yùn)行特征的系統(tǒng)通過(guò)不斷學(xué)習(xí)可實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間區(qū)間內(nèi)的完全跟蹤控制。目前,迭代學(xué)習(xí)控制已取得了豐富的理論成果和實(shí)際應(yīng)用[2-7]。然而,現(xiàn)有的研究成果大多基于控制系統(tǒng)數(shù)據(jù)傳輸是完美的這一假設(shè)給出,即數(shù)據(jù)可以完全地在實(shí)際對(duì)象與控制器間的傳輸,不存在數(shù)據(jù)包丟失現(xiàn)象。實(shí)際系統(tǒng)中,由于數(shù)據(jù)檢測(cè)單元或網(wǎng)絡(luò)傳輸機(jī)制的故障,經(jīng)常引起數(shù)據(jù)包丟失。尤其在目前廣泛采用的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中,數(shù)據(jù)丟失現(xiàn)象更易發(fā)生[8-10]。因此,研究網(wǎng)絡(luò)參量約束下的迭代學(xué)習(xí)控制具有重要意義。

目前,上述問(wèn)題已有一些研究結(jié)果。文獻(xiàn)[11]和文獻(xiàn)[12]研究了一階和高階P型ILC算法存在測(cè)量數(shù)據(jù)丟失的穩(wěn)定性問(wèn)題,給出了系統(tǒng)收斂的判定條件。文獻(xiàn)[13]針對(duì)同時(shí)存在控制輸入數(shù)據(jù)和測(cè)量數(shù)據(jù)丟失的非線性系統(tǒng),給出了ILC算法穩(wěn)定的條件,并基于壓縮映射方法給出了收斂性證明。文獻(xiàn)[11-13]的研究結(jié)果表明,對(duì)于穩(wěn)定的ILC系統(tǒng),當(dāng)存在一定程度的數(shù)據(jù)丟失時(shí),系統(tǒng)仍然是穩(wěn)定的,但系統(tǒng)收斂速度隨著數(shù)據(jù)丟失的嚴(yán)重而變慢。文獻(xiàn)[14]和文獻(xiàn)[15]針對(duì)存在數(shù)據(jù)丟失的線性系統(tǒng),給出了一種最優(yōu)ILC的設(shè)計(jì)方法,該方法可以在迭代域補(bǔ)償數(shù)據(jù)丟失的影響,獲得較好的跟蹤性能。文獻(xiàn)[16]針對(duì)存在數(shù)據(jù)丟失的非線性系統(tǒng)提出一種均值ILC算法,該方法通過(guò)對(duì)過(guò)去多次迭代過(guò)程中的數(shù)據(jù)求均值可有效補(bǔ)償數(shù)據(jù)丟失的影響。文獻(xiàn)[17]針對(duì)存在數(shù)據(jù)丟失的線性系統(tǒng),在隨機(jī)均方穩(wěn)定的意義下給出一種H∞ILC的設(shè)計(jì)方法。然而,上述設(shè)計(jì)方法中大多采用了Lifting的表述形式。Lifting方法雖然可將二維迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)描述為多輸入多輸出的一維系統(tǒng),但系統(tǒng)矩陣的維數(shù)與采樣數(shù)據(jù)成正比,當(dāng)采樣數(shù)據(jù)較多時(shí)系統(tǒng)計(jì)算量非常之大,不適于實(shí)際應(yīng)用[18]。

2D系統(tǒng)模型可以較好地刻畫(huà)迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程,為ILC提供了一種有效、系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)手段。文獻(xiàn)[19-20]基于2D-Roesser系統(tǒng)理論給出了一種分析ILC系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法,文獻(xiàn)[21-22]基于2D-Roesser系統(tǒng)模型討論了線性時(shí)滯ILC系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和魯棒控制器設(shè)計(jì)方法,文獻(xiàn)[23-25]基于2D-Roesser系統(tǒng)模型給出了幾種不同類型的魯棒H∞ILC設(shè)計(jì)方法。然而,上述基于2D系統(tǒng)理論的ILC設(shè)計(jì)方法均未考慮數(shù)據(jù)丟失的情況。當(dāng)系統(tǒng)存在任意數(shù)據(jù)丟失時(shí)描述ILC系統(tǒng)的2D模型變?yōu)殡S機(jī)系統(tǒng),已有的設(shè)計(jì)結(jié)果無(wú)法推廣。

本文考慮網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)存在數(shù)據(jù)丟失時(shí),基于2D理論的隨機(jī)ILC設(shè)計(jì)方法。由于數(shù)據(jù)丟失的引入使得系統(tǒng)變?yōu)殡S機(jī)系統(tǒng),我們首先定義隨機(jī)意義下的均方漸進(jìn)穩(wěn)定,然后將ILC設(shè)計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為隨機(jī)2D-Roesser系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題?；诰€性矩陣不等式給出了判斷隨機(jī)2D系統(tǒng)穩(wěn)定的一個(gè)充分條件,該條件同時(shí)可實(shí)現(xiàn)ILC控制率的設(shè)計(jì)。仿真示例驗(yàn)證了設(shè)計(jì)方法的有效性。

1問(wèn)題描述

考慮如下SISO系統(tǒng):

(1)

式中,x(t,k)∈Rn,u(t,k)∈R1,y(t,k)∈R1分別為系統(tǒng)狀態(tài)、控制輸入和系統(tǒng)輸出；A∈Rn×n, B∈Rn×1,C∈R1×n為狀態(tài)空間方程的矩陣；下標(biāo)k表示迭代次數(shù)；t為離散時(shí)間；x(0,k)=x0k為第k次迭代過(guò)程的初始條件。系統(tǒng)在有限時(shí)間區(qū)間t∈[0,T]內(nèi)重復(fù)運(yùn)行,其期望軌跡為yd(t)。

針對(duì)系統(tǒng)式(1),考慮如下P型ILC算法,有

(2)

式中,e(t,k)=yd(t)-y(t,k)為跟蹤誤差;K為待設(shè)計(jì)的控制器增益。

當(dāng)上述ILC系統(tǒng)通過(guò)網(wǎng)絡(luò)控制的方式實(shí)現(xiàn)時(shí),數(shù)據(jù)u(t,k),y(t,k)需要經(jīng)過(guò)網(wǎng)絡(luò)在遠(yuǎn)程對(duì)象和控制器之間進(jìn)行傳輸。在此過(guò)程中由于網(wǎng)絡(luò)故障經(jīng)常產(chǎn)生數(shù)據(jù)丟失現(xiàn)象。本來(lái)僅考慮輸出測(cè)量數(shù)據(jù)y(t,k)丟失的情況,此時(shí)ILC算法式可表述[11-12]為

(3)

式中,α(t,k)為取值0和1的隨機(jī)Bernoulli變量,滿足

(4)

本文的研究?jī)?nèi)容為,對(duì)于存在滿足式(4)隨機(jī)數(shù)據(jù)丟失的ILC系統(tǒng)式(1)和式(3),如何設(shè)計(jì)控制器增益K使得系統(tǒng)穩(wěn)定。

2問(wèn)題描述

2.12D系統(tǒng)描述

迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)式和式是一個(gè)沿著時(shí)間t和迭代k變化的二維系統(tǒng),根據(jù)2D系統(tǒng)理論[19-20],可將上述ILC系統(tǒng)描述成2D-Roesser模型。

由式(1)和式(3)可知

CAx(t-1,k)+CBu(t-1,k)-CAx(t-1,k+1)-

(5)

式中,η(t,k)=x(t-1,k+1)-x(t-1,k)。

同時(shí)

Bu(t-1,k+1)-Ax(t-1,k)-

(6)

式(5)和式(6)可以重寫(xiě)為

(7)

定義η(t,k)=xh(t,k),e(t,k)=xv(t,k)可得

(8)

注 1系統(tǒng)式為一個(gè)典型的2D-Roesser系統(tǒng)。因此,ILC系統(tǒng)的控制率式設(shè)計(jì)可以等價(jià)為2D-Roesser系統(tǒng)式的穩(wěn)定性問(wèn)題。需要說(shuō)明的是,系統(tǒng)式所描述的2D系統(tǒng)由于隨機(jī)變量α(t,k)的引入使得系統(tǒng)為隨機(jī)2D系統(tǒng),因此已有基于確定2D系統(tǒng)設(shè)計(jì)ILC的方法[19-25]在這里無(wú)法應(yīng)用。為了進(jìn)行本文的設(shè)計(jì),我們需要定義如下隨機(jī)2D系統(tǒng)的穩(wěn)定性[26]。

定義 1隨機(jī)穩(wěn)定:若2D 系統(tǒng)式(8)針對(duì)任意有界的初始邊界條件xh(0,k),xv(t,0), 滿足

則系統(tǒng)均方漸近穩(wěn)定。

至此,本文的研究?jī)?nèi)容可轉(zhuǎn)化為針對(duì)滿足式(4)隨機(jī)數(shù)據(jù)丟失的ILC系統(tǒng),如何設(shè)計(jì)控制器增益K使得2D隨機(jī)系統(tǒng)式(8)均方漸近穩(wěn)定。

2.2控制器設(shè)計(jì)

(9)

式中

定理 1若存在正定矩陣P1,P2滿足

證明 定義

式中

考慮如下指標(biāo):

(10)

式中

(11)

將上式依次展開(kāi)可得

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

將式(12)～式(16)兩端相加得

E{xh(i+1,0)TP1xh(i+1,0)}

將上式的右端逐項(xiàng)展開(kāi)可得

上式意味著

(17)

式中

上述不等式兩端相加可得

(18)

證畢

我們首先給出如下引理。

引理 1Schur補(bǔ)引理[27]:對(duì)于正定矩陣W,V和矩陣L,若如下不等式成立:

LTVL-W<0

當(dāng)且僅當(dāng)

或

成立。

根據(jù)引理1和定理1,我們可給出如下定理。

定理 2若存在正定矩陣Q1,Q2和矩陣M滿足如下線性矩陣不等式

(19)

注 2定理2給出一個(gè)判別2D隨機(jī)系統(tǒng)式均方漸進(jìn)穩(wěn)定的條件,該條件可轉(zhuǎn)化為求線性矩陣不等式的可行解問(wèn)題。同時(shí),根據(jù)矩陣不等式的可行解我們可以確定一個(gè)滿足條件的ILC控制率。從理論分析過(guò)程可以看出,定理2的結(jié)果可以很方便地推廣到系統(tǒng)存在參數(shù)不確定性、H∞擾動(dòng)抑制能力等情況下的ILC控制器設(shè)計(jì)。

注 3本文給出了一種存在任意數(shù)據(jù)丟失時(shí)基于2D理論的隨機(jī)迭代學(xué)習(xí)控制設(shè)計(jì)方法,在此框架下,我們同樣可以討論任意傳輸延時(shí)、任意擾動(dòng)作用等隨機(jī)因素影響時(shí)迭代學(xué)習(xí)控制的設(shè)計(jì)問(wèn)題。

3仿真示例

本節(jié)通過(guò)Matlab軟件,驗(yàn)證本文設(shè)計(jì)方法的有效性。

考慮如下線性離散時(shí)間系統(tǒng):

系統(tǒng)期望軌跡為

圖時(shí)的最大跟蹤誤差　　　　　　　　　　　　　　　圖時(shí)不同迭代次數(shù)的系統(tǒng)輸出

圖時(shí)的最大跟蹤誤差　　　　　　　　　　　　　　　　　圖時(shí)不同迭代次數(shù)的系統(tǒng)輸出

4結(jié)論

本文在隨機(jī)系統(tǒng)的框架下,給出了一種網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)存在任意數(shù)據(jù)丟失時(shí)ILC的設(shè)計(jì)方法。首先將數(shù)據(jù)包丟失描述成任意Bernoulli序列,將ILC的設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)為隨機(jī)2D系統(tǒng)的穩(wěn)定問(wèn)題。給出了隨機(jī)意義下均方漸進(jìn)穩(wěn)定的定義,在此基礎(chǔ)上得到一個(gè)判斷隨機(jī)2D系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件,該條件可以轉(zhuǎn)為求解線性矩陣不等式的可行解,同時(shí)可給出滿足條件的ILC控制器增益。仿真示例驗(yàn)證了設(shè)計(jì)方法的有效性。本文給出了一種基于2D理論的隨機(jī)ILC設(shè)計(jì)方法,在此框架下,同樣可以討論任意傳輸延時(shí)、任意擾動(dòng)等隨機(jī)因素作用時(shí)ILC的設(shè)計(jì)問(wèn)題。

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尹艷玲(1981-),女,講師,碩士,主要研究方向?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)化控制、系統(tǒng)分析與集成。

E-mail:jzityyl@126.com

王泰華(1976-),男,副教授,碩士研究生導(dǎo)師,主要研究方向?yàn)橹悄芸刂评碚摷皯?yīng)用、電機(jī)控制技術(shù)、工業(yè)過(guò)程控制。

E-mail:wangtaihua@hpu.edu.cn

曾旗(1962-),男,教授,博士研究生導(dǎo)師,主要研究方向?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)化管理與控制、系統(tǒng)工程。

E-mail:zengqi@hpu.edu.cn

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20141105.1500.002.html

Network-based iterative learning control design based on 2D model

YIN Yan-ling1, WANG Tai-hua1, ZENG Qi2

(1.SchoolofElectricalEngineering&Automation,HenanPolytechnicUniversity,Jiaozuo454000,China;

2.SchoolofEconomicsandManagement,HenanPolytechnicUniversity,Jiaozuo454003,China)

Abstract:When the iterative learning control(ILC)is applied to networked control systems, packet dropouts often occur due to the data transfer from the remote plant to the ILC controller. A stochastic ILC design approach for networked control systems with data dropouts is given. Missing data is firstly modeled by stochastic variables satisfying the Bernoulli random binary distribution. Then, the design of ILC is transformed into the stability of a 2D stochastic system described by the Roesser model. The mean-square asymptotic stability is defined for such 2D stochastic systems. A sufficient condition for stability is established by means of linear matrix inequality(LMI)technique, and formulas can be given for the controller design simultaneously. The effectiveness of the proposed method is illustrated by a numerical example.

Keywords:iterative learning control (ILC); networked control systems; data dropout; 2D-Roesser system; stochastic system

作者簡(jiǎn)介：

中圖分類號(hào)：TP 273

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：ADOI:10.3969/j.issn.1001-506X.2015.05.28

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(61203065)；河南省控制工程重點(diǎn)學(xué)科開(kāi)放實(shí)驗(yàn)室項(xiàng)目(KG2011-10)資助課題

收稿日期：2014-06-19；修回日期：2014-10-16；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2014-11-05。