陳志軍, 王前程, 陳云霞

(1. 北京航空航天大學(xué)可靠性與系統(tǒng)工程學(xué)院, 北京 100191;

2. 西安衛(wèi)星測(cè)控中心, 陜西 西安 710043)

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基于壽命分布和貝葉斯的加速因子確定方法

陳志軍1, 王前程2, 陳云霞1

(1. 北京航空航天大學(xué)可靠性與系統(tǒng)工程學(xué)院, 北京 100191;

2. 西安衛(wèi)星測(cè)控中心, 陜西 西安 710043)

摘要：針對(duì)小子樣產(chǎn)品加速因子難以確定問(wèn)題,提出了一種基于壽命分布和貝葉斯的加速因子確定方法。首先根據(jù)相似產(chǎn)品內(nèi)場(chǎng)貯存數(shù)據(jù)信息,對(duì)正常應(yīng)力下壽命分布參數(shù)進(jìn)行極大似然估計(jì)(maximum likelihood estimation,MLE),再利用Fisher信息矩陣求逆得到其方差-協(xié)方差矩陣,最終得到正常應(yīng)力下壽命分布參數(shù)的分布,然后根據(jù)新研產(chǎn)品加速應(yīng)力下小子樣試驗(yàn)信息結(jié)合相似產(chǎn)品加速應(yīng)力試驗(yàn)信息和專家經(jīng)驗(yàn)等先驗(yàn)信息,利用ML-Ⅱ方法確定混合先驗(yàn)分布的權(quán)重,再利用Bayes方法得到產(chǎn)品壽命分布參數(shù)的后驗(yàn)分布,最后根據(jù)正常應(yīng)力下和加速應(yīng)力下的產(chǎn)品壽命分布參數(shù)的分布信息綜合確定加速因子。以某加速度計(jì)為例,驗(yàn)證本文方法的正確性和有效性。

關(guān)鍵詞：壽命分布; 小子樣; Fisher信息矩陣; 混合先驗(yàn)分布; 后驗(yàn)分布; 加速因子

0引言

加速因子是一個(gè)反映加速試驗(yàn)中某一個(gè)加速應(yīng)力水平效果的量,能夠?qū)Σ煌铀贄l件下的退化數(shù)據(jù)進(jìn)行有效折算,在產(chǎn)品的試驗(yàn)設(shè)計(jì)、可靠性篩選與驗(yàn)收以及產(chǎn)品的質(zhì)量改進(jìn)等方面有著重要的作用[1]。加速退化試驗(yàn)可以在較短時(shí)間內(nèi)獲取產(chǎn)品性能退化數(shù)據(jù),由于其不需要等到失效時(shí)間才估計(jì)產(chǎn)品壽命或可靠性,因此其尤其適用于高可靠長(zhǎng)壽命產(chǎn)品,基于加速退化試驗(yàn)信息的加速因子研究具有一定的可行性,但對(duì)于一些缺乏產(chǎn)品退化試驗(yàn)信息尤其是產(chǎn)品級(jí)加速試驗(yàn)信息的產(chǎn)品而言,其加速因子的鑒定往往很難開(kāi)展[2-3]。

國(guó)內(nèi)外對(duì)加速因子確定方法的研究較多,但大部分文獻(xiàn)對(duì)加速因子的研究是建立在產(chǎn)品級(jí)加速試驗(yàn)尤其是加速壽命試驗(yàn)信息基礎(chǔ)上,很少有文獻(xiàn)對(duì)缺乏加速試驗(yàn)信息時(shí)的加速因子進(jìn)行研究。劉琦等利用Bayes方法對(duì)對(duì)數(shù)正態(tài)分布加速壽命試驗(yàn)條件下的加速因子進(jìn)行分析[4],首先基于全壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)和隨機(jī)變量函數(shù)分布的理論推導(dǎo)出加速因子的先驗(yàn)分布,然后由 Bayes公式結(jié)合少量的現(xiàn)場(chǎng)截尾試驗(yàn)數(shù)據(jù),得出加速因子的Bayes估計(jì)模型。張永強(qiáng)等結(jié)合高可靠長(zhǎng)壽命產(chǎn)品加速壽命試驗(yàn)特點(diǎn),給出了加速壽命試驗(yàn)條件下冪律退化模型的加速因子確定方法[5],利用Bayes方法,結(jié)合額定應(yīng)力環(huán)境下的小子樣數(shù)據(jù)和加速因子的先驗(yàn)分布(經(jīng)驗(yàn)分布),推導(dǎo)出加速因子后驗(yàn)分布。周源泉對(duì)加速因子點(diǎn)估計(jì)及區(qū)間估計(jì)等進(jìn)行了大量研究,在理論上得到了許多有意義的關(guān)于加速因子確定方法的研究結(jié)論[6-8]。張春華等對(duì)常見(jiàn)壽命分布下加速因子進(jìn)行了總結(jié)研究[9]。文獻(xiàn)[10]等利用部件試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)部件加速因子進(jìn)行估計(jì),其對(duì)部件壽命分布類型或應(yīng)力試驗(yàn)類型無(wú)要求,解決的是針對(duì)具有大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)的部件加速因子的計(jì)算。

為解決上述問(wèn)題,本文基于貝葉斯信息融合思想,提出一種基于壽命分布和貝葉斯的加速因子確定方法,并以某加速度計(jì)為例,驗(yàn)證本文方法的正確性和有效性。

1基于壽命分布和貝葉斯的加速因子確定方法

本文提出的基于壽命分布和貝葉斯的加速因子確定方法應(yīng)包括以下3步,其方法流程圖如圖1所示,其中壽命分布類型本文以常見(jiàn)的壽命分布類型對(duì)數(shù)正態(tài)分布為例進(jìn)行介紹。

(1) 正常應(yīng)力下產(chǎn)品壽命分布參數(shù)的分布求解。首先基于相似產(chǎn)品內(nèi)場(chǎng)貯存數(shù)據(jù)信息對(duì)正常應(yīng)力下壽命分布參數(shù)進(jìn)行極大似然估計(jì),再得到其方差-協(xié)方差矩陣,最終得到正常應(yīng)力下壽命分布參數(shù)的分布。

(2) 加速應(yīng)力下壽命分布參數(shù)的分布求解。對(duì)于小子樣產(chǎn)品而言,能用于做加速試驗(yàn)的產(chǎn)品數(shù)量很少,需要結(jié)合相似產(chǎn)品加速應(yīng)力試驗(yàn)信息和專家經(jīng)驗(yàn)信息進(jìn)行混合先驗(yàn)分布的確定,Bayes小子樣理論[11]可以有效地利用多源驗(yàn)前信息,結(jié)合少量的內(nèi)場(chǎng)試驗(yàn)信息并利用ML-Ⅱ方法[12-13]確定混合先驗(yàn)分布的權(quán)重,利用Bayes公式進(jìn)行小子樣產(chǎn)品加速應(yīng)力下壽命分布參數(shù)分布的求解。

(3) 加速因子后驗(yàn)期望求解。利用加速因子與壽命分布參數(shù)之間的關(guān)系,可得基于小子樣加速試驗(yàn)的加速因子后驗(yàn)分布及期望。

2基于壽命對(duì)數(shù)正態(tài)分布的加速因子確定方法

2.1正常應(yīng)力下壽命分布參數(shù)分布

圖1　小子樣產(chǎn)品加速因子確定方法

由于正常應(yīng)力S1下的相似產(chǎn)品壽命數(shù)據(jù)Ti服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布,可得其似然函數(shù)如

(1)

因此,可得其對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

(2)

對(duì)該對(duì)數(shù)似然函數(shù)進(jìn)行極大化處理后得到下列方程組

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

由于矩陣F為對(duì)角矩陣,其求逆后仍為對(duì)角矩陣,因此可得對(duì)數(shù)均值μ1的期望與方差分別為

(9)

(10)

為求解加速因子分布方便,可設(shè)正常應(yīng)力S1下壽命分布對(duì)數(shù)均值μ1服從正態(tài)分布,即

(11)

2.2加速應(yīng)力下壽命分布參數(shù)分布

ML-Ⅱ的基本原理來(lái)源于Robbins的經(jīng)驗(yàn)Bayes理論,其基本思想是將加速驗(yàn)證試驗(yàn)信息看作是由其邊緣分布產(chǎn)生的樣本,根據(jù)在不同先驗(yàn)分布下,加速驗(yàn)證試驗(yàn)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的似然性大小來(lái)確定不同的先驗(yàn)分布在混合的先驗(yàn)分布中的權(quán)重,從而確定混合先驗(yàn)分布,根據(jù)ML-Ⅱ的基本原理,將加速驗(yàn)證試驗(yàn)數(shù)據(jù)lnTi(i=1,2,…,n2)分別看作是由邊緣分布m(lnT|π1),m(lnT|π2)產(chǎn)生,于是可得似然函數(shù)如下所示：

(12)

根據(jù)第2類極大似然估計(jì)原理,L(lnT|πi)的值越大,則其所對(duì)應(yīng)的先驗(yàn)分布πi(μ2)(i=1,2)在融合的先驗(yàn)分布中所占權(quán)重也越大,因此可得權(quán)重如下所示。

(13)

(14)

(15)

(16)

利用Bayes公式可得μ2的后驗(yàn)分布為式(17)所示

(17)

(18)

(19)

2.3加速因子確定

(20)

式中,μp為對(duì)數(shù)正態(tài)分布p分位點(diǎn)壽命,且σ1=σ2=σ。

由于KS2=eμ1-μ2,即lnKS2=μ1-μ2,而(μ1-μ2)～N(ν,τ),因此,KS2～LN(ν,τ)。

其中

(21)

(22)

因此可知,小子樣產(chǎn)品在加速應(yīng)力水平為S2下的加速因子后驗(yàn)期望為

(23)

3案例分析

本節(jié)以某加速度計(jì)為例,對(duì)上述加速因子確定方法進(jìn)行案例應(yīng)用。首先利用相似產(chǎn)品內(nèi)場(chǎng)貯存數(shù)據(jù)信息對(duì)正常應(yīng)力下的加速度計(jì)壽命分布參數(shù)進(jìn)行分布求解,接著利用待研產(chǎn)品加速驗(yàn)證試驗(yàn)信息對(duì)加速應(yīng)力下的加速度計(jì)壽命分布參數(shù)進(jìn)行分布求解,并結(jié)合相似產(chǎn)品加速應(yīng)力試驗(yàn)信息及專家經(jīng)驗(yàn)等先驗(yàn)信息,以彌補(bǔ)加速驗(yàn)證試驗(yàn)樣本量不足的缺點(diǎn),最后給出該加速度計(jì)的加速因子分布及期望。

新研加速度計(jì)加速退化試驗(yàn)在80 ℃下進(jìn)行1 560h試驗(yàn),試驗(yàn)樣本量為2個(gè),每隔120h進(jìn)行一次測(cè)試,共測(cè)得試驗(yàn)點(diǎn)14個(gè),根據(jù)加速退化試驗(yàn)可以得到2塊加速度計(jì)在80 ℃下的變化規(guī)律,且2試驗(yàn)樣本的加速試驗(yàn)數(shù)據(jù)軌跡曲線如圖2所示。

圖2　80 ℃下2塊待研加速度計(jì)標(biāo)度因數(shù)變化趨勢(shì)

另外通過(guò)調(diào)研10塊該加速度計(jì)相似產(chǎn)品的正常應(yīng)力下試驗(yàn)數(shù)據(jù),且其軌跡曲線如圖3所示。

圖3　正常應(yīng)力下10塊加速度計(jì)相似產(chǎn)品標(biāo)度因數(shù)變化趨勢(shì)

根據(jù)規(guī)定的退化失效閾值250 ppm,利用冪函數(shù)模型：

x=atb

式中,x表示退化量；t表示時(shí)間；a,b通過(guò)擬合得到,觀察計(jì)算的結(jié)果可知通過(guò)冪函數(shù)來(lái)擬合的相關(guān)系數(shù)均接近于1,說(shuō)明擬合效果較好;然后通過(guò)計(jì)算得到該加速度計(jì)正常應(yīng)力下的偽壽命如表1所示,并對(duì)偽壽命的對(duì)數(shù)值進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn),檢驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)圖4所示。通過(guò)檢驗(yàn)結(jié)果可知,AD值較小且P值大于0.05,因此偽壽命的對(duì)數(shù)值符合正態(tài)分布,即偽壽命服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。

通過(guò)圖4可知,10塊該加速度計(jì)在正常應(yīng)力下偽壽命服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布,因此利用式(11)可得

μ1～N(11.583 0, 0.021 68)

(24)

同理,根據(jù)4塊相似產(chǎn)品加速度計(jì)的歷史加速退化試驗(yàn)數(shù)據(jù),其軌跡曲線如圖5所示。

表1　加速度計(jì)正常應(yīng)力下的偽壽命

圖4　正常應(yīng)力下該加速度計(jì)對(duì)數(shù)偽壽命正態(tài)性檢驗(yàn)值

圖5　加速應(yīng)力下4塊加速度計(jì)相似產(chǎn)品標(biāo)度因數(shù)變化趨勢(shì)

根據(jù)規(guī)定的退化失效閾值300 ppm,利用冪函數(shù)模型x=atb計(jì)算得到加速應(yīng)力下壽命如表2所示。

表2　加速度計(jì)加速應(yīng)力下的偽壽命

通過(guò)表2計(jì)算結(jié)果利用式(11)可得π1(μ2)～N(7,0.027),又由于根據(jù)專家經(jīng)驗(yàn)可得π2(μ2)～N(8,0.05),因此μ2的先驗(yàn)分布為π(μ2)=ω1π1(μ2)+ω2π2(μ2)。根據(jù)加速退化試驗(yàn)得到的壽命數(shù)據(jù)結(jié)合式(12)可得

L(lnT|π2)=1.072 2

因此,根據(jù)加速驗(yàn)證試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理得到的偽壽命結(jié)論,再通過(guò)Bayes公式計(jì)算利用式(18)和式(19)可得

(25)

(26)

將式(25)、式(26)結(jié)果代入式(21)、式(22)可得

ν=3.52,τ=0.030 589

因此可知,該加速度計(jì)在加速應(yīng)力水平為S2下的加速因子后驗(yàn)期望為

4結(jié)論

根據(jù)工程實(shí)際中常見(jiàn)的壽命分布類型,給出了基于壽命服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的加速因子確定方法。

基于相似產(chǎn)品內(nèi)場(chǎng)貯存數(shù)據(jù)信息對(duì)正常應(yīng)力下壽命分布參數(shù)進(jìn)行極大似然估計(jì),再根據(jù)Fisher信息矩陣給出產(chǎn)品壽命分布參數(shù)分布的求解方法。

在加速應(yīng)力下壽命分布參數(shù)分布推導(dǎo)過(guò)程中,由于是針對(duì)小子樣產(chǎn)品,能用于做加速試驗(yàn)的產(chǎn)品數(shù)量很少,需要結(jié)合相似產(chǎn)品加速應(yīng)力試驗(yàn)信息和專家經(jīng)驗(yàn)信息進(jìn)行混合先驗(yàn)分布的確定,在混合先驗(yàn)分布確定過(guò)程中基于第二似然估計(jì)方法(ML-Ⅱ)方法,對(duì)多源信息進(jìn)行賦權(quán),以確?；旌舷闰?yàn)分布的準(zhǔn)確性。

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陳志軍(1990-),男,碩士研究生,主要研究方向?yàn)楫a(chǎn)品耐久性分析與試驗(yàn)技術(shù)。

E-mail：czj19900807@163.com

王前程(1988-),男,博士研究生,主要研究方向?yàn)楫a(chǎn)品退化建模與仿真技術(shù)。

E-mail：wangqc123@163.com

陳云霞(1977-),女,教授,博士,主要研究方向?yàn)橄到y(tǒng)壽命設(shè)計(jì)分析與試驗(yàn)評(píng)估技術(shù)、壽命學(xué)。

E-mail：chenyunxia@buaa.edu.cn

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http:∥www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20141119.2230.012.html

Determination method of acceleration factor based on

life distribution and Bayes

CHEN Zhi-jun1, WANG Qian-cheng2, CHEN Yun-xia1

(1.SchoolofReliabilityandSystemsEngineering,BeihangUniversity,Beijing100191,China;

2.Xi’anSatelliteControlCenter,Xi’an710043,China)

Abstract:The acceleration factor is difficult to determine for small sample products, a determination method of acceleration factors, based on life distribution and Bayes, is proposed. First, according to the stored data information of similar products within the field under normal stress, obtain the value of the distribution parameters of the product life by maximum likelihood estimation (MLE), then use the Fisher information matrix inversion to obtain its variance-covariance matrix, and eventually get the distribution of life distribution parameters. Then, based on the testing information of small sample researching products under accelerated stress, combine some priori information, such as the accelerated stress test information of similar products and expert experience, and use the ML-Ⅱ method for determining the weight of a mixed prior distribution. The posterior distribution of the distribution parameters of product life can be achieved by the Bayes method. Finally, by combining with distribution information distribution parameters of the product life under the normal stress and accelerated stress, acquire the acceleration factor. Taking an accelerometer as an example, the correctness and the validity of the proposed method are proved.

Keywords:life distribution; small sample; Fisher information matrix; mixed prior distribution; posterior distribution; acceleration factor

作者簡(jiǎn)介：

中圖分類號(hào)：TB 114.3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：ADOI:10.3969/j.issn.1001-506X.2015.05.39

收稿日期：2014-07-22；修回日期：2014-10-30；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2014-11-19。