唐劍琴

（浙江省杭州市文海實(shí)驗(yàn)學(xué)校）

喬治·波利亞（G.Polya，1887-1985 年）是美籍匈牙利數(shù)學(xué)家、教育家、數(shù)學(xué)解題方法論的開(kāi)拓者，他通過(guò)自己數(shù)十年的教學(xué)與科研經(jīng)驗(yàn)，對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行了深入分析，致力于探索解題過(guò)程的一般規(guī)律，主要表現(xiàn)在他的解題表上。

一、波利亞的“怎樣解題表”

波利亞在“怎樣解題表”中將解題分為4 個(gè)步驟：（1）你必須理解題目。即明了未知量是什么？已知量是什么？條件是什么？題目所要求的是什么？（2）擬訂方案。找出已知數(shù)據(jù)與未知量之間的聯(lián)系或者考慮輔助問(wèn)題，并具體擬定一個(gè)求解的計(jì)劃。（3）執(zhí)行你的方案即實(shí)現(xiàn)求解計(jì)劃。（4）回顧檢查已經(jīng)得到的解答，檢驗(yàn)每一步驟。在這4 個(gè)步驟中，第一步是認(rèn)識(shí)題目的過(guò)程，這一步是成功解決問(wèn)題的前提。第二步主要是通過(guò)“已有的知識(shí)基礎(chǔ)和解題經(jīng)驗(yàn)，探索題目的解題思路”，這一步是解題的核心內(nèi)容和關(guān)鍵環(huán)節(jié)。第三步雖然是整個(gè)解題的“主體”，但整個(gè)解題思路已經(jīng)打開(kāi)，只需要對(duì)題目的信息資源進(jìn)行一次邏輯配置，因此這一步完成較為容易。由于第三步的完成就代表著整個(gè)題目解題的結(jié)束，因此很多老師和學(xué)生忽視了第四步，而第四步同樣是解題的關(guān)鍵。第四步中所說(shuō)的“回顧”，即驗(yàn)算所得到的解，并將結(jié)果和方法試著用于其他問(wèn)題；此外，每一個(gè)階段又有一系列啟發(fā)性問(wèn)句，譬如：未知數(shù)是什么？（在證明題中要求證什么），已知數(shù)據(jù)是什么？你以前見(jiàn)過(guò)它嗎？你是否見(jiàn)過(guò)相同的問(wèn)題而形式稍有不同、你能利用它嗎？你能利用它的結(jié)果嗎？你能利用它的方法嗎？你能用別的方法推導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果嗎？通過(guò)對(duì)這些問(wèn)題的回顧可以提高學(xué)生對(duì)題目的認(rèn)知能力，進(jìn)而提高他們的解題能力。

二、波利亞“怎樣解題表”在幾何教學(xué)中的應(yīng)用舉例

題目：如圖1 所示，正方形ABCD 中，點(diǎn)E 是BC 中點(diǎn)，AE⊥EF，EF 與正方形的外角∠DCP 的平分線相交于點(diǎn)F。

圖1

求證：AE=EF

1.“弄清問(wèn)題”階段，教會(huì)學(xué)生形成正確的審題方法

數(shù)學(xué)問(wèn)題的給出是通過(guò)“數(shù)學(xué)語(yǔ)言”達(dá)到的。符號(hào)語(yǔ)言簡(jiǎn)潔抽象，圖形語(yǔ)言直觀形象，而文字語(yǔ)言則通俗易懂。教師可以教學(xué)生利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換來(lái)培養(yǎng)學(xué)生好的審題習(xí)慣，形成正確的審題方法。對(duì)于本題，要求他們盡量將題目中的已知條件直觀地體現(xiàn)在圖上，一看就能明白。這樣用簡(jiǎn)潔明了的圖形呈現(xiàn)的視覺(jué)形象進(jìn)行問(wèn)題表征，能簡(jiǎn)化看似復(fù)雜的問(wèn)題，減輕工作記憶的負(fù)擔(dān)，稱之為標(biāo)圖。另外，還要注意引導(dǎo)學(xué)生挖掘已知條件與所求問(wèn)題之間的關(guān)系，特別是挖掘題目中的隱含條件。針對(duì)這一題目，我們首先要弄清題目中的題設(shè)和結(jié)論：題設(shè)1，四邊形ABCD 為正方形，學(xué)生應(yīng)想到正方形的所有性質(zhì)；題設(shè)2，E 是BC 中點(diǎn)，應(yīng)想到BE=EC，且是BC 的一半；題設(shè)3，AE⊥EF，除想到∠AEF 是直角外，還應(yīng)推出∠AEB+∠FEP=90°的關(guān)系；題設(shè)4，CF 為直角∠DCP 的角平分線，可推出∠DCF=∠PCF=45°；結(jié)論，AE=EF。為養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣，學(xué)生應(yīng)將上述題設(shè)在圖中做出標(biāo)注，以方便對(duì)題目隱含條件的探索和利用。本題目中的BE=EC，AE⊥EF，∠DCF=∠PCF=45°都應(yīng)在圖中做出標(biāo)注，標(biāo)注方法如圖2 所示。此外，上述4 個(gè)題設(shè)還蘊(yùn)含著一些其他條件，學(xué)生在分析題設(shè)過(guò)程中應(yīng)當(dāng)盡可能找出這些隱含條件，并在圖中做出標(biāo)注。如根據(jù)題正方形的性質(zhì)可以看出∠AEB+∠BAE=90°的關(guān)系，而結(jié)合題設(shè)3 中的∠AEB+∠FEP=90°的關(guān)系，可以推出∠BAE=∠PEF 的關(guān)系。由此可見(jiàn)，在“弄清問(wèn)題”階段，學(xué)生除弄清題設(shè)中的已知條件外，還應(yīng)盡可能多地分析出已知條件所蘊(yùn)含的“隱形條件”，這樣才能為下一步做好充分準(zhǔn)備。

圖2

2.“擬訂計(jì)劃”階段，充分暴露思維過(guò)程，傳授解題策略

（1）“擬訂計(jì)劃”途徑探究

很多時(shí)候，解題的過(guò)程并不是從已知條件到問(wèn)題目標(biāo)，而是從問(wèn)題目標(biāo)層層向上反推的過(guò)程，這時(shí)教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生考慮以前是否見(jiàn)過(guò)它？是否見(jiàn)過(guò)相同的問(wèn)題而形式稍有不同？你是否知道一個(gè)可能用得上的定理？考慮具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問(wèn)題。能否利用它的結(jié)果或方法？為了利用它，是否引入某些輔助元素？能否用不同的方法重新敘述它？回到定義去。如果你不能解決所提出的問(wèn)題，可先解決一個(gè)與此有關(guān)的問(wèn)題。是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)？是否利用了所有條件？是否考慮了包含在問(wèn)題中所有必要的概念？

上課時(shí)要善于向?qū)W生暴露思維過(guò)程。當(dāng)學(xué)生問(wèn)到某些較困難的問(wèn)題時(shí)，一定要和學(xué)生共同思考，尋找解決問(wèn)題的思想方法。著名數(shù)學(xué)家希爾伯特在哥尼斯堡大學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)，他常常把自己置于危險(xiǎn)境地，對(duì)要講的內(nèi)容總是現(xiàn)想現(xiàn)推。這樣一來(lái)，就使得同學(xué)們有機(jī)會(huì)瞧一瞧高明的數(shù)學(xué)思維過(guò)程如何進(jìn)行，數(shù)學(xué)家是如何接受挑戰(zhàn)的。俗話說(shuō)：失敗乃成功之母，有時(shí)候，失敗的教訓(xùn)往往能使成功的過(guò)程更加深刻。例如，本題可分析如下：

從結(jié)論出發(fā)：要證邊等，通常有哪些方法？（如果兩條邊在同一大三角形中，可以考慮等腰三角形“等角對(duì)等邊”性質(zhì)，通過(guò)證明角等來(lái)證邊等；如果兩條邊在兩個(gè)不同三角形中，可以考慮通過(guò)證明三角形全等來(lái)證對(duì)應(yīng)邊相等。）

學(xué)生經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單比較后，通常能發(fā)現(xiàn)本結(jié)論顯然適合尋找含AE 和EF 的兩組不同的三角形，通過(guò)證三角形全等的方法解題。從條件出發(fā)，以AE 為斜邊Rt△ABE 已經(jīng)存在，引導(dǎo)學(xué)生思考應(yīng)該尋找以EF 為斜邊的直角三角形，不難想到過(guò)F 點(diǎn)作BC 邊的垂線段FH，則可以得Rt△EFH，由“k”型相似，再證Rt△ABE≌Rt△EFH，從而具體擬定了一個(gè)求解的計(jì)劃。

其次，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)解題過(guò)程進(jìn)行分析、歸納，把解題過(guò)程進(jìn)行概括、提煉，形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最重要的內(nèi)容——數(shù)學(xué)的思想和方法。指導(dǎo)學(xué)生理解和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，傳授中學(xué)數(shù)學(xué)解題常用的解題策略：模式識(shí)別、問(wèn)題轉(zhuǎn)化、以退求進(jìn)、正難則反等等。例如本題輔助線FH 實(shí)際上與CD 平行，與題中的角平分線CF，等腰△FCH 組成了知二可以求證余一的基本圖形，因此輔助線的添法就可以有作BC 的平行線或作CF 的中垂線與BC 交于點(diǎn)H 三種不同的表述方法，雖是同一條線段，但因做法不同也就能起到活躍學(xué)生思維的作用。

（2）具體教學(xué)計(jì)劃

針對(duì)這一題目，可擬定如下教學(xué)計(jì)劃。首先，引導(dǎo)學(xué)生全面認(rèn)識(shí)已知條件，讓學(xué)生對(duì)題干的已知量和所求量有一個(gè)深刻的認(rèn)識(shí)，除題干中的已知量以外，還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在“弄清問(wèn)題”階段所提及的隱含條件。其次，探索適合本題的解題方法，引導(dǎo)學(xué)生思考證明兩邊相等的方法，本題應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)變思維，由結(jié)論反推證明方法。最后尋找所確定解題方法的“充分條件”，完成解題；學(xué)生在確定通過(guò)證明三角形全等來(lái)證對(duì)應(yīng)邊相等后，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造對(duì)應(yīng)的三角形，即Rt△ABE 和Rt△EFH，而學(xué)生根據(jù)已知條件很容易證明Rt△ABE 和Rt△EFH 相似，因此，證明本題的關(guān)鍵就在于尋找證明兩直角三角形中的任意對(duì)應(yīng)邊相等這一“充分條件”；在實(shí)際教學(xué)中，很多學(xué)生都會(huì)因找不出證明對(duì)應(yīng)邊相等的方法而無(wú)法做出解答，造成這一現(xiàn)象的主要原因就是學(xué)生找到“Rt△ABE 和Rt△EFH 相似”這一條件后，沒(méi)有繼續(xù)探索這一條件所隱含的條件，即可通過(guò)BE=0.5AB 推出FH=0.5EH，進(jìn)而結(jié)合CH=FH（FC 是平分線，三角形FCH 是等腰直角三角形）推出FH=EC=BE 這一關(guān)鍵條件。所以，當(dāng)學(xué)生遇到困難時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探索隱含條件，進(jìn)而推出所要求的結(jié)論。如圖3 所示：

圖3

3.“實(shí)現(xiàn)計(jì)劃”階段，明確解題思路，規(guī)范解題過(guò)程

清晰規(guī)范的解題思路是學(xué)生正確并迅速解題的關(guān)鍵，這就要求教師在教學(xué)過(guò)程中重視對(duì)學(xué)生“科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)解題”品質(zhì)的培養(yǎng)。另外，規(guī)范學(xué)生的解題思路，可以幫助學(xué)生認(rèn)清題目所考查的知識(shí)點(diǎn)，進(jìn)而加深學(xué)生對(duì)題目知識(shí)點(diǎn)及解題方法的印象，并提高學(xué)生的解題能力。因此，在平時(shí)的教學(xué)中，應(yīng)嚴(yán)格按照規(guī)范的解題過(guò)程給學(xué)生講解解題思路，并且嚴(yán)格規(guī)范學(xué)生平時(shí)作業(yè)解答思路，鼓勵(lì)學(xué)生認(rèn)真、合理地運(yùn)算。幫助學(xué)生克服解題過(guò)程中的惰性，以防止學(xué)生養(yǎng)成不認(rèn)真解題的習(xí)慣。例如，在本題中，在證明“Rt△ABE 和Rt△EFH 相似”時(shí)的思路都很清晰，但當(dāng)證明“FH=BE”相等時(shí)，很多學(xué)生所表現(xiàn)的就是“明知FH=BE，卻不知怎樣用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)”，在解題實(shí)施過(guò)程中就會(huì)顯得“思路不嚴(yán)謹(jǐn)”，為此，教師應(yīng)嚴(yán)格按照上述圖1 所示的解題思路，讓學(xué)生明白整個(gè)證明過(guò)程的“來(lái)龍去脈”。

4.“回顧”階段，加強(qiáng)解題后的反思教學(xué)

所謂解題后的反思是指在解決了數(shù)學(xué)問(wèn)題后，通過(guò)對(duì)審題過(guò)程、解題思路、解題途徑、題目結(jié)論的反思來(lái)進(jìn)一步暴露數(shù)學(xué)解題的思維過(guò)程，從而開(kāi)發(fā)學(xué)習(xí)者的解題智慧，以達(dá)到事半功倍，提高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科自我監(jiān)控能力的目的。教師可以在課堂小結(jié)時(shí)，適時(shí)地對(duì)某種數(shù)學(xué)思想方法的關(guān)鍵點(diǎn)或要素進(jìn)行概括、強(qiáng)化和揭示，對(duì)它的內(nèi)容、規(guī)律、運(yùn)用等有意識(shí)地適度點(diǎn)撥。

（1）善用一題多解，加強(qiáng)解題方法的運(yùn)用

在解題過(guò)程中，一些題往往有多解，通過(guò)一題多解的練習(xí)，一方面可以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)題目理解，另一方面可以訓(xùn)練學(xué)生對(duì)解題方法的運(yùn)用能力，并通過(guò)不同的解題思路來(lái)尋找解題的最佳途徑和方法，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維。通過(guò)一題多解的練習(xí)題，對(duì)鞏固知識(shí)、增強(qiáng)解題能力、提高學(xué)習(xí)成績(jī)大有益處。在問(wèn)題解決之后，教師可根據(jù)情況進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊活}多解、一題多變、多題組合，注意數(shù)學(xué)思想和方法的總結(jié)、提煉和升華，進(jìn)一步拓展學(xué)生的思維平臺(tái)，優(yōu)化解題過(guò)程。不斷地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題后的反思，使學(xué)生完成自我意識(shí)、自我評(píng)價(jià)、自我調(diào)整的過(guò)程，提高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科自我監(jiān)控能力。

例如，在本題中，要證明AE=EF，需要將這兩條邊放置在不同的三角形中，多數(shù)學(xué)生會(huì)想到放置在Rt△ABE 和Rt△EFH中，這種方式是將AE 所在的△ABE 固定，尋找相似的另一個(gè)△EFH。按照同樣的思路，可以將EF 所在的△EFH 固定，尋找另一個(gè)相似三角形。因此，需要做AB 的中點(diǎn)G，連接EG，如圖4 所示，這樣就將所求轉(zhuǎn)化成求證△AEG≌△ECF，學(xué)生很容易用找到∠GAE=∠CEF、AG=EC、∠AGE=∠ECF 這三個(gè)條件，進(jìn)而證明已知結(jié)論。

還可以反過(guò)來(lái)推，要證明AE=EF,因?yàn)椤螦EF=90°，則只需證明△AEF 是等腰直角三角形，也就是只需證明∠EAF=∠EFA=45°，題中出現(xiàn)正方形，容易想到對(duì)角線平分一組對(duì)角，就會(huì)出現(xiàn)45°角，所以如圖5 連接AC，同時(shí)想到CF 是外角平分線，所以∠ACF=90°，故A、E、C、F 四點(diǎn)共圓，且AF 為直徑，根據(jù)圓周角定理，∠AFE=∠ACB=45°，問(wèn)題得以解決。

圖4

圖5

這樣通過(guò)改變解題方法，學(xué)生就會(huì)和之前的解題方法進(jìn)行比較，如比較各種解題方法的簡(jiǎn)易程度、優(yōu)缺點(diǎn)等，由此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和愛(ài)好。

（2）從特殊到一般中滲透辯證思維

數(shù)學(xué)題目并不是固定不變的，某一類型題有時(shí)可以采用同樣的方法解答。學(xué)生在解題過(guò)程中，可以輕松解決一些“特殊化”的題目，而將這些“特殊化”的題目改成一般形式后，很多學(xué)生就會(huì)覺(jué)得無(wú)從下手，而這種“從特殊到一般”的題型正是近幾年考查學(xué)生解題能力的主要形式之一。因此，將“特殊化”的題目改成“一般性”的題目，可以使學(xué)生在解題過(guò)程中理解這種“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思維，進(jìn)而提高解題能力。例如，本題可讓學(xué)生總結(jié)一下幾何證明題的一般方法，點(diǎn)E 運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的幾種情況分類，如圖6，弱化條件，將“點(diǎn)E 是BC 的中點(diǎn)”弱化為“點(diǎn)E 是直線BC上任意一點(diǎn)”，其他條件都不變，則結(jié)論是否成立？

圖6

（3）善用一題多變，提高解題能力

在實(shí)際教學(xué)中，有一些隱含條件或關(guān)鍵條件很難想出，教師可以利用變式教學(xué)，將題設(shè)條件或結(jié)論作相應(yīng)的變化，按照一定的梯度設(shè)置變式題，慢慢引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行全面思考。如對(duì)那些鋪墊題、遷移題、深化題的練習(xí)，會(huì)使學(xué)生快速反饋，并能通過(guò)變式練習(xí)，將所學(xué)知識(shí)串成一線，聯(lián)成一體，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使學(xué)生達(dá)到充分感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的魅力。

例如，本題可以引導(dǎo)學(xué)生思考將題目的條件和結(jié)論做一互換，得到解決相關(guān)的問(wèn)題，從而增強(qiáng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，提高了數(shù)學(xué)解題能力。

變式1：正方形ABCD 中，點(diǎn)E 是BC 中點(diǎn)，AE⊥EF，AE=EF，連接CF.

求證：CF 平分正方形的外角∠DCP。

還可以針對(duì)題目作出進(jìn)一步的探索，如改變圖形的背景，將題目改為：如圖7 在△ABC 中，點(diǎn)E 是BC 上一動(dòng)點(diǎn)，∠AEF=60度，AE=EF，連接CF。

求證：CF 平分△ABC 的外角∠DCP。

圖7

還可以讓學(xué)生自己反思和總結(jié)，圖形背景可不可以換成任意的正多邊形呢？你還能提出類似的問(wèn)題并嘗試解決嗎？

在中學(xué)數(shù)學(xué)的解題教學(xué)中，教師不僅要傳授學(xué)生相關(guān)知識(shí)，還要重視學(xué)生解題能力的培養(yǎng)，不僅要培養(yǎng)學(xué)生解決一般問(wèn)題的能力，還要培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力、獨(dú)立思考能力和想象力。波利亞就主張選擇有代表性的題目，發(fā)掘各個(gè)側(cè)面的題目，通過(guò)不同的角度展開(kāi)解題訓(xùn)練。這樣才能在保證學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)效率。所以，教師積極學(xué)習(xí)波利亞解題理論，將波利亞的解題思想積極運(yùn)用到教學(xué)實(shí)踐中，就可以避免孤立的知識(shí)教學(xué)和就題講題的教學(xué)方式，將知識(shí)概念化、系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，幫助學(xué)生有效實(shí)現(xiàn)知識(shí)的整合和方法的遷移，激發(fā)他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情。

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