曹則賢

波利亞（George Pólya，1887～1985），匈牙利數(shù)學(xué)家，1940年前生活在歐洲，后移居美國(guó)。波利亞能夠用匈牙利語、法語、德語、意大利語、英語和丹麥語等幾種文字寫作，他當(dāng)然也會(huì)一些拉丁語和希臘語。波利亞青年時(shí)期曾攻讀數(shù)學(xué)、物理和哲學(xué)。在數(shù)學(xué)研究方面涉獵過數(shù)論、函數(shù)論、概率論、幾何等領(lǐng)域。波利亞活到98歲仍耳聰目明，這與他一直進(jìn)行數(shù)學(xué)思考不無關(guān)系。

波利亞的數(shù)學(xué)功底在其同事和學(xué)生中間有口皆碑，就對(duì)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的理解深度而言，無人能出其右。波利亞對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的熱情，而不只是其數(shù)學(xué)天分，才是他取得這樣杰出成就的保證。

波利亞作為數(shù)學(xué)家，曾被譽(yù)為20世紀(jì)經(jīng)典分析領(lǐng)域的巨人之一，他的所有研究都體現(xiàn)出使人愉悅的個(gè)性、令人驚奇的鑒賞力、水晶般清晰的方法、簡(jiǎn)捷的手段以及有力的結(jié)果。但是，波利亞的名氣更多地來自他的教育理念與實(shí)踐。波利亞主張數(shù)學(xué)教育主要目的之一是發(fā)展學(xué)生解決問題的能力，教會(huì)學(xué)生思考。為了教會(huì)人們?nèi)绾谓獯穑〝?shù)學(xué)）問題，波利亞先后撰寫了How to Solve It（中譯本為《怎樣解題》）、Mathematical Discovery on Understanding，Learning and Teaching Problem Solving（中譯本為《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》）、Mathematics and Plausible Reasoning： Induction and Analogy in Mathematics（中譯本為《數(shù)學(xué)與猜想：數(shù)學(xué)中的歸納和類比》）、Mathematics and Plausible Reasoning： Patterns of Plausible Inference（中譯本為《數(shù)學(xué)與猜想：合情推理模式》）等書。這些書籍一經(jīng)出版，立刻在數(shù)學(xué)界引起轟動(dòng)，很快風(fēng)行世界。波利亞的這些書，高屋建瓴偏又能深入淺出，我相信幾乎所有閱讀過的人們都會(huì)有醍醐灌頂?shù)母杏X。筆者在閱讀這些書籍時(shí)，只覺得那些年—從小學(xué)到博士畢業(yè)—筆者消磨在數(shù)學(xué)上的時(shí)光真是白費(fèi)了。

數(shù)學(xué)一向被認(rèn)為是最晦澀難懂的學(xué)問。波利亞卻有一種特殊的風(fēng)格，總是能用他不經(jīng)意的風(fēng)趣去消解讀者的畏難情緒。“In order to solve this differential equation， you look at it till a solution occurs to you.（為了解這個(gè)微分方程，你要盯著它看，直到方程的解降臨于你。）”“The first rule of discovery is to have brains and good luck. The second rule of discovery is to sit tight and wait till you get a bright idea.（發(fā)現(xiàn)的第一定律是要有腦子和好運(yùn)氣，發(fā)現(xiàn)的第二定律是你要坐得住，直等到有了聰明的好主意。）”這些風(fēng)趣的句子隨意散落在波利亞的著作中。句句在理的大白話，不免讓人會(huì)心一笑。那接下來的高深數(shù)學(xué)，也就不是那么索然無味了。

波利亞灌輸數(shù)學(xué)思想的同時(shí)，一直不厭其煩地就具體的問題，引導(dǎo)讀者去學(xué)會(huì)解決數(shù)學(xué)問題的方法。在《怎樣解題》一書中，波利亞針對(duì)解決數(shù)學(xué)問題（一般指還沒有現(xiàn)成解的問題）建議了如下步驟：

1. 首先，你要弄明白問題；

2. 弄明白問題后，制訂一個(gè)計(jì)劃；

3. 執(zhí)行計(jì)劃；

4. 回過頭來檢查已完成的工作?？梢宰龅酶靡恍﹩?？

如果以上幾條不好使，波利亞建議你看看能否找到你能解決的、稍容易一點(diǎn)的問題，或者首先嘗試解決一些相關(guān)的其他問題。筆者覺得，波利亞的這些建議不只是針對(duì)數(shù)學(xué)問題，對(duì)于物理學(xué)或者其他自然科學(xué)領(lǐng)域，它們也一樣有效。難怪“按照波利亞的方式解決問題（Problem solving à la Pólya）”會(huì)被學(xué)術(shù)界奉為圭臬。

波利亞在數(shù)學(xué)方面的一個(gè)重大貢獻(xiàn)是關(guān)于隨機(jī)行走規(guī)律的研究。波利亞注意到隨機(jī)行走問題的過程非常具有傳奇色彩，因此被科學(xué)史家所津津樂道。

波利亞在瑞士的時(shí)候，有段時(shí)間住在一家療養(yǎng)院里。療養(yǎng)院在一片林地中，平時(shí)波利亞就在林子里一邊散步一邊思考他的數(shù)學(xué)問題。有點(diǎn)像我們的唐朝詩(shī)人李賀，波利亞出門也是帶著紙和筆的，一旦思有所得就趕緊記下來。療養(yǎng)院附近住著一些學(xué)生，有些還是波利亞認(rèn)識(shí)的。有一天，波利亞在散步的時(shí)候遇到了一個(gè)他認(rèn)識(shí)的學(xué)生，這個(gè)學(xué)生帶著他的女朋友也在散步。相遇的時(shí)候雙方也許打過招呼也許沒打招呼，反正是他們相遇后選擇不同路徑走下去。令波利亞大為驚訝的是，盡管努力規(guī)避，接下來他們又在不同的地點(diǎn)相遇了好幾次，這讓雙方多少都有一點(diǎn)尷尬。波利亞非常擔(dān)心那個(gè)學(xué)生會(huì)以為他是故意在制造這樣的相遇?！八麄儾粫?huì)以為我是個(gè)變態(tài)吧？不行，本教授不是那樣的人，這個(gè)現(xiàn)象一定要有個(gè)解釋?！辈ɡ麃嗊@樣想到。

這促使他考慮如下的問題：在給定的道路網(wǎng)格中，兩個(gè)人不經(jīng)意相遇的可能性到底是多大？這開啟了波利亞關(guān)于隨機(jī)行走問題的研究。1921年，他發(fā)表了第一篇關(guān)于隨機(jī)行走的論文—關(guān)于在街道網(wǎng)格中誤打誤撞的概率計(jì)算（über eine Aufgabe der Wahrscheinlichkeitsrechnung betreffend die Irrfahrt im Strassennetz， Math. Ann.， 1921）。有人認(rèn)為是波利亞第一個(gè)引入了“隨機(jī)行走”這個(gè)概念，這并不確切。其實(shí)早在1905年，英國(guó)數(shù)學(xué)家卡爾·佩爾森（Karl Pearson）就正式提出過隨機(jī)行走的問題（The Problem of The Random Walk， Nature， 1905）。

波利亞關(guān)于隨機(jī)行走問題的規(guī)律，可簡(jiǎn)單地總結(jié)如下：1. 在一維空間中，一個(gè)隨機(jī)選擇下一步往哪兒走的醉漢有無窮多的機(jī)會(huì)路過他喝酒的那家酒館；2. 在二維的道路網(wǎng)格上，一個(gè)隨機(jī)選擇下一步往哪兒走的醉漢在經(jīng)過足夠長(zhǎng)的時(shí)間后有可能路過他喝酒的那家酒館；3. 在三維的道路網(wǎng)格上，一個(gè)隨機(jī)選擇下一步往哪兒走的醉漢算是別指望能路過他喝酒的那家酒館了。還可以換個(gè)通俗的說法：你弄丟的狗不知哪一天自己就會(huì)回來，而你撒出去的鳥兒就再也沒有相見的那一天了。這個(gè)結(jié)論很容易理解，但是要給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，就不是一般人能勝任的了。如今，隨機(jī)行走模型在物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等諸多領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用。大師的影響，無遠(yuǎn)弗屆。

波利亞關(guān)于隨機(jī)行走的定律，其社會(huì)學(xué)的意義也不容小覷。在幾乎沒有立交橋的地區(qū)，男人盡可以看著心愛的女人開車出門而不必?fù)?dān)心。因?yàn)?，即使她完全任性地、隨機(jī)地前行或轉(zhuǎn)彎，只要汽車還沒有獲得飛行的功能，足夠長(zhǎng)的時(shí)間后你就一定能看到她路過家門—但愿那時(shí)候你還能認(rèn)得出她的模樣。如果是在立交橋遍布的地區(qū)，如果她隔天還沒回家，別等了，報(bào)警吧！

本文選自《一念非凡—科學(xué)巨擘是怎樣煉成的》。該書由外語教學(xué)與研究出版社出版，入選我社“中華優(yōu)秀科普?qǐng)D書榜”2018年第一季度“成人原創(chuàng)”榜單。