張善奎，朱方妍，鄧重陽

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

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有理重心插值中Lebesgue函數(shù)的最值性質(zhì)

張善奎，朱方妍，鄧重陽

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

摘要：Floater和Hormann提出的有理重心插值具有很好的性質(zhì)，在逼近論及相關(guān)領(lǐng)域中有重要的應(yīng)用。Floater和Hormann插值函數(shù)中，Lebesgue常數(shù)反映了有理插值的穩(wěn)定性，d決定著有理插值的權(quán)重系數(shù)和插值進(jìn)程的好壞。當(dāng)d=2時，證明了插值節(jié)點(diǎn)等距時，其對應(yīng)的Lebesgue函數(shù)的最大值在區(qū)間的兩個端點(diǎn)處取到。

關(guān)鍵詞：有理重心插值；Lebesgue函數(shù)；逼近

0引言

Floater和Hormann提出的重心有理插值既避免了多項式插值可能出現(xiàn)的龍格現(xiàn)象[1]，又彌補(bǔ)了一般有理插值在控制極點(diǎn)產(chǎn)生上的不足[2]，因而廣泛應(yīng)用于逼近論及相關(guān)領(lǐng)域。有理插值對應(yīng)的Lebesgue函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的最大值稱為Lebesgue常數(shù)[3]，它反映了有理插值的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[4]研究了等距節(jié)點(diǎn)下Floater-Hormann有理重心插值的Lebesgue常數(shù)的上界和下界,給出的圖形表明，對于不同的d，Lebesgue函數(shù)取得最值的點(diǎn)所在的區(qū)間也不一樣。當(dāng)d=0及d=1時，Lebesgue函數(shù)在[a,b]的中點(diǎn)或中點(diǎn)附近取得最值。當(dāng)d≥2時，Lebesgue函數(shù)在[a,b]的區(qū)間的兩端取得最值，并且隨著d值的增大，Lebesgue函數(shù)在兩個端點(diǎn)處取得最值的趨勢越明顯，但文獻(xiàn)[4]沒有從理論上證明這一現(xiàn)象。本文證明了當(dāng)d=2時，F(xiàn)loater和Hormann重心有理插值所對應(yīng)的最大值確實(shí)能在區(qū)間的兩個端點(diǎn)處取到。

1主要結(jié)果

Floater-Hormann有理重心插值[5]的基函數(shù)為：

(1)

相應(yīng)的Lebesgue函數(shù)Λn(x)定義為：

(2)

考慮到對稱性，假定 k≤[n/2]-1,其中[x]代表不超過x的最大整數(shù)。

(3)

文獻(xiàn)[2]證明了式(3)沒有奇點(diǎn)，也就是說，Dn,k,d(t)>0。

對于d=2，有：

定理1當(dāng)d=2且k是正偶數(shù)時，Λn,k+1>Λn,k并且Λn,k+2>Λn,k。

當(dāng)k 和n都是偶數(shù)時，g1(t)<0，同樣有 Λn,k+1(t)>Λn,k(t)。

所以，對于偶數(shù)k，對任意的n，都有Λn,k+1(t)>Λn,k(t)。類似地可以證明，k是偶數(shù)時，Λn,k+2>Λn,k。證畢。

定理2當(dāng)d=2時，F(xiàn)loater-Hormann有理重心插值對應(yīng)的Lebesgue函數(shù)在兩個端區(qū)間上取得最值。

(4)

(5)

定理2得證。

2圖形樣例

d=2時，等距節(jié)點(diǎn)下的Floater-Hormann插值在n=9和n=10時的Lebesgue函數(shù)圖像分別如圖1(a)、圖1(b)所示。

圖1　d=2時,Lebesgue函數(shù)在n=9和n=10時的圖像

從圖1中看出，d=2時，不論節(jié)點(diǎn)n的奇偶性，Lebesgue函數(shù)的最值在區(qū)間的兩個端點(diǎn)處取得，且單個子區(qū)間上的最值隨著n值的增大而增大。除了端點(diǎn)外，Lebesgue函數(shù)在每個小區(qū)間上的最值又表現(xiàn)出漸增性，圖形樣例和理論證明吻合。

3結(jié)束語

有理重心插值中Lebesgue函數(shù)的最值決定著插值進(jìn)程的穩(wěn)定性，因此關(guān)于Lebesgue常數(shù)的求解問題顯得尤為重要。本文從理論上證明了有理重心插值中Lebesgue函數(shù)的最值性質(zhì)，用類似的方法可以證明當(dāng)d≥2時，等距插值節(jié)點(diǎn)對應(yīng)的Lebesgue函數(shù)都具有這個性質(zhì)。

參考文獻(xiàn)

[1] Brutman L.Lebesgue Functions For polynomial interpolation-a survey[J].Annals oF Numerical Mathematics,1996,4:111-128.

[2]Floater M S,Hormann K.Barycentric rational interpolation with no poles and high rates oF approximation[J].Numerische Mathematik,2007,107(2):315-331.

[3]Berrut J P,Baltensperger R,Mittelmann H D.Recent developments in barycentric rational interpolation[J].Trends and applications in constructive approximation.Birkh?user Basel,2005,151:27-51.

[4]Bos L,De Marchi S,Hormann K,et al.On the Lebesgue constant oF barycentric rational interpolation at equidistant nodes[J].Numerische Mathematik,2012,121(3):461-471.

[5]Bos L,De Marchhi S,Hormann K.On the Lebesgue constant oF Berrut’s rational interpolation at equidistant nodes[J].Journal oF Computational and Applied Mathematics,2011,236(4):504-510.

The Property oF the Maximum on the Lebesgue Function oF

Barycentric Rational Interpolation

Zhang Shankui， Zhu Fangyan， Deng Chongyang

(SchooloFScience，HangzhouDianziUniversity，HangzhouZhejiang310018，China)

Abstract:The Family oF barycentric rational interpolates introduced by Floater and Hormann not only gives better approximations than polynomial interpolation， but also cover the shortage oF controlling the occurrence oF poles For general rational interpolation. In the interpolation Function oF Floater and Hormann， d decides the weights and the properties oF interpolations. When d=2， we proved that the Lebesgue Function obtains its maximum at two endpoints oF the kont intervals．

Key words:barycentric rational interpolation; the Lebesgue Function; approximation

中圖分類號：O241.3

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1001-9146(2015)03-0085-04

通信作者：

作者簡介：張善奎(1988-)，男，河南信陽人，在讀研究生，計算數(shù)學(xué).鄧重陽副教授,E-mail:dcy@hdu.edu.cn.

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(61370166)

收稿日期：2014-09-04

DOI:10.13954/j.cnki.hdu.2015.03.018