馮福平，鄧平，邢均，呂媛媛，張嵇南

（1.東北石油大學(xué)石油工程學(xué)院，黑龍江 大慶 163318；2.中國(guó)石油新疆油田公司工程技術(shù)研究院，新疆 克拉瑪依 834000；3.中國(guó)石油大慶油田工程有限公司，黑龍江 大慶 163712；4.中國(guó)石油遼河油田公司勘探開(kāi)發(fā)研究院，遼寧 盤(pán)錦 124010；5.中國(guó)石油吉林油田公司科技處，吉林 松原 138000）

水平井偏心環(huán)空穩(wěn)定頂替界面形狀研究

馮福平1，鄧平2，邢均3，呂媛媛4，張嵇南5

（1.東北石油大學(xué)石油工程學(xué)院，黑龍江 大慶 163318；2.中國(guó)石油新疆油田公司工程技術(shù)研究院，新疆 克拉瑪依 834000；3.中國(guó)石油大慶油田工程有限公司，黑龍江 大慶 163712；4.中國(guó)石油遼河油田公司勘探開(kāi)發(fā)研究院，遼寧 盤(pán)錦 124010；5.中國(guó)石油吉林油田公司科技處，吉林 松原 138000）

固井頂替界面反映了頂替流體的摻混程度，降低頂替界面長(zhǎng)度能夠有效提高頂替效果和環(huán)空封固質(zhì)量。由于水平井頂替剖面上密度差引起的驅(qū)動(dòng)力與流體微元所在位置有關(guān)，即使穩(wěn)定頂替的條件下，頂替界面也會(huì)由于驅(qū)動(dòng)力的差異而產(chǎn)生局部凸進(jìn)，使得頂替界面長(zhǎng)度增加。文中考慮了水平井水泥漿與鉆井液的密度差引起的驅(qū)動(dòng)力沿周向角和半徑的變化，采用二維Hele-Shaw頂替模型及微擾法理論，建立了水平井偏心環(huán)空穩(wěn)定頂替界面形狀描述模型，分析了水平井偏心環(huán)空頂替界面長(zhǎng)度隨密度差的變化規(guī)律，從而為設(shè)計(jì)合理的水泥漿與鉆井液密度以降低水平井偏心環(huán)空穩(wěn)定頂替界面長(zhǎng)度提供理論依據(jù)。

水平井；套管偏心；穩(wěn)定頂替；界面形狀；密度差；頂替模型

0 引言

固井頂替界面反映了頂替流體的摻混程度，頂替界面越長(zhǎng)，頂替液被污染的體積就越多，甚至存在頂替結(jié)束時(shí)頂替界面后緣未能返出封固段的可能性，造成鉆井液竄槽，嚴(yán)重影響頂替效率和環(huán)空膠結(jié)質(zhì)量。

固井頂替界面主要有穩(wěn)定頂替、不穩(wěn)定頂替和鉆井液滯留竄槽3種形態(tài)［1-2］。國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者采用CFD數(shù)值模擬方法對(duì)頂替界面的穩(wěn)定性及其形狀進(jìn)行了研究［3-7］，但由于計(jì)算過(guò)程中需要較多的網(wǎng)格數(shù)和較長(zhǎng)的計(jì)算時(shí)間，且所模擬的結(jié)果都是在頂替開(kāi)始的幾秒時(shí)間內(nèi)，并不能反映在實(shí)際細(xì)長(zhǎng)井眼中頂替界面形態(tài)隨時(shí)間的變化過(guò)程，同時(shí)該方法也無(wú)法描述環(huán)空鉆井液的滯留現(xiàn)象。S.H.Bittleston等人［8-12］采用另外一種頂替界面的描述方法，主要基于二維Hele-Shaw模型，建立了穩(wěn)定頂替時(shí)頂替界面的形狀模型，但是該模型只考慮了周向角對(duì)頂替界面形狀的影響。在水平井中，水泥漿與鉆井液密度差所引起的驅(qū)動(dòng)力取決于流體微元所在的位置。由于頂替剖面上驅(qū)動(dòng)力的差異，頂替界面會(huì)產(chǎn)生局部凸進(jìn)，增加了頂替界面長(zhǎng)度（即環(huán)空周向上頂替液前緣與后緣之間的軸向距離）。

理論分析及室內(nèi)試驗(yàn)均表明，無(wú)論是直井還是水平井，都可以通過(guò)選擇合理的頂替流體性能獲得穩(wěn)定的頂替界面［13-14］。本文在實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定頂替界面的前提下，提出了修正的水平井偏心環(huán)空頂替界面形狀描述模型，并以降低頂替界面長(zhǎng)度為目標(biāo)，分析了穩(wěn)定頂替條件下水平井頂替界面長(zhǎng)度隨密度差的變化規(guī)律，從而為提高水平井偏心環(huán)空頂替效果及環(huán)空封固質(zhì)量提供了理論依據(jù)。

1 水平井偏心環(huán)空Hele-Shaw頂替模型

1.1 水平井頂替流體密度差引起的驅(qū)動(dòng)力

水泥漿驅(qū)替鉆井液的動(dòng)力包括驅(qū)替壓差及密度差引起的驅(qū)動(dòng)力。直井井眼截面為水平面，兩相流體的密度差只產(chǎn)生軸向方向的驅(qū)動(dòng)力，且井眼周向上各點(diǎn)相同。隨著井斜角的增大，密度差引起的軸向驅(qū)動(dòng)力逐漸減小，而周向驅(qū)動(dòng)力逐漸增加。井斜角達(dá)到π/2時(shí)，密度差引起的軸向驅(qū)動(dòng)力為0，而周向驅(qū)動(dòng)力達(dá)到最大。井眼周向上各點(diǎn)受到的密度差引起的周向驅(qū)動(dòng)力取決于流體微元到上井壁的鉛垂高度，鉛垂高度由流體微元體所在的周向角和半徑?jīng)Q定，即水平井段鉆井液微元體受到的密度差引起的驅(qū)動(dòng)力是關(guān)于周向角和半徑的函數(shù)。

在水平井段任取一橫截面，以上井壁為基準(zhǔn)點(diǎn)，如圖1所示。由于井斜角為π/2，則A點(diǎn)鉆井液微元體所受密度差引起的軸向驅(qū)動(dòng)力為0，周向驅(qū)動(dòng)力為

式中：Mφ*為鉆井液微元體所受的密度差引起的周向驅(qū)動(dòng)力，MPa；ρ1*為實(shí)際的水泥漿密度，g/cm3；ρ2*為實(shí)際鉆井液密度，g/cm3；g為重力加速度，取值9.81 m/s2；為井眼實(shí)際半徑，m；r*為環(huán)空中某一點(diǎn)到井眼中心的實(shí)際距離，m；πφ為周向角。

圖1 水平井環(huán)空幾何關(guān)系

由式（1）可以看出，水平井頂替界面上由密度差引起的周向驅(qū)動(dòng)力與流體微元所在的位置有關(guān)。1）流體微元距井眼中心距離相同時(shí)，在0～π范圍內(nèi)，驅(qū)動(dòng)力隨周向角的增加而增大；在π～2π范圍內(nèi)，驅(qū)動(dòng)力隨周向角的增加而減小。2）周向角相同時(shí)，環(huán)空上側(cè)驅(qū)動(dòng)力隨流體微元距井眼中心距離的增大而減??；環(huán)空下側(cè)驅(qū)動(dòng)力隨流體微元距井眼中心距離的增大而增加（周向角π/2與3π/2處除外），即越靠近下井壁，密度差引起的周向驅(qū)動(dòng)力越大，而在上井壁處周向驅(qū)動(dòng)力最小。由于水平井頂替剖面上各點(diǎn)所受密度差引起的驅(qū)動(dòng)力存在較大差異，即使在穩(wěn)定頂替的條件下，密度差引起的驅(qū)動(dòng)力差異也會(huì)使水平井頂替界面產(chǎn)生局部凸進(jìn)，造成頂替界面分層流動(dòng)，增加頂替界面長(zhǎng)度和兩相流體的摻混體積，影響水泥漿膠結(jié)質(zhì)量。

1.2 水平井偏心環(huán)空Hele-Shaw頂替模型

Hele-Shaw模型描述的是在間距很小的2塊無(wú)窮大平板之間流體的二維流動(dòng)特性問(wèn)題，其物理模型的特點(diǎn)為模型的長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于高度，且高度大于寬度。套管下入井眼后，環(huán)空水泥漿封固段的長(zhǎng)度短則幾百米，長(zhǎng)則上千米，環(huán)空長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于環(huán)空周向長(zhǎng)度，環(huán)空周向長(zhǎng)度大于環(huán)空間隙寬度，因此Hele-Shaw模型非常適合處理油氣井固井過(guò)程中的環(huán)空頂替問(wèn)題。在環(huán)空中取出長(zhǎng)度為2L的流體單元作為研究對(duì)象，設(shè)r0為無(wú)因次井眼半徑，r1為無(wú)因次套管外徑，Δr為無(wú)因次偏心距，e為偏心度，H為無(wú)因次環(huán)空間隙的一半，建立環(huán)空軸向和周向方向的無(wú)因次坐標(biāo)系（ξ，φ），如圖2所示。其中，ξ∈［-L，L］，φ∈［0，2］。初始頂替界面位置為ξ=0處，ξ∈［-L，0］單元體內(nèi)充滿水泥漿，ξ∈［0，L］單元體內(nèi)充滿鉆井液。

假設(shè)條件如下：

1）水泥漿和鉆井液均為赫-巴流體；

2）井眼規(guī)則，不考慮井徑的變化；

3）忽略環(huán)空徑向速度，只考慮軸向速度與周向速度的二維流動(dòng)；

4）不考慮隔離液等中間流體，水泥漿與鉆井液直接接觸；

圖2 Hele-Shaw頂替周向物理模型

5）頂替流體性能滿足穩(wěn)定頂替的條件，即頂替界面能達(dá)到穩(wěn)定。穩(wěn)定頂替時(shí)，頂替界面沿軸向均勻移動(dòng)，考慮水平井頂替界面所受的驅(qū)替壓差及密度差引起的驅(qū)動(dòng)力特征［8-11］，結(jié)合N-S方程和赫-巴流體流變模式，可以得到頂替界面處流體的流動(dòng)特性S為

式中：ra為無(wú)因次環(huán)空半徑；p為無(wú)因次驅(qū)動(dòng)壓力梯度；St為斯托克斯數(shù)；Δρ為無(wú)因次密度差；r為環(huán)空中某一點(diǎn)到井眼中心的無(wú)因次距離；τ*為水泥漿與鉆井液所受到屈服應(yīng)力的較大者，Pa；ρ*為水泥漿與鉆井液密度的較大者，g/cm3；H*為環(huán)空間隙的一半，m。

柱坐標(biāo)系下，頂替界面流體滿足的連續(xù)性方程為

滿足連續(xù)性方程的流函數(shù)為

式中：χk為流體k的無(wú)因次驅(qū)動(dòng)力與屈服應(yīng)力之差，Pa，它為和H的函數(shù)，表示為；τk為流體k的無(wú)因次屈服應(yīng)力；mk為流體k的無(wú)因次流性指數(shù)；κk為流體k的無(wú)因次稠度系數(shù)；下標(biāo)k表示流體種類，1代表水泥漿，2代表鉆井液；。

根據(jù)頂替界面上驅(qū)動(dòng)力切向?qū)?shù)相等的條件，可以得到水平井頂替界面上頂替流體滿足的條件為

式中：h為任一時(shí)刻頂替界面上流體質(zhì)點(diǎn)的位置。

2 套管居中時(shí)穩(wěn)定頂替界面形狀模型

2.1 頂替界面上流體質(zhì)點(diǎn)的位置

水平井頂替過(guò)程中，頂替界面上由于密度差引起的驅(qū)動(dòng)力越靠近環(huán)空低邊越大，因此頂替界面局部凸進(jìn)，同一時(shí)刻頂替界面上流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)位置各不相同。為了描述頂替界面上各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)位置，設(shè)穩(wěn)定頂替界面上任一質(zhì)點(diǎn)的位置為ξ=h（φ，r），則h（φ，r）滿足：

頂替界面上某一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)位置由2部分組成：一是頂替界面整體向前移動(dòng)的距離，t時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)位置的改變量為t；二是密度差引起的驅(qū)動(dòng)力不同造成頂替界面沿軸向的形狀變化，用g（φ，r）表示，當(dāng)頂替界面達(dá)到穩(wěn)定以后該值保持固定。因此，穩(wěn)定頂替時(shí)頂替界面上流體質(zhì)點(diǎn)的位置可以表示為

2.2 套管居中條件下穩(wěn)定頂替界面形狀模型

因?yàn)閞a==1，式（4）對(duì)φ積分，同時(shí)忽略常數(shù)項(xiàng)，可得頂替界面處流函數(shù)的表達(dá)式：

結(jié)合式（6）—（9），并整理可得：

規(guī)定周向角πφ=π/2處為相對(duì)零點(diǎn)，可以得到套管居中時(shí)穩(wěn)定頂替界面形狀g（φ，r）的表達(dá)式：

3 偏心環(huán)空穩(wěn)定頂替界面形狀模型

為了得到套管偏心時(shí)穩(wěn)定頂替界面的形狀，引入微擾法理論，即把套管居中當(dāng)作一種平衡態(tài)，給它一個(gè)微小的擾動(dòng)，使其略微偏離原始狀態(tài)，達(dá)到規(guī)定的套管偏心狀態(tài)，通過(guò)求解微擾項(xiàng)可以得到套管偏心狀態(tài)時(shí)的信息。

計(jì)算過(guò)程為：首先，分別將穩(wěn)定頂替狀態(tài)下的流函數(shù)Φk（φ，z）及頂替界面形狀g（φ，r）這2個(gè)變量進(jìn)行級(jí)數(shù)展開(kāi)，分解成在某工作狀態(tài)附近的小增量表達(dá)式；然后，略去高于一次的小增量項(xiàng)，獲得近似的線性函數(shù)；最后，將近似的線性函數(shù)代入到流函數(shù)及頂替界面滿足的約束條件中，通過(guò)分離變量方法進(jìn)行積分，最終得到套管偏心條件下的穩(wěn)定頂替界面形狀模型。

套管居中時(shí)，穩(wěn)定頂替界面形狀計(jì)算公式（11）對(duì)周向角φ的偏導(dǎo)數(shù)為

將Φk（φ，z）及g（φ，r）這2個(gè)變量分別按偏心度e進(jìn)行級(jí)數(shù)展開(kāi)：

式（15）、式（16）忽略高于一次的小增量項(xiàng)，代入式（10）并進(jìn)行線性化得

式中：χk′為

根據(jù)簡(jiǎn)單迭代法原理，整理式（17）并積分，規(guī)定周向角πφ=π/2處為相對(duì)零點(diǎn)，可以得到套管偏心條件下的穩(wěn)定頂替界面形狀為

式（18）中，第1項(xiàng)表示套管居中時(shí)的穩(wěn)定頂替界面形狀，第2項(xiàng)表示套管偏心對(duì)穩(wěn)定頂替界面形狀的影響。

4 偏心環(huán)空穩(wěn)定頂替界面形狀計(jì)算

以套管偏心度e=0.3為例，對(duì)不同密度差條件下的g（φ，r）進(jìn)行計(jì)算，所用的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)如表1所示，計(jì)算結(jié)果如圖3所示。

表1 穩(wěn)定頂替界面形狀計(jì)算基礎(chǔ)數(shù)據(jù)

從計(jì)算結(jié)果可以看出：

1）環(huán)空中各點(diǎn)處的g（φ，r）值有較大不同，即使在周向角相同時(shí)，不同半徑處的g（φ，r）值也不一樣，說(shuō)明頂替界面形狀不僅與周向角有關(guān)，還與流體微元到井眼中心的距離有關(guān)，這一特性在之前的研究中并未得到體現(xiàn)。

2）由于定義環(huán)空中部周向角π/2處g（φ，r）值為相對(duì)零點(diǎn)，因此環(huán)空中各點(diǎn)g（φ，r）值有正有負(fù)。g（φ，r）值為正時(shí)，代表該點(diǎn)頂替界面位于環(huán)空中部頂替界面前方；g（φ，r）值為負(fù)時(shí)，代表該點(diǎn)頂替界面位于環(huán)空中部頂替界面后方。g（φ，r）的絕對(duì)值越大，說(shuō)明該點(diǎn)頂替界面位置距離環(huán)空中部頂替界面位置越遠(yuǎn)。g（φ，r）的最大值為頂替界面前緣，g（φ，r）的最小值為頂替界面后緣，則無(wú)因次頂替界面長(zhǎng)度為g（φ，r）max-g（φ，r）min。頂替界面長(zhǎng)度越大，則水泥漿與鉆井液接觸體積越多，頂替流體的摻混現(xiàn)象越嚴(yán)重，穩(wěn)定頂替的效果就越不好。

3）密度差較小時(shí)，密度差引起的驅(qū)動(dòng)力不足以克服寬窄間隙產(chǎn)生的阻力效應(yīng)，水泥漿沿寬間隙處產(chǎn)生凸進(jìn)，g（φ，r）的最大值出現(xiàn)在環(huán)空高邊的套管外壁處；密度差較大時(shí)，密度差引起的驅(qū)動(dòng)力超過(guò)寬窄間隙產(chǎn)生的阻力效應(yīng)，水泥漿沿窄間隙處產(chǎn)生凸進(jìn)，g（φ，r）的最大值出現(xiàn)在環(huán)空低邊的井壁處。水平井頂替界面凸進(jìn)的位置及程度取決于套管偏心度與密度差的相對(duì)作用，兩者對(duì)頂替界面凸進(jìn)現(xiàn)象具有相互削弱作用。

4）偏心度為0.3時(shí)，隨著密度差增大，環(huán)空頂替界面長(zhǎng)度開(kāi)始逐漸減小，密度差為0.5 g/cm3時(shí)頂替界面長(zhǎng)度最?。黄浜?，隨著密度差的增大，頂替界面長(zhǎng)度又逐漸增加。說(shuō)明對(duì)于水平井偏心環(huán)空來(lái)說(shuō)，存在最優(yōu)的密度差使得頂替界面長(zhǎng)度最短。通過(guò)設(shè)計(jì)合理的頂替流體密度差，可使頂替界面達(dá)到塞流頂替的平齊推進(jìn)效果。

圖3 不同密度差時(shí)環(huán)空g（φ，r）分布

采用該模型，對(duì)水平井套管偏心度為0.1～0.7時(shí)不同密度差條件下的頂替界面長(zhǎng)度進(jìn)行了計(jì)算，結(jié)果如圖4所示。不同偏心度下無(wú)因次頂替界面長(zhǎng)度最小時(shí)所對(duì)應(yīng)的密度差，即為該偏心度下實(shí)現(xiàn)最好穩(wěn)定頂替效果的最優(yōu)密度差。

圖4 不同偏心度條件下頂替界面長(zhǎng)度隨密度差的變化

水平井固井頂替時(shí)，可以根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)扶正器下入數(shù)量及類型計(jì)算套管偏心度。在實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定頂替的前提下，進(jìn)行水泥漿和鉆井液密度的優(yōu)化，從而降低頂替界面長(zhǎng)度和頂替流體的摻混程度，提高固井頂替效果。

5 結(jié)論

1）水平井頂替剖面上流體微元所受密度差引起的驅(qū)動(dòng)力取決于流體微元所在的位置，越靠近下井壁驅(qū)動(dòng)力越大，在上井壁處驅(qū)動(dòng)力最小。因此在密度差的作用下，即使在穩(wěn)定頂替的條件下，水平井頂替界面也會(huì)產(chǎn)生局部凸進(jìn)，造成頂替界面分層流動(dòng)。

2）頂替界面形狀g（φ，r）的絕對(duì)值越大，說(shuō)明該點(diǎn)距離環(huán)空中部頂替界面的位置越遠(yuǎn)，水泥漿與鉆井液的接觸體積越大，在長(zhǎng)封固段固井過(guò)程中會(huì)造成頂替流體摻混嚴(yán)重，甚至存在頂替結(jié)束時(shí)頂替界面后緣沒(méi)有返出封固段的可能性。因此，即使在穩(wěn)定頂替的條件下，也應(yīng)降低頂替界面長(zhǎng)度，從而提高頂替效果。

3）頂替流體密度差對(duì)水平井頂替界面的影響與套管偏心度相反。密度差較小時(shí)，水泥漿在環(huán)空高邊的套管外壁處產(chǎn)生凸進(jìn)；密度差較大時(shí)，水泥漿沿環(huán)空低邊的井壁處產(chǎn)生凸進(jìn)。水平井頂替界面的凸進(jìn)位置及程度取決于套管偏心度與密度差的匹配關(guān)系，兩者對(duì)頂替界面凸進(jìn)現(xiàn)象具有相互削弱作用。

4）水平井套管偏心時(shí)，穩(wěn)定頂替界面長(zhǎng)度隨著密度差的增加先減小后增大，存在最優(yōu)的密度差使得頂替界面長(zhǎng)度最短。因此在進(jìn)行固井頂替時(shí)，應(yīng)根據(jù)套管偏心情況，設(shè)計(jì)合理的水泥漿與鉆井液密度差，降低頂替界面的局部凸進(jìn)現(xiàn)象，使其達(dá)到塞流頂替的平齊推進(jìn)效果。

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（編輯 趙衛(wèi)紅）

Research on interface shape of steady-state displacement in eccentric annulus of horizontal well

Feng Fuping1,Deng Ping2,Xing Jun3,Lyu Yuanyuan4,Zhang Ji′nan5
(1.College of Petroleum Engineering,Northeast Petroleum University,Daqing 163318,China;2.Research Institute of Engineering Technology,Xinjiang Oilfield Company,PetroChina,Karamay 834000,China;3.Daqing Oilfield Engineering Company Limited, PetroChina,Daqing 163712,China;4.Research Institute of Petroleum Exploration and Development,Liaohe Oilfield Company, PetroChina,Panjin 124010,China;5.Science and Technology Department,Jilin Oilfield Company,PetroChina, Songyuan 138000,China)

The interface shape of cementing displacement reflects the intermixing extent of two-phase fluids and decreasing the length of displacement interface will be helpful to improve the displacement effect and annular cementing quality.Due to the change of driving force caused by the density difference between slurry and drilling fluid with the position of fluid microelement on the displacing profiles in horizontal well,the local advance of displacing interface will happen even in a steady-state displacement.As a result,the length of displacing interface will be increasing gradually.In this paper,a calculation model that describes the interface shape of steady-state displacement has been derived through considering the change of driving force with annular circumferential angle and radius and using the two-dimension Hele-Shaw displacement model and perturbation theory.Besides,it analyzes the change of interface length with density difference in the horizontal well with eccentric casing,which provides an important basis for designing slurry and drilling fluid density and decreasing the length of displacement interface.

horizontal well;casing eccentricity;steady-state displacement;interface shape;density difference;displacement model

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目“考慮周向二次流對(duì)頂替界面影響的固井二維頂替模型研究”（51404071）

TE256

：A

10.6056/dkyqt201501027

2014-06-23；改回日期：2014-11-14。

馮福平，男，1982年生，博士，2005年畢業(yè)于大慶石油學(xué)院石油工程專業(yè)，主要從事油氣井工程力學(xué)方面的教學(xué)和科研工作。E-mail：fengfuping2005@163.com。

馮福平，鄧平，邢均，等.水平井偏心環(huán)空穩(wěn)定頂替界面形狀研究［J］.斷塊油氣田，2015，22（1）：120-125.

Feng Fuping，Deng Ping，Xing Jun，et al.Research on interface shape of steady-state displacement in eccentric annulus of horizontal well［J］. Fault-Block Oil&Gas Field，2015，22（1）：120-125.