張會新，楊德慶

1上海交通大學(xué)船舶海洋與建筑工程學(xué)院，上海200240

2上海交通大學(xué)海洋工程國家重點實驗室，上海200240

典型船舶板架拓撲與形狀優(yōu)化設(shè)計

張會新1，2，楊德慶1，2

1上海交通大學(xué)船舶海洋與建筑工程學(xué)院，上海200240

2上海交通大學(xué)海洋工程國家重點實驗室，上海200240

以典型板架結(jié)構(gòu)（船底板架和上層建筑板架）為研究對象，探討結(jié)構(gòu)拓撲與形狀優(yōu)化設(shè)計方法在船舶設(shè)計中的應(yīng)用。對船底板架結(jié)構(gòu)進行形狀和尺寸優(yōu)化（優(yōu)化目標是指定應(yīng)力約束條件下結(jié)構(gòu)重量最?。?，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)重量減少了15.82%。為改善艙室頂部空間布局，提高艙室頂部板架結(jié)構(gòu)的固有頻率，對上層建筑板架進行拓撲優(yōu)化，尋求材料最優(yōu)分布，并在對其進行靜力分析和模態(tài)分析的基礎(chǔ)上，以體積百分比為約束條件，以板架固有頻率為目標函數(shù)，得到拓撲優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)型式，新結(jié)構(gòu)型式使材料分布更加合理，有利于艙室頂部管道和電纜等的鋪設(shè)。研究表明，在目前的板架結(jié)構(gòu)設(shè)計中，可廣泛應(yīng)用結(jié)構(gòu)拓撲與形狀優(yōu)化設(shè)計技術(shù)。

板架結(jié)構(gòu)；結(jié)構(gòu)優(yōu)化；拓撲優(yōu)化；固體各向同性懲罰微結(jié)構(gòu)模型

0 引 言

結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計運用于船舶領(lǐng)域始于20世紀60年代，Moe等發(fā)表了關(guān)于汽車運輸船甲板優(yōu)化的論文，首次把數(shù)學(xué)規(guī)劃論應(yīng)用到了船舶結(jié)構(gòu)領(lǐng)域，標志著船舶結(jié)構(gòu)設(shè)計思想的重大飛躍。經(jīng)過多年研究，針對局部結(jié)構(gòu)（如艙口形狀、剖面結(jié)構(gòu)等）的尺寸優(yōu)化和形狀優(yōu)化已相當(dāng)成功，而結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化進展則相對緩慢。拓撲優(yōu)化［1］是以材料分布為優(yōu)化對象，在設(shè)計空間中找到最佳的材料分布方案。目前，連續(xù)體拓撲優(yōu)化理論已較為成熟，在汽車工業(yè)、航天工程等領(lǐng)域有著較廣泛的應(yīng)用［2-5］，在船舶行業(yè)亦有所應(yīng)用［6-7］。但有關(guān)實用化的船舶構(gòu)件拓撲與形狀優(yōu)化設(shè)計的案例還較少。本文將以板架結(jié)構(gòu)為研究對象，分別選取船底板架和上層建筑板架結(jié)構(gòu)，探索結(jié)構(gòu)形狀、拓撲和尺寸優(yōu)化設(shè)計方法在實際船舶工程設(shè)計中的可行性與實用性，包括板架最佳拓撲型式（開孔狀況）、構(gòu)件最佳形狀（如肘板）和最佳尺寸（如扶強材）等，給出基于實際工程設(shè)計的優(yōu)化模型和設(shè)計變量形式。

1 船體板架結(jié)構(gòu)力學(xué)分析模型

以船底板架為例，待優(yōu)化板架模型主要由外板、縱骨和橫艙壁組成。設(shè)船長方向為X軸，正方向由船艉指向船艏；船寬方向為Y軸，正方向由右舷指向左舷；型深方向為Z軸，正方向由船底指向頂部甲板。模型沿船長方向選取3個艙段，沿船寬方向選取5個縱骨間距寬，設(shè)艙室跨距為4.5 m，縱骨間距 0.75 m，外板厚 17 mm，橫艙壁厚12.5 mm，縱骨腹板厚 12.5 mm，縱骨面板厚36 mm，大肘板厚10 mm，小肘板厚10 mm，扶強材厚10 mm，如圖1～圖2所示。

板架結(jié)構(gòu)材料為普通鋼（上層建筑板架）/高強度鋼（船底板架），其密度為7 850 kg/m3，彈性模量為210 GPa，泊松比為0.3。

圖1 板架結(jié)構(gòu)三維模型Fig.1 Three-dimensional model of grillage structure

圖2 端部連接Fig.2 Connection of the ends

2 重量目標下船體板架尺寸和形狀優(yōu)化

一般工程優(yōu)化設(shè)計尋求在滿足應(yīng)力約束的條件下結(jié)構(gòu)重量最小。位移和載荷邊界條件如下。

1）邊界條件：船底板四邊剛性固定約束，放松最右端邊界支承的X向自由度；兩道橫艙壁邊界除X向自由度外全部約束。首、尾兩端縱骨邊界與船底板相對應(yīng)，一端剛性固定，一端除X向自由度外全部約束。

2）載荷工況：板架結(jié)構(gòu)所承受的載荷包括沿船長方向的總縱彎曲應(yīng)力和作用于船底板的水柱壓力。總縱彎曲應(yīng)力取100 MPa，在實際模型加載中將其轉(zhuǎn)化為節(jié)點力作用于模型兩端，沿X方向。水柱壓力實取20 000 mmH2O壓力，垂直作用于船底板。

首先，進行板架尺寸與形狀優(yōu)化，設(shè)計變量分為尺寸變量和形狀變量，總數(shù)14個。其中形狀變量包括縱骨、肘板和扶強材的幾何形狀變量，尺寸變量包括縱骨的腹板和面板厚度，以及大、小肘板厚度和扶強材厚度。尺寸設(shè)計變量中，大肘板厚度t1與小肘板厚度t2及扶強材厚度t5進行變量連接，以保證三者厚度優(yōu)化后為同一數(shù)值。具體變量涉及的構(gòu)件如圖3所示。

圖3 主要設(shè)計變量Fig.3 The main design variables

應(yīng)力和尺寸的上、下限約束條件為：

1）應(yīng)力（屈服強度）約束，保證結(jié)構(gòu)應(yīng)力不大于355 MPa。

2）縱骨的幾何形狀約束，保證面板寬度與腹板高度的比值不小于0.25。

3）肘板的幾何形狀約束，保證優(yōu)化后其幾何形狀符合生產(chǎn)和施工工藝的要求。

4）最小板厚要求。

以整個船體板架結(jié)構(gòu)重量最小為目標函數(shù)，采用商用結(jié)構(gòu)優(yōu)化軟件HyperWorks/OptiStruct進行優(yōu)化求解。

式中：Hs為n維板厚度設(shè)計變量向量；Xs為m維形狀設(shè)計變量向量；yis與si(Xs)分別為待設(shè)計板的材料密度與面積為板單元應(yīng)力與分別為板單元應(yīng)力約束的上、下限；與分別為評價點p處的位移和約束上限；k為工況編號；XU，XL分別為形狀變量的上、下限；分別為厚度設(shè)計變量的上、下限約束。

本文中設(shè)計變量的上、下限如表1所示。

表1 設(shè)計變量初始值及上、下限Tab.1 The upper，lower limits and initial values of the design variables

屈服強度約束：通過設(shè)定單元vonMises應(yīng)力上限值為355 MPa，保證單元所受的合成應(yīng)力值不大于355 MPa。船底板邊界的一排單元不考慮應(yīng)力約束?？v骨的幾何形狀約束：對于縱骨腹板高度H3和縱骨面板寬B4，需保證B4/H3≥0.25。肘板的幾何形狀約束：為了符合生產(chǎn)和施工工藝的要求，肘板圓弧邊半徑和肘板直角邊長應(yīng)滿足一定的關(guān)系，在OptiStruct中，是建立不等式，通過約束其上、下限來實現(xiàn)工程實際中的幾何形狀約束。最小厚度約束為6 mm。表2所示為形狀與尺寸優(yōu)化設(shè)計結(jié)果。

表2 形狀與尺寸優(yōu)化設(shè)計結(jié)果Tab.2 The shape and size optimization results

規(guī)范取整后，進行約束條件檢查：經(jīng)計算，單元最大應(yīng)力值為354.4 MPa，B4/H3=2.667，肘板幾何形狀滿足工藝要求，實取板厚大于6 mm，因而為可行方案。結(jié)構(gòu)的初始設(shè)計重量為13.839 4 t，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)重量為11.65 t，與原板架結(jié)構(gòu)相比，重量減少了15.82%，減少數(shù)值為2.18 t。

3 結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化的變密度法理論

在拓撲優(yōu)化中，常用的方法有均勻化方法和變密度法。本文采用變密度方法，此方法由均勻化方法發(fā)展而來，其基本思想是引入一種假想的密度可變材料，建立物理參數(shù)（例如，彈性模量、泊松比、許用應(yīng)力等）與材料密度之間的關(guān)系。在對結(jié)構(gòu)進行有限元劃分之后，每個獨立單元的“單元密度”是相同的，然后將有限元模型設(shè)計空間每個單元的“單元密度”作為設(shè)計變量。該“單元密度”同結(jié)構(gòu)的材料參數(shù)有關(guān)（單元密度與材料彈性模量之間具有某種假設(shè)的函數(shù)關(guān)系），在0～1之間連續(xù)取值，優(yōu)化求解后，設(shè)計空間的單元密度為0～1之間的某個值。對于單元密度為0的區(qū)域，表示該處單元為空，此處材料可以刪除；對于單元密度為1的區(qū)域，表示該處單元很重要，需要保留；當(dāng)單元密度處于中間值時，該中間值代表了這個單元的假想材料的密度值。變密度法中，常見的插值模型包括固體各向同性懲罰微結(jié)構(gòu)模型（Solid Isotropic Microstructures with Penalization，SIMP）和材料屬性的有理近似模型（Rational Approximation of Material Properties，RAMP）等。

SIMP或RAMP是通過引入懲罰因子對中間密度值進行懲罰，以使中間密度值向0～1的兩端聚集，從而使連續(xù)變量的拓撲優(yōu)化模型能夠很好地逼近0～1離散變量的優(yōu)化模型。中間密度單元對應(yīng)一個很小的彈性模量，對結(jié)構(gòu)剛度矩陣的影響變得很小。

SIMP材料插值數(shù)學(xué)模型為：

式中：a＞1，為懲罰因子；E0為實際材料的楊氏模量；ρ為單元密度。這樣，就可以使具有中間密度的單元能替換成致密性材料或者是被剔除。則結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化的一般數(shù)學(xué)模型可表示為

式中：n為設(shè)計變量個數(shù)；G0(ρ)為目標函數(shù)；Gj(ρ)為約束條件；l為約束方程的個數(shù)。

4 上層建筑板架拓撲優(yōu)化設(shè)計

大型船舶（如散貨船、集裝箱船、大型游船等）艙室天花板以上區(qū)域往往是結(jié)構(gòu)件與風(fēng)管、電纜等共用的位置，因此有效利用艙室頂部空間就顯得很重要，對上層建筑板架結(jié)構(gòu)進行拓撲優(yōu)化是有效利用設(shè)計空間的重要途徑。本文待研究的上層建筑板架位移和載荷邊界條件如下：

1）在約束方面，板架四邊與船舶艙壁相連，并對其四邊的6個自由度全約束；橫艙壁類似，也約束其6個自由度。

2）在載荷方面，該板架主要承受沿船長方向的總縱彎曲應(yīng)力，以及作用在甲板上的分布質(zhì)量，如堆積于甲板上的貨物和設(shè)備等。其中，板架結(jié)構(gòu)承受的總縱彎曲應(yīng)力為110 MPa，等效為節(jié)點力作用于甲板的兩端；甲板上布置的設(shè)備以及堆積貨物的載荷等效為分布質(zhì)量，分布質(zhì)量的變化范圍為60～100 kg/m2。本例設(shè)為60 kg/m2，分布載荷與甲板自重的合成通過改變相應(yīng)的甲板材料密度來實現(xiàn)，見下式：

式中：y1為合并處理后假想甲板材料相當(dāng)面密度；y為原甲板材料的面密度；y*為甲板上分布質(zhì)量的等效面密度；S為承載甲板的面積。

對板架結(jié)構(gòu)進行靜力分析計算，發(fā)現(xiàn)整個結(jié)構(gòu)大部分區(qū)域的合成應(yīng)力值小于180 MPa，可見結(jié)構(gòu)減重潛力很大，可在提高其固有頻率的情況下尋求更優(yōu)的空間材料分布。

利用HyperWorks軟件對上層建筑板架結(jié)構(gòu)進行模態(tài)分析，得到其前10階固有頻率（表3）和對應(yīng)的前6階振型圖［8］（圖4）。

表3 結(jié)構(gòu)前10階模態(tài)分析Tab.3 10 modes of modal analysis

圖4 振型圖Fig.4 Mode shapes of vibration

由振型圖可以看出，一階振型位于板架中部區(qū)域內(nèi)部的2根縱骨，二階和三階振型位于板架中部區(qū)域的2根邊側(cè)縱骨，四階振型返回到中部區(qū)域內(nèi)部的2根縱骨，從五階振型開始，往前、后兩端遷移。

結(jié)合板架模型前幾階固有頻率值、振型和提高結(jié)構(gòu)的固有頻率設(shè)計目標，拓撲優(yōu)化的目標函數(shù)設(shè)定為一階與二階固有頻率之和，以使前2階固有頻率之和最大化。

拓撲設(shè)計區(qū)域為上層建筑板架結(jié)構(gòu)中的縱骨，非設(shè)計區(qū)域為甲板、橫艙壁和加強肘板等。優(yōu)化設(shè)計參數(shù)設(shè)置如下：

1）設(shè)計變量：取設(shè)計區(qū)域的單元密度。

2）約束條件：從減輕結(jié)構(gòu)重量的角度出發(fā)，對設(shè)計區(qū)域保留材料的體積百分比進行約束，設(shè)置體積百分比上限。

在基于SIMP材料插值模型的變密度法中，以板架結(jié)構(gòu)模型的一階與二階固有頻率之和最大化為目標，設(shè)定材料體積百分比約束，則結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化數(shù)學(xué)模型表示為：

式中：C為固有頻率之和；fi為第i階固有頻率；K，M分別為總剛度矩陣和總質(zhì)量矩陣；V0和V分別為初始結(jié)構(gòu)體積和最優(yōu)結(jié)構(gòu)體積；volfrac為體積百分比；ρmin為拓撲變量下限，用于避免有限元分析奇異性，通常取拓撲變量下限值ρmin=10-3。

采用OptiStruct軟件進行優(yōu)化。作為對比，將體積百分比約束條件設(shè)置為6組，體積百分比上限分別取15%，20%，25%，30%，35%和40%，并分別提交優(yōu)化。圖5所示為拓撲優(yōu)化后的單元密度分布云圖（由于各縱骨材料分布的近似性，故只觀察中間跨距的單根縱骨）。圖中，紅色區(qū)域（單元密度為1）表示材料需保留，藍色區(qū)域（單元密度為0）表示材料可以去除。各體積分數(shù)上限對應(yīng)的目標函數(shù)值如表4所示。

圖5 不同體積分數(shù)約束下單元密度云圖Fig.5 Element density contours of different volume fraction

表4 各體積分數(shù)約束下對應(yīng)頻率和目標函數(shù)值Tab.4 Frequency and objective function in different volume fraction constraints

拓撲優(yōu)化后，設(shè)計區(qū)域的單元密度值應(yīng)盡量向0～1的兩端靠攏，這樣，拓撲結(jié)構(gòu)會更清晰；同時，希望在提高原結(jié)構(gòu)固有頻率的基礎(chǔ)上減輕結(jié)構(gòu)重量，從而獲取材料分布較優(yōu)的方案，以在兼顧二者的基礎(chǔ)上有一個合理的空間材料分布，確保管道、電纜和艙室頂部裝飾物能有一個合理的布局，實現(xiàn)頂部空間的高效利用。從不同體積分數(shù)上限對應(yīng)的優(yōu)化后材料分布圖來看（圖5），體積分數(shù)上限為0.15和0.20的拓撲結(jié)構(gòu)單元密度主要為藍色區(qū)域；體積分數(shù)上限為0.25，0.30，0.35和0.40的拓撲結(jié)構(gòu)單元密度分布更為理想。

對0.25，0.30，0.35和0.40的拓撲結(jié)構(gòu)單元密度取不同的閾值（即只保留單元密度大于該閾值的單元），結(jié)果如圖6～圖9所示。

通過對比以上概念設(shè)計階段的拓撲優(yōu)化結(jié)果組圖，綜合考慮固有頻率、結(jié)構(gòu)重量和空間高效利用等指標，進行重新設(shè)計，得到縱骨腹板新的結(jié)構(gòu)拓撲形式如圖10所示。

圖6 體積分數(shù)≤0.25，閾值為0.375，0.55，0.675時的材料分布Fig.6 The material distribution when volume fraction≤0.25（upper bound is 0.375，0.55，0.675）

圖7 體積分數(shù)≤0.30，閾值為0.375，0.55，0.675時的材料分布Fig.7 The material distribution when volume fraction≤0.3（upper bound is 0.375,0.55,0.675）

圖8 體積分數(shù)≤0.35，閾值為0.375，0.55，0.675時的材料分布Fig.8 The material distribution when volume fraction≤0.35 (upper bound is 0.375,0.55,0.675)

圖9 體積分數(shù)≤0.40，閾值為0.375，0.55，0.675時的材料分布Fig.9 The material distribution when volume fraction≤0.4 (upper bound is 0.375,0.55,0.675)

圖10 改進后的結(jié)構(gòu)型式Fig.10 The new structure type

新的結(jié)構(gòu)拓撲型式移除了多余的材料，合理地利用了結(jié)構(gòu)材料，達到了輕量化設(shè)計的目的，同時，固有頻率也有所提高。這種高腹板梁的掏洞設(shè)計也為船舶艙室各類管道、電纜的鋪設(shè)提供了空間，提高了空間利用率。

5 結(jié)語

本文對船舶板架結(jié)構(gòu)進行了拓撲與形狀優(yōu)化，以尋求材料最優(yōu)分布。研究表明：通過對船底板架結(jié)構(gòu)應(yīng)用形狀和尺寸的優(yōu)化，在最小化重量目標下得到了新的結(jié)構(gòu)型式，優(yōu)化后的板架結(jié)構(gòu)重量下降了15.82%。以拓撲優(yōu)化變密度法建立的上層建筑板架結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)反映了其主傳力路徑，材料分布更為合理，結(jié)構(gòu)重量減輕較顯著，提高了結(jié)構(gòu)固有頻率，為管路、電纜的鋪設(shè)提供了有效空間。本文的研究可為類似結(jié)構(gòu)件的設(shè)計提供方法借鑒。

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［責(zé)任編輯：盧圣芳］

Typical shape and topology optimization design of the ship grillage structure

ZHANG Huixin1，2，YANG Deqing1，2
1 School of Naval Architecture，Ocean and Civil Engineering，Shanghai Jiao Tong University，Shanghai 200240，China
2 State Key Laboratory of Marine Engineering，Shanghai Jiao Tong University，Shanghai 200240，China

Taking the typical ship grillage structure as the study object,this paper mainly describes the ap?plication of optimized design of ship structures.Specifically,the size and shape optimization is applied onto the grillage structure at the bottom,with the weight of the structure being objective and the stress being the constraint condition.After optimization,the weight has decreased by 15.82%.As for deck grillage,to im?prove the spatial layout of the top of superstructure cabins,raise the natural frequency of grillage structure on top,and seek for the optimal distribution of materials,the topology optimization is applied with its static analysis and modal analysis being discussed.Based on the above obtained data,the volume fraction is set as the restriction condition of the model,and the structural natural frequency is set as the objective func?tion.Finally,new structure type which optimizes the spatial layout of the top of superstructure cabins are presented,which renders more reasonable material distribution,increases grillage structure's natural fre?quency,and meets expected goals.Research shows that,at present,the grillage structure design can be widely used in the topology and shape optimization design technology.

grillage structure；structure optimization；topology optimization；SIMP theory

U662

A

10.3969/j.issn.1673-3185.2015.06.005

http://www.cnki.net/kcms/detail/42.1755.TJ.20151110.1025.010.html期刊網(wǎng)址：www.ship-research.com

張會新，楊德慶.典型船舶板架拓撲與形狀優(yōu)化設(shè)計［J］.中國艦船研究，2015，10（6）：27-33，59. ZHANG Huixin，YANG Deqing.Typical shape and topology optimization design of the ship grillage structure［J］. Chinese Journal of Ship Research，2015，10（6）：27-33，59.

2015-03-30 < class="emphasis_bold"> 網(wǎng)絡(luò)出版時間：

時間：2015-11-10 10:25

國家自然科學(xué)基金資助項目（51479115）

張會新，男，1988年生，碩士生。研究方向：船舶結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計理論與方法。E-mail：zhang525054808@sjtu.edu.cn楊德慶（通信作者），男，1968年生，博士，教授，博士生導(dǎo)師。研究方向：船舶振動噪聲分析與控制。E-mail：yangdq@sjtu.edu.cn