王禮祥 蔡 書

(西南民族大學(xué)預(yù)科教育學(xué)院，四川 成都 610041)

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場(chǎng)域中填充多介質(zhì)且存在3種以上介質(zhì)公共點(diǎn)或公共線的電磁場(chǎng)邊值關(guān)系及其應(yīng)用

王禮祥 蔡 書

(西南民族大學(xué)預(yù)科教育學(xué)院，四川 成都 610041)

文章分析討論了場(chǎng)域空間填充有多介質(zhì)且存在3種以上介質(zhì)公共點(diǎn)或公共線上的電磁場(chǎng)邊值關(guān)系一般形式，就簡(jiǎn)單可解的多介質(zhì)分界面與電場(chǎng)線重合和多介質(zhì)分界面與等勢(shì)面重合的特殊情況舉例說(shuō)明其應(yīng)用.結(jié)果表明多介質(zhì)公共點(diǎn)或公共線上的邊值關(guān)系并非是簡(jiǎn)單的兩、兩介質(zhì)分界面邊值關(guān)系的組合，多介質(zhì)公共點(diǎn)或公共線上的邊值關(guān)系確有必須遵循的特殊形式.

麥克斯韋方程；電磁場(chǎng)邊值關(guān)系；靜電場(chǎng)；電介質(zhì)；多介質(zhì)公共點(diǎn)；多介質(zhì)公共線

眾所周知，由電磁場(chǎng)積分形式的麥克斯韋方程組

可以導(dǎo)出電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系

說(shuō)明電磁場(chǎng)邊值關(guān)系只是積分形式的麥克斯韋方程組在兩介質(zhì)分界面上的特殊形式，它是因?yàn)榻橘|(zhì)性質(zhì)的突變(ε和μ突變)或分界面上存在自由電荷面分布與電流面分布從而導(dǎo)致電磁場(chǎng)的場(chǎng)量突變而必須遵循的客觀規(guī)律.我們?cè)谖墨I(xiàn)[2]、[3]中給出了它的推廣應(yīng)用形式，即在場(chǎng)域內(nèi)任意選取的任何曲面上式(2)同樣成立，因?yàn)槠毡檫m用的積分形式麥克斯韋方程組在人為選取的任意曲面兩側(cè)場(chǎng)量可能連續(xù)也可能突變，它取決于曲面上有無(wú)點(diǎn)電荷、線電荷與線電流.本文分析討論給出場(chǎng)域內(nèi)填充多種分區(qū)均勻介質(zhì)時(shí)出現(xiàn)多介質(zhì)公共點(diǎn)或公共線上的電磁場(chǎng)邊值關(guān)系的具體形式，并就特殊可簡(jiǎn)單求解情況舉例說(shuō)明其重要應(yīng)用，為便于行文僅以靜電場(chǎng)邊值關(guān)系為例闡述分析.

1 多介質(zhì)填充場(chǎng)域時(shí)公共點(diǎn)或公共線上的靜電場(chǎng)邊值關(guān)系

靜電場(chǎng)的基本特征是其分布不隨時(shí)間變化，描述靜電場(chǎng)力的性質(zhì)的物理量電場(chǎng)強(qiáng)度矢量和描述靜電場(chǎng)能量性質(zhì)的物理量電勢(shì)都只是空間點(diǎn)的函數(shù)，在兩介質(zhì)分界處?kù)o電場(chǎng)的場(chǎng)量點(diǎn)點(diǎn)對(duì)應(yīng)邊值關(guān)系是

或者以電勢(shì)表達(dá)為

式(3)或式(4)闡明了兩種介質(zhì)分界面上點(diǎn)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的靜電場(chǎng)場(chǎng)量突變關(guān)系，是介質(zhì)性質(zhì)突變導(dǎo)致場(chǎng)量的突變，點(diǎn)點(diǎn)對(duì)應(yīng)或點(diǎn)點(diǎn)趨近對(duì)應(yīng)是極限關(guān)系.

場(chǎng)域空間總是由點(diǎn)、線、面構(gòu)成，當(dāng)靜電場(chǎng)空間內(nèi)填充多種分區(qū)均勻介質(zhì)時(shí)不可避免地要出現(xiàn)3種或3種以上介質(zhì)相鄰的公共點(diǎn)或公共線，這時(shí)多介質(zhì)公共點(diǎn)或公共線上的邊值關(guān)系到底是什么樣的？各類型文獻(xiàn)資料中都沒有具體闡明，原因可能是:① 認(rèn)為分別應(yīng)用兩兩介質(zhì)分界面上的邊值關(guān)系即可解決問題；② 是此類問題只有特殊情況下有簡(jiǎn)單解(介質(zhì)分界面與電場(chǎng)線重合或介質(zhì)分界面與等勢(shì)面重合)，一般情況下不一定存在解析解.本文應(yīng)用宏觀電磁場(chǎng)理論中的宏觀小微觀大思想，將點(diǎn)、線放大分析討論多介質(zhì)公共點(diǎn)或公共線之邊值關(guān)系并以極限方法給出簡(jiǎn)明結(jié)論.

圖1 多介質(zhì)公共點(diǎn)P圖示

如圖1所示，設(shè)靜電場(chǎng)空間內(nèi)填充有N種分區(qū)均勻電介質(zhì)(ε1，ε2，ε3，…，εi,…,εN)，各介質(zhì)內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量分別是E1，E2，E3，…，Ei,…,EN；電勢(shì)是φ1，φ2，φ3，…，φi,…,φN；它們存在一個(gè)公共點(diǎn)P，以P為球心作一半徑為r(r→0)的球面，應(yīng)用靜電場(chǎng)高斯定理可得

式中S=S1+S2+…+SN.

且兩兩介質(zhì)分界面上的邊值關(guān)系照樣成立，即ε1與ε2分界面上有

ε2與ε3分界面處有

εN與ε1分界面處有

注意以上N個(gè)式子分別是N個(gè)介質(zhì)分界面上非公共點(diǎn)外的邊值關(guān)系，是空間點(diǎn)坐標(biāo)函數(shù)關(guān)系(每個(gè)關(guān)系式為一個(gè)界面上同一點(diǎn)處的場(chǎng)量關(guān)系)，結(jié)合式(5)即得N種介質(zhì)公共點(diǎn)P處的邊值關(guān)系:

即多介質(zhì)公共點(diǎn)處的靜電場(chǎng)邊值關(guān)系

當(dāng)多介質(zhì)公共點(diǎn)處存在點(diǎn)電荷Q時(shí)，其靜電場(chǎng)邊值關(guān)系為

多介質(zhì)場(chǎng)域存在3種以上介質(zhì)公共線時(shí)類似于多介質(zhì)公共點(diǎn)分析，只是要在放大公共線呈直線段后取包圍直線段的圓柱面為高斯面討論，同樣可得到相應(yīng)靜電場(chǎng)邊值關(guān)系:

(1)公共線上無(wú)線電荷分布,公共線上的邊值關(guān)系為

(2)公共線上存在線電荷λ，取包圍線電荷λ的圓柱高為h，公共線上的邊值關(guān)系為

特殊情況下，當(dāng)介質(zhì)分界面與電場(chǎng)線重合時(shí)[4]，如點(diǎn)電荷Q位于多介質(zhì)錐公共頂點(diǎn)P的靜電問題或無(wú)限長(zhǎng)直線線電荷λ位于多介質(zhì)公共線上的靜電問題，都有下面簡(jiǎn)單電勢(shì)解:

① 點(diǎn)電荷Q位于N種介質(zhì)錐公共點(diǎn)P的簡(jiǎn)單球?qū)ΨQ電勢(shì)解[5]

② 無(wú)限長(zhǎng)直線線電荷λ置于N介質(zhì)無(wú)限公共直線上的柱對(duì)稱電勢(shì)解[6]

3 應(yīng)用實(shí)例——點(diǎn)電荷非對(duì)稱雙介質(zhì)錐問題

設(shè)圖2所示為非對(duì)稱雙介質(zhì)圓錐公共頂點(diǎn)O處放置點(diǎn)電荷Q，兩介質(zhì)圓錐公共線為y軸正半軸，真空對(duì)O點(diǎn)的立體角為Ω3.驗(yàn)證三介質(zhì)公共點(diǎn)和公共線邊值關(guān)系成立.

圖2 點(diǎn)電荷非對(duì)稱雙介質(zhì)錐

由“帶電導(dǎo)體球與介質(zhì)錐靜電問題解及推廣應(yīng)用”[7]給出該問題的球?qū)ΨQ解

去證明三介質(zhì)公共點(diǎn)和公共線上的邊值關(guān)系成立:

① 坐標(biāo)原點(diǎn)(公共點(diǎn))O的邊值關(guān)系

把式(13)代入式(7)得

注意點(diǎn)電荷是理想化模型并非真正意義的r=0而r→0，所以(式(16)、(17))說(shuō)明三介質(zhì)公共點(diǎn)處的邊值關(guān)系成立.

② 三介質(zhì)公共線y軸正半軸上的邊值關(guān)系

[1] 科學(xué)出版社名詞室合編.物理學(xué)詞典(上冊(cè))[M].北京： 科學(xué)出版社,1988：2-3～2-5.

[2] 王禮祥.電磁場(chǎng)邊值關(guān)系的一種證明及其推廣應(yīng)用[J].西南民族學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，1993(02):150-155.

[3] 王禮祥.電磁場(chǎng)邊值關(guān)系的推廣應(yīng)用[J].大學(xué)物理，1994(11)，8-12.

[4] 胡友秋,程福臻,葉邦角,等.電磁學(xué)與電動(dòng)力學(xué)(上冊(cè))[M].2版.北京： 科學(xué)出版社,2014： 57-61.

[5] 曲世光.點(diǎn)電荷位于多種介質(zhì)錐公共頂點(diǎn)時(shí)的勢(shì)[J].大學(xué)物理，1998(04)： 45-46.

[6] 曲世光.共頂(軸)多介質(zhì)錐(楔)中球(軸)對(duì)稱靜電場(chǎng)及其一般公式[J].哈爾濱電工學(xué)院學(xué)報(bào),1987(02)：176-181.

[7] 王禮祥,蔡書.帶電導(dǎo)體球與介質(zhì)錐靜電問題解及推廣應(yīng)用[J].西南民族學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2004(02):166-169.

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ELECTROMAGNETIC FIELD BOUNDARY VALUE RELATIONS ON PUBLIC POINT OR LINE OF THREE OR MORE MEDIA AND ITS APPLICATIONS

Wang Lixiang Cai Shu

(School of Preparatory Education,Southwest University for Nationalities,Chengdu,Sichuan 610041)

In this paper,we analyzed and discussed the general form of electromagnetic field boundary value relations on the public point or line of three or more media.We illustrated its applications by two simple solvable special examples,which are the superposition of multi-media interface with electrostatic field lines and the superposition of multi-media interface with equipotential surface.The results showed that boundary value relations on multi-media public point or line were not the simple combinations of the boundary value relations of two or more media interface,and there were special forms that must be followed.

Maxwell’s equations;electromagnetic boundary value relation;electrostatic field;dielectric;electrostatic field boundary relation;multi-media public point;multi-media public line

2015-02-08

王禮祥，男，西南民族大學(xué)預(yù)科教育學(xué)院副教授，主要從事物理教學(xué)、計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)教學(xué)和科研.ykbw@163.com