劉紅平

長沙師范學院 電子信息工程系，長沙 410100

1 引言

多關節(jié)機械手系統(tǒng)是一個多輸入多輸出、高度耦合的復雜非線性系統(tǒng)。如果能夠得到描述機器人動力學的精確數(shù)學模型，那么計算力矩控制[1]就能夠有效地實現(xiàn)機器人的軌跡跟蹤控制。然而，計算力矩控制必須事先精確獲得機器人的動力學模型的先驗知識。但在實際中，即使獲得一個較為理想的機器人動力學模型也是很困難的。經典的PD控制不依賴系統(tǒng)模型，然而難以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性和控制精度。在系統(tǒng)模型未知的情況下，為實現(xiàn)機械手的高性能控制，通常在控制律中引入補償項，以消除不確定性因素的影響。傳統(tǒng)的控制方法由于控制精度低（如：PID控制）或缺乏魯棒性（如：計算轉矩控制）等原因，往往難以保證良好的動態(tài)性能。考慮到神經網絡強大的非線性逼近能力，可以補償各種非線性未建模動態(tài)的影響，因此，基于神經網絡的控制方法成為機械手智能控制的重要手段[2-6]。然而，由于神經網絡固有的缺乏泛化性和容易陷入局部極小的缺陷，在一定程度上限制了其應用。支持向量機的提出，有效地解決了這一問題[7-10]。

支持向量機（SVM）是一種基于統(tǒng)計學習理論的學習機[10-14]，通過結構風險最小化準則來提高泛化能力。相對神經網絡來說，SVM具有嚴格的理論基礎，在訓練中不存在陷入局部最優(yōu)和維數(shù)災難問題，小樣本學習也具有很強的泛化能力。文獻[15]在標準的支持向量機基礎上提出了一種改進的Lagrangian支持向量機（LSVM），并將其應用到分類問題，實驗結果表明，Lagrangian支持向量機具有更快的計算速度[16-20]。

本文首先將Lagrangian支持向量機推廣應用到回歸問題，學習過程采用梯投影法[21-23]；然后將Lagrangian支持向量機應用于機械手的滑?？刂?。具體來說，首先通過Lagrangian支持向量機對機械手系統(tǒng)進行非線性補償；然后進一步在線調整參數(shù)，并增加一個滑模魯棒控制項來消除逼近誤差對跟蹤性能的影響。最后，通過仿真實現(xiàn)，驗證了以上控制方法的有效性。

2 Lagrangian支持向量機

2.1 LSVM分類

首先考慮標準的支持向量機分類（SVC），標準的二階范數(shù)軟間隔SVC形式為：

其中，w=(w1，w2，…，wm)T∈Rm，φ(?):Rn→Rm為非線性映射；b為截距，C為正則參數(shù)，ξi為松弛變量；((x1，y1)，(x2，y2)，…，(xl，yl))為給定的樣本集，l為樣本個數(shù)。其對偶問題為：

上述SVC的特點是：含有等式約束，且當樣本不可分時的取值并不唯一。Lagrangian支持向量機是上述標準SVC的一種改進，在目標函數(shù)b2中增加了項，對應的LSVC形式如下：

通過引入拉格朗日函數(shù)，可將以上問題求解轉化為如下對偶問題：

式（5）相對式（2）來說，沒有了等式約束。因此，使得對應問題的求解相對簡單。設對偶問題（5）的最優(yōu)解為，則唯一的b*滿足以下條件：

這樣得到如下的判別函數(shù)：

2.2 LSVM回歸

為了能夠將Lagrangian支持向量機（LSVM）應用于函數(shù)逼近，將上述LSVM推廣應用到回歸問題。首先定義Huber損失函數(shù)：

其中ε為不敏感參數(shù)。對于具有Huber損失函數(shù)的LSVR定義如下：

通過引入約束優(yōu)化問題（9）的拉格朗日函數(shù)，并利用KKT互補條件，得到其對偶問題為：

假定通過求解上述二次規(guī)劃問題，得到最優(yōu)解，則相應的回歸函數(shù)為：

得到的Lagrangian支持向量機回歸結構如圖1所示，其中xi為支持向量機的輸入，y為輸出；βi可以看作支持向量機網絡的輸出權值。

圖1 LSVR結構示意圖

3 LSVR的學習

本部分主要研究如何通過樣本學習獲得LSVR的未知參數(shù)βi。為獲得最優(yōu)參數(shù)，必須求解含約束的二次規(guī)劃問題（11）。首先將式（11）改寫為如下矩陣形式：

將采用如下梯度投影法求解參數(shù)β：

其中，βk為k時刻變量β所在位置，s＞0為學習步長。

下面，將研究參數(shù)學習過程的收斂性。對于由式（16）描述的迭代學習過程，有如下定理：

定理1設β*為二次規(guī)劃問題（12）的唯一最優(yōu)解，則當 0＜s＜2/λmax時，迭代式（16）收斂于β*，其中λmax為矩陣A的最大特征值。

證明β*由于為式（12）的唯一最優(yōu)解，則β*必滿足最優(yōu)條件：

將式（16）（17）兩式相減，得：

設矩陣A的特征值為λi，i=1，2，…，l，要使得βk收斂于β*，必須有：

由此即可得 0＜s＜2/λmax時，βk收斂于β*，故得證。

4 機械手控制

在本章中，將把Lagrangian支持向量機回歸（LSVR）應用于機械手系統(tǒng)的控制。對于具有n自由度的機械手，其動力學方程為：

其中，q∈Rn為關節(jié)角位移量，M(q)∈Rn×n為慣性矩陣，C(q，)∈Rn為向心力和哥氏力，G(q)∈Rn為重力矩，F(xiàn)()∈Rn為摩擦力，τ∈Rn為控制力矩。系統(tǒng)（20）具有如下性質：

性質1(q)-2C(q，)為反對稱矩陣，即：

性質2慣性矩陣M(q)為有界的對稱正定矩陣，即存在m1，m2＞0使得：m1I≤M(q)≤m2I

在本文中，系統(tǒng)的控制目標為使得關節(jié)輸出q(t)跟蹤參考輸出qd(t)。對應跟蹤誤差為：

定義誤差函數(shù)：

其中，Λ為對稱正定矩陣，則

其中，Kv為對稱正定矩陣。當f未知時，用支持向量機去學習f，用其估計值代替f。然而，由于估計誤差的存在，使得控制器（24）并不能保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，必須對控制律進行修正。根據(jù)支持向量機回歸逼近理論，存在一個最佳逼近，使得：

其中Δ為有界的逼近誤差，W*為最佳逼近參數(shù)，K(x)為核函數(shù)。然而，在實際中通過有限樣本的學習難以精確獲得最佳參數(shù)，一般只能獲得參數(shù)的近似估計值，即

此時控制力矩為：

觀察上式，可以將其看作關于參數(shù)的含有結構不確定性Δ(t)的模型。對于參數(shù)不確定性，設計參數(shù)自適應律，對于結構不確定性，可在控制器式（28）的基礎上增加一個魯棒控制器。在設計魯棒控制器時，假設存在常數(shù)L＞0，使得有界的逼近誤差實際中，逼近誤差的界也常難以直接得到，因此，先給定L的一個估計值，然后再進行在線調整。

綜合以上分析，實際的控制器由兩部分組成：

且對應的參數(shù)自適應律為：

圖2 LSVR控制器框圖

對于此控制器有如下定理：

定理2對于由式（20）描述的機械手系統(tǒng)，若系統(tǒng)控制器由式（29）～（33）確定，則閉環(huán)控制系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

證明定義系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)：

對以上Lyapunov函數(shù)求導得：

故由Lyapunov穩(wěn)定性理論可得系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性，定理得證。

5 仿真實例

以兩關節(jié)機械手為例，對本文提出的控制方法進行仿真。考慮如圖3所示的二關節(jié)機器手系統(tǒng)，其動力學模型由式（20）描述，其中：

首先利用LSVM對系統(tǒng)進行非線性補償，其中LSVM的正則參數(shù)C=5，高斯核函數(shù)中的寬度參數(shù)σ=2。實施控制時，相應的控制參數(shù)取為：Kv=diag(15，10)，Λ=diag(5，5)，kL=0.5，Γ=10。所得到的仿真結果如圖4和圖5所示。另外，為突出跟蹤效果，將本文所提出的方法與經典的PD控制方法進行了對比，其中比例和微分系數(shù)的大小選擇與本文提出的控制器中誤差和誤差變化率的系數(shù)相同。跟蹤誤差比較效果如圖6和圖7所示。觀察仿真結果可知，本文設計的控制器實現(xiàn)了對參考信號的跟蹤，且比PD控制具有更好的跟蹤性能。這是因為本文提出控制器可以看作在PD控制器的基礎上增加了一個非線性前饋補償器，前饋補償能夠抵消系統(tǒng)非線性和不確定性的影響，有助于提高控制器的跟蹤性能。

圖3 兩關節(jié)機械手模型

圖4 第一關節(jié)的輸出q1(t)與參考輸出q1d(t)

圖5 第二關節(jié)的輸出q2(t)與參考輸出q2d(t)

圖6 第一關節(jié)的輸出誤差e1(t)

圖7 第二關節(jié)的輸出誤差e2(t)

6 結束語

本文將Lagrangian支持向量機推廣應用到回歸問題，并提出了基于梯度投影法的學習方法，與標準的SVM相比，LSVM具有更快的學習速度。進而采用LSVR補償來實現(xiàn)對機械手的控制，由于補償誤差的存在，因此，在自適應控制器的基礎上增加了一個魯棒控制器，使得控制系統(tǒng)具有了更好的跟蹤性能。對兩關節(jié)機械手的仿真結果表明本文的方法優(yōu)于傳統(tǒng)的PD控制。

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