許達允，　全哲勇，　樸東哲

( 1.金日成綜合大學(xué) 數(shù)學(xué)系， 平壤； 2.延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系， 吉林 延吉 133002 )

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在黎曼流形上α -型(π,ω)半對稱非度量聯(lián)絡(luò)的常曲率條件

許達允1，全哲勇1，樸東哲2*

( 1.金日成綜合大學(xué) 數(shù)學(xué)系， 平壤； 2.延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系， 吉林 延吉 133002 )

摘要：在黎曼流形上定義了一個α-型(π,ω)半對稱非度量聯(lián)絡(luò)，研究了其常曲率條件,同時討論了其聯(lián)絡(luò)的相互連絡(luò)的常曲率條件. 半對稱非度量聯(lián)絡(luò)； 相互聯(lián)絡(luò)； 常曲率 O186

文獻標(biāo)識碼：A

A.Fridman等[1]首次提出黎曼流形上的半對稱聯(lián)絡(luò)概念后，文獻[2]利用非對稱度量聯(lián)絡(luò)的思想[3]定義了半對稱度量聯(lián)絡(luò)，并研究了其性質(zhì).在此基礎(chǔ)上，文獻[4]的作者對半對稱度量聯(lián)絡(luò)做了更進一步的探討.文獻[5-6]把Levi-Civita聯(lián)絡(luò)與射影等效的半對稱聯(lián)絡(luò)定義為射影半對稱聯(lián)絡(luò), 并研究了它的一些性質(zhì)；文獻[7-8]研究了半對稱聯(lián)絡(luò)與度量聯(lián)絡(luò)的物理模型；文獻[9-10]研究了度量聯(lián)絡(luò)與非度量聯(lián)絡(luò)的常曲率條件.本文利用已存在的半對稱非度量聯(lián)絡(luò)，定義一個新的α-型(π,ω)半對稱非度量聯(lián)絡(luò)，并研究該聯(lián)絡(luò)的幾何學(xué)性質(zhì)，同時還研究了α-型(π,ω)半對稱非度量聯(lián)絡(luò)的常曲率條件和相互連絡(luò)的常曲率條件.

1α -型(π,ω)半對稱非度量聯(lián)絡(luò)

定義1黎曼流形(M,g)中的聯(lián)絡(luò)稱為α-型(π,ω)半對稱非度量聯(lián)絡(luò)，如果它滿足如下關(guān)系:

(1)

其中α∈R且ω,π是1-型.

定義1中的α-型(π,ω)半對稱非度量聯(lián)絡(luò)是一個以α為參數(shù)的聯(lián)絡(luò)族，它的聯(lián)絡(luò)系數(shù)為：

(2)

如果α=0， 則0-型(π,ω)半對稱非度量聯(lián)絡(luò)滿足：

(3)

如果α=1， 則1-型(π,ω)半對稱非度量聯(lián)絡(luò)滿足:

(4)

如果α=2， 則2-型(π,ω)半對稱非度量聯(lián)絡(luò)滿足:

(5)

α-型(π,ω)半對稱非度量聯(lián)絡(luò)的曲率張量是

(6)

其中：

(7)

(8)

2α -型(π,ω)半對稱非度量聯(lián)絡(luò)的常曲率條件

如果在黎曼流體的任何點P的截面曲率與二維子空間的選擇無關(guān)，則曲率張量為

(9)

在此情形下，若K是常數(shù)，則聯(lián)絡(luò)為常曲率聯(lián)絡(luò).

定理1在連接的黎曼流體(M，g) (dimM≥3)上，α-型(π,ω)半對稱非度量聯(lián)絡(luò)為常曲率聯(lián)絡(luò)的充要條件是

(α-2)ωh+φh=0.

(10)

證明把式(9)代入式(8)可得

把gjk乘于上式并整理可得

對i和l進行整理可得

(11)

在式(11)中可以看出，當(dāng)n≥3時K取常數(shù)的充要條件是式(10)成立.式(10)是n≥3的情況下，K是常數(shù)的充要條件.

由定理1可知，在連接的黎曼流形(M,g) (dimM≥3)上，可以給出滿足Schur定理的α-型(π,ω)半對稱非度量聯(lián)絡(luò)的3種類型：

1)如果α=0 (2ωh=φh) ， 則

2)如果α=1 (ωh=φh)， 則

文獻[12]雖研究了此聯(lián)絡(luò)，但并未提及常曲率聯(lián)絡(luò).

3)如果α=2 (φh=0)， 則

此聯(lián)絡(luò)是Amari -chenstov聯(lián)絡(luò)的一種[4].

3α -型(π,ω)半對稱非度量聯(lián)絡(luò)的相互聯(lián)絡(luò)的常曲率條件

(12)

(13)

(14)

其中：

定理2在黎曼流體(M，g) (dimM≥3)上，α-型(π,ω)半對稱非度量聯(lián)絡(luò)的相互聯(lián)絡(luò)是常曲率的充要條件為

(α-2)ωh+2φh=0.

(15)

得

將gjk乘于上式并整理后得

對i,l進行整理可得

(16)

在式(16)中可以看出，當(dāng)n≥3時K取常數(shù)的充要條件是式(15)成立.式(16)是n≥3的情況下，K是常數(shù)的充要條件.

由定理2可以看出，在連接的黎曼流形上可以給出滿足Schur定理的α-型(π,ω)半對稱非度量聯(lián)絡(luò)的相互聯(lián)絡(luò)的3種類型：

1)如果α=0 (ωh=φh)， 則:

(17)

2)如果α=1 (ωh=2φh)， 則:

(18)

3)如果α=3 (φh=0)， 則:

(19)

這3種聯(lián)絡(luò)是具有常曲率的非度量聯(lián)絡(luò).

參考文獻：

[1]Fridman A, Schouten J A. Uber die geometric der halb-symmerschen uber tragungen[J]. Math Zeitschrift, 1924,21:211-233.

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[9]Lam K S, Chern S S, Chen W H. Lectures on Differential Geometry[M]. Singapore: World Scientific Publishing Co Pte Ltd, 1999.

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[11]Zhao P B, Song H Z. An invariant of the projective semi-symmetric connection[J]. Chinese Quarterly J of Math, 2001,16(4)：49-54.

[12]Agache N S, Chalfe M R. A semi-symmetric non-metric connection on a Riemannian manifold[J]. Indian J Pure Appl Math,1992,20(6):309-409.

A constant curvature condition ofα-type (π,ω) semi-symmetric non-metric connection in a Riemannian manifold

HO Talyun1，JEN Cholyong1，PIAO Dongzhe2*

( 1.DepartmentofMathematics，KimIISungUniversity，Pyongyang，DPRK； 2.DepartmentofMathematics，

CollegeofScience，YanbianUniversity，Yanji133002，China)

Abstract：We defined anα-type (π,ω)-semi-symmetric non-metric connection in a Riemannian manifold and studied its constant curvature condition. And we studied constant curvature condition of a mutual connection of this contact.

Key words：semi-symmetric non-metric connection； mutual connection； constant curvature

文章編號：1004-4353(2015)04-0275-04

*通信作者：樸東哲(1960—)，男，副教授，研究方向為微分幾何.

收稿日期：2015-11-16