劉文斌，　金艷，　姜今錫

( 延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系， 吉林 延吉 133002 )

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一個(gè)隨機(jī)利率下的家庭型聯(lián)合保險(xiǎn)隨機(jī)模型

劉文斌，金艷，姜今錫*

( 延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系， 吉林 延吉 133002 )

摘要：通過(guò)原點(diǎn)反射Brownian運(yùn)動(dòng)過(guò)程和Poisson過(guò)程對(duì)保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中的利息力隨機(jī)性作了描述，在此基礎(chǔ)上建立了一類由終身壽險(xiǎn)、養(yǎng)老保險(xiǎn)和儲(chǔ)蓄還本3部分組成的可調(diào)整保險(xiǎn)金額的家庭型聯(lián)合保險(xiǎn)隨機(jī)模型，并給出了這類保險(xiǎn)模型的年均衡保費(fèi)的一般計(jì)算公式和死亡均勻分布(UDD)假設(shè)之下較簡(jiǎn)潔的年均衡保費(fèi)計(jì)算公式，并用實(shí)例分析驗(yàn)證了本文結(jié)論的合理性和實(shí)用性.本文給出的保險(xiǎn)模型對(duì)解決壽險(xiǎn)公司合理收取保費(fèi)、保險(xiǎn)賠付和規(guī)避管理風(fēng)險(xiǎn)都具有一定的理論意義和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值. 隨機(jī)利率； 利息力函數(shù)； 聯(lián)合保險(xiǎn)隨機(jī)模型； 年均衡保費(fèi) O211.9

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

0引言

隨著我國(guó)利率市場(chǎng)化改革進(jìn)程的不斷推進(jìn)以及利率波動(dòng)頻繁等原因，我國(guó)壽險(xiǎn)公司的產(chǎn)品定價(jià)策略的理論和實(shí)踐面臨著新的問(wèn)題.這是因?yàn)?，?jīng)典的精算理論為了使計(jì)算簡(jiǎn)單，通常假定利率是固定不變的，即壽險(xiǎn)保單的預(yù)定利率一旦確定，在其生命周期內(nèi)是不能變化的.利率的變化會(huì)造成壽險(xiǎn)保單的預(yù)定利率和實(shí)際利率的偏高，對(duì)壽險(xiǎn)公司產(chǎn)生重大的影響，因此隨機(jī)利率下的壽險(xiǎn)精算理論與方法的研究成為近年來(lái)的熱點(diǎn)問(wèn)題.

1971年,J.H.Polland把利息力作為一個(gè)隨機(jī)變量，對(duì)精算函數(shù)進(jìn)行了研究[1],隨后很多學(xué)者開始考慮壽險(xiǎn)與年金中死亡率和利率均視為隨機(jī)的壽險(xiǎn)模型.文獻(xiàn)[2-3]采用時(shí)間序列的方法對(duì)隨機(jī)利率進(jìn)行建模，例如白噪聲過(guò)程、AR(2)過(guò)程和ARIMA過(guò)程等；文獻(xiàn)[4-7]分別得到了利息力由O-U過(guò)程和Wiener過(guò)程建模的某些年金現(xiàn)值的前二階矩模型及終身壽險(xiǎn)精算現(xiàn)值的前二階矩等；楊靜平等[8]對(duì)利息力采用白噪聲建模，得到了定期壽險(xiǎn)中索賠量極限分布的密度函數(shù)遞推公式；王明姬等[9]對(duì)利息力采用伽馬分布和負(fù)二項(xiàng)分布聯(lián)合建立了綜合人壽保險(xiǎn)模型，并給出了保費(fèi)繳納和保險(xiǎn)金給付的精算現(xiàn)值；郭春增等[10]采用反射布朗運(yùn)動(dòng)過(guò)程和伽馬分布聯(lián)合建立了利息力累積模型，并研究得出在此模型下的壽險(xiǎn)純保費(fèi)和責(zé)任準(zhǔn)備金的表達(dá)式.

隨著壽險(xiǎn)精算理論研究的不斷深入，越來(lái)越多的學(xué)者致力于研究隨機(jī)利率下的聯(lián)合壽險(xiǎn)模型.如：王麗燕等對(duì)利息力采用Wiener過(guò)程建模，構(gòu)建了家庭聯(lián)合保險(xiǎn)的精算模型[11]；王麗燕等對(duì)利息力采用反射Brownian運(yùn)動(dòng)過(guò)程和Poisson過(guò)程聯(lián)合建立了生死兩全保險(xiǎn)模型，得到了保單全部?jī)r(jià)值的計(jì)算公式，并進(jìn)一步在死亡力均勻分布假設(shè)下簡(jiǎn)化了公式[12]；柳揚(yáng)等對(duì)利息力采用反射Brownian運(yùn)動(dòng)過(guò)程和Poisson過(guò)程聯(lián)合建立了生死兩全保險(xiǎn)模型，給出了凈保費(fèi)的一般表達(dá)式以及在死亡均勻分布假設(shè)下均衡純保費(fèi)的簡(jiǎn)潔計(jì)算公式[13].

本文建立一類由終身壽險(xiǎn)、養(yǎng)老保險(xiǎn)和儲(chǔ)蓄還本組成的可調(diào)整保險(xiǎn)金額的家庭型聯(lián)合保險(xiǎn)雙隨機(jī)模型，考慮到實(shí)際生活中的隨機(jī)利率是由連續(xù)的部分和跳躍兩部分組成[14]，因此本文采用反射Brownian運(yùn)動(dòng)過(guò)程和Poisson過(guò)程來(lái)刻畫保險(xiǎn)中利息力的隨機(jī)性，并給出年均衡保費(fèi)的一般計(jì)算公式和死亡均勻分布假設(shè)下較簡(jiǎn)潔的表達(dá)式.最后利用實(shí)例分析驗(yàn)證本文模型的合理性與有效性.

1模型描述與預(yù)備定理

1.1　承保對(duì)象與保險(xiǎn)責(zé)任

本文所研究的壽險(xiǎn)模型兼顧現(xiàn)代年輕子女的養(yǎng)老負(fù)擔(dān)，因而考慮父母正常的壽險(xiǎn)保障外，還增加了還本部分.故在保單中壽險(xiǎn)公司的保險(xiǎn)責(zé)任由如下3個(gè)部分組成：

1)壽險(xiǎn)部分.采用聯(lián)合生存狀態(tài)模式下的即刻給付終身壽險(xiǎn)模型，即從保單生效之日起若夫妻雙方中任何一人死亡，則壽險(xiǎn)公司應(yīng)向投保人即刻給付保險(xiǎn)金A(1+α[T(xy)])， 以此結(jié)束壽險(xiǎn)公司對(duì)投保人的壽險(xiǎn)責(zé)任部分，其中A為正常數(shù)， α為增額系數(shù)， [T(xy)]表示T(xy)的取整函數(shù)，即(xy)的整數(shù)年齡.

3)儲(chǔ)蓄還本部分.采用最后生存者狀態(tài)下的即刻給付終身壽險(xiǎn)模型，即從保單生效之日起若夫妻雙方均死亡，則壽險(xiǎn)公司應(yīng)向投保人的委托人(例如子女)退還所繳保費(fèi)的C倍，其中C為正常數(shù).

1.2　利率的隨機(jī)化

為更好地刻畫利率的隨機(jī)性，本文采用利用原點(diǎn)反射Brownian運(yùn)動(dòng)過(guò)程和Poisson過(guò)程建立的利息力累計(jì)函數(shù)模型[12]，即

(1)

證明由g(t)的定義可知:

g(t)=E(exp{-y(t)});

(2)

(3)

由式(2)有

(4)

由式(3)有

(5)

再由式(1)、(4)和(5)有

g(t)=E(exp{-y(t)})=e-δ tE|Bt|(e-δ|Bt|)EZt(e-γZt)=

1.3　預(yù)備定理及其證明

Γk=S(k+1)-S(k)，

(6)

證明由Γk和S(x)的定義可知：

(7)

(8)

其中第1個(gè)積分項(xiàng)為

(9)

類似地可得到第2個(gè)積分項(xiàng)為

(10)

根據(jù)M和N的定義，式(10)中的第2個(gè)積分項(xiàng)可改寫成

把上式結(jié)果代入到式(10)，可得

把上式結(jié)果和式(9)代入到式(8)可得

把此結(jié)果代入到式(7)，便可得到式(6).證畢.

證明類似于定理1的證明過(guò)程，經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)姆e分區(qū)域分割和積分次序交換后，即可得到結(jié)論，由于篇幅所限，故省略證明過(guò)程.

2年均衡保費(fèi)的計(jì)算公式

2.1　保單各部分精算現(xiàn)值的計(jì)算公式

根據(jù)保單責(zé)任分別計(jì)算保單部分的價(jià)值：

1)由于壽險(xiǎn)部分的現(xiàn)值Wl可表示為

(11)

因此其精算現(xiàn)值為

(12)

2)由于年金部分的現(xiàn)值Wa可表示為

(13)

因此其精算現(xiàn)值為

(14)

3)由于儲(chǔ)蓄還本部分的現(xiàn)值Ws可表示為

(15)

因此其精算現(xiàn)值為

(16)

2.2　年均衡保費(fèi)的計(jì)算公式

綜合各部分現(xiàn)值的計(jì)算結(jié)果可知，壽險(xiǎn)公司所要支付的保險(xiǎn)金的精算現(xiàn)值為

(17)

而投保人所交躉繳凈保費(fèi)的現(xiàn)值Wp可表示為

(18)

因此投保人所交凈保費(fèi)的精算現(xiàn)值為

(19)

根據(jù)平衡準(zhǔn)則可知E(Wl)+E(Wa)+E(Ws)=E(Wp)， 解得這類保險(xiǎn)的年均衡保費(fèi)的一般計(jì)算公式為

(20)

而在UDD假設(shè)下，有:

2(qx+qy)Γk-4qxqyΩk,

(21)

若生命表中的極限年齡已確定，則當(dāng)k→∞時(shí)，上式中的各項(xiàng)都各自收斂于某一個(gè)確定的常數(shù);因此，此式可以通過(guò)查表或簡(jiǎn)單的算數(shù)運(yùn)算就可以得到誤差極小的值，其中誤差來(lái)自Ωk的計(jì)算.

3實(shí)例分析

假若一對(duì)夫妻在年齡分別為x=25歲和y=23歲時(shí)投n=25年期的本文所述的保險(xiǎn)產(chǎn)品，假設(shè)人類極限年齡為M=105歲，國(guó)家法定的退休年齡為R=65歲，本試驗(yàn)中累積利息力采用式(1)，其中δ=0.02, σ=0.03, γ=0.05，泊松過(guò)程Zt的強(qiáng)度λ=0.1.在這類參數(shù)假設(shè)下，平均利率大致為-ln(g(1))=4.87%.同時(shí)，保險(xiǎn)的各個(gè)參數(shù)分別為： A=100 000， B=2 000×12=24 000， C=1， α=0.05， β=0.01, n=25， 則h=R-max(x,y).根據(jù)中國(guó)人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表(CLM03 &CLF03)可知: qx=0.660×10-3, qy=0.285×10-3.

若假定這對(duì)夫妻的分?jǐn)?shù)年齡滿足死亡均勻分布的假設(shè)(UDD)，則根據(jù)式(21)計(jì)算得到的年均衡保費(fèi)為13 276.998.為了比較投保人和壽險(xiǎn)公司的所得，假設(shè)T(x)=(1,2,…,M-x), T(y)=(1,2,…,M-y)， 此時(shí)，在各個(gè)年齡組合上本文所述保險(xiǎn)產(chǎn)品的壽險(xiǎn)部分、年金部分以及還本部分的折現(xiàn)價(jià)值如表1—表3所示.所以3個(gè)部分的和即為這對(duì)夫妻所得到的資金，其在各年齡組合上的折現(xiàn)現(xiàn)值如表4所示.

表1　壽險(xiǎn)部分的折現(xiàn)價(jià)值

表2　年金部分的折現(xiàn)價(jià)值

表3　還本部分的折現(xiàn)價(jià)值

表4　夫妻所得資金的折現(xiàn)價(jià)值

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A home-based combined insurance stochastic model under random interest rates

LIU Wenbin,JIN Yan,JIANG Jinxi*

(DepartmentofMathematics,CollegeofScience,YanbianUniversity,Yanji133002,China)

Abstract：In this paper, first of all, the randomness of the interest force in insurance business is described by both reflex-origin Brownian motion and Poisson process. Secondly, on this basis, we establish a class of adjustable insurance amount home-based combined insurance double stochastic model by whole life insurance, pension insurance and savings payback part, and a general formula of yearly balanced insurance premiums in this type of insurance and a relatively simple formula of yearly balanced insurance premiums with uniform distribution death (UDD) hypothesis are given. Finally, the rationality and practicality for the conclusions are verified by some examples of the analysis process. Type of this insurance model is consistent with the actual situation, and it has important theoretical and practical value for insurance company to charge a reasonable premium, pay insurance and avoid the manage risk.

Key words：stochastic interest rate; interest force function; combined insurance double stochastic model; years balanced premium

文章編號(hào)：1004-4353(2015)04-0285-07

*通信作者：姜今錫(1959—)，男，博士，教授，研究方向?yàn)楦怕式y(tǒng)計(jì)、最優(yōu)化理論.

收稿日期：2015-10-26