郝　樂, 景　云

(1. 沈陽(yáng)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院, 遼寧 沈陽(yáng)　110044; 2. 遼寧大學(xué) 化學(xué)院, 遼寧 沈陽(yáng)　110036)

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線性關(guān)聯(lián)分析的方法及應(yīng)用——以城鎮(zhèn)居民人均各項(xiàng)支出與工資收入之間的關(guān)聯(lián)分析為例

郝樂1, 景云2

(1. 沈陽(yáng)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院, 遼寧 沈陽(yáng)110044; 2. 遼寧大學(xué) 化學(xué)院, 遼寧 沈陽(yáng)110036)

摘要:給出了具有定向相關(guān)性質(zhì)的數(shù)據(jù)樣本之間的關(guān)聯(lián)分析方法,并依此分析了城鎮(zhèn)居民人均各項(xiàng)支出與工資收入之間的關(guān)聯(lián)程度,二者成正相關(guān).

關(guān)鍵詞:城鎮(zhèn)居民; 人均各項(xiàng)支出; 工資收入; 線性; 關(guān)聯(lián); 關(guān)聯(lián)度

任何事物都不是孤立的,幾乎所有的事物之間都存在著不同類型、不同程度的關(guān)聯(lián).在處理問題的時(shí)候,為抓住問題的主要矛盾和主要特征,往往需要分析各種事物之間的關(guān)聯(lián)類型和關(guān)聯(lián)程度.然而,事物之間的關(guān)聯(lián)往往是模糊的[1]、不確定的,很難確定哪些事物之間的關(guān)聯(lián)密切,而哪些事物之間的關(guān)聯(lián)不密切.

從嚴(yán)格的意義上講,兩個(gè)事物之間是否有關(guān)聯(lián),應(yīng)該通過反映這兩個(gè)事物的數(shù)量特征之間的關(guān)系來(lái)研究.

定義1設(shè)有變量X和變量Y,若Y=f(X),則稱變量Y與變量X按關(guān)系f相關(guān)聯(lián).

但是,按定義1來(lái)研究?jī)蓚€(gè)事物之間的關(guān)聯(lián)未免有些太理想化了,也是很難做到的,因?yàn)榇蠖鄶?shù)事物之間的關(guān)聯(lián)都是不確定的. 相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系既有聯(lián)系又有區(qū)別,相關(guān)關(guān)系比函數(shù)關(guān)系包含的范圍更廣泛,通常情況下,應(yīng)該用實(shí)際發(fā)生的數(shù)據(jù)樣本進(jìn)行分析.

設(shè)反映兩個(gè)事物的數(shù)據(jù)樣本為

(1)

(2)

它們是通過相等的時(shí)間間隔觀測(cè)得到的,即對(duì)k=2,3,…,n-1,有tk+1-tk=tk-tk-1.

嚴(yán)格地講,Xi(t)與Xj(t)兩組數(shù)據(jù)之間按關(guān)系f的關(guān)聯(lián)程度可以定義為

(3)

式中:Rij是介于0和1之間的數(shù),Rij越接近1,說明Xi(t)與Xj(t)的關(guān)聯(lián)程度越高,即Xi(t)與Xj(t)的關(guān)系越密切;而Rij越接近0,說明Xi(t)與Xj(t)的關(guān)聯(lián)程度越低,即Xi(t)與Xj(t)的關(guān)系越疏遠(yuǎn).

不難看出,Rij不僅依賴于數(shù)據(jù)樣本(1)和(2),而且與f的選擇有關(guān).但問題的關(guān)鍵在于f是未知的,事先并不知道Xi(t)與Xj(t)究竟按怎樣的關(guān)系f關(guān)聯(lián);在種類繁多的f中,選擇什么樣的f對(duì)問題的研究更有意義？不同的f對(duì)應(yīng)的Rij是不同的.

傳統(tǒng)的關(guān)聯(lián)分析的方法是依賴于數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論得到的[2].

對(duì)于觀測(cè)到的數(shù)據(jù)樣本(1)和(2),Xi(t)與Xj(t)之間的線性關(guān)聯(lián)系數(shù)定義為

傳統(tǒng)的方法為關(guān)聯(lián)分析提供了有力的支撐,但由于它是在統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)上得到的,當(dāng)然會(huì)顯得不十分嚴(yán)謹(jǐn),下面舉例指出統(tǒng)計(jì)意義下關(guān)聯(lián)分析方法的誤差:

通過觀察不難發(fā)現(xiàn),X1(t)、X2(t)、X3(t)與X0(t)具有相同的方向相關(guān),即前4個(gè)節(jié)點(diǎn)都是負(fù)相關(guān);而去掉中間3個(gè)點(diǎn)直接到第5點(diǎn)又都是正相關(guān).但r01的分子為5×65-15×21=325-315=10>0,r02的分子為5×60-15×20=300-300=0,r03的分子為5×57.5-15×19.5=287.5-292.5=-5<0,即與通過統(tǒng)計(jì)意義下的關(guān)聯(lián)分析方法計(jì)算的結(jié)果是矛盾的.

以下給出具有定向相關(guān)性質(zhì)的數(shù)據(jù)樣本之間的關(guān)聯(lián)分析方法.

設(shè)反映兩個(gè)事物的數(shù)據(jù)樣本(1)及(2)是通過相等的時(shí)間間隔觀測(cè)得到的.即對(duì)于k=2,3,…,n-1,有tk+1-tk=tk-tk-1.首先進(jìn)行如下定義:

若[xi(tk+1)-xi(tk)][xj(tk+1)-xj(tk)]>0(k=1,2,3,…,n-1),則稱Xi(t)與Xj(t)正相關(guān);

若[xi(tk+1)-xi(tk)][xj(tk+1)-xj(tk)]<0(k=1,2,3,…,n-1),則稱Xi(t)與Xj(t)負(fù)相關(guān).

正相關(guān)和負(fù)相關(guān)可統(tǒng)稱為定向相關(guān).

盡管應(yīng)用這種定義檢驗(yàn)方向相關(guān)的計(jì)算量較大,但卻是很嚴(yán)格的,避免了統(tǒng)計(jì)意義下的檢驗(yàn)所造成的誤差. 其實(shí),用直觀的方法檢驗(yàn)方向相關(guān)性也是可行的,而且是很方便的.

對(duì)于數(shù)據(jù)樣本(1)和(2),假定xi(t1)≠xi(t2),xj(t1)≠xj(t2),定義:

(4)

(5)

分別稱為數(shù)據(jù)組Xi(t)和Xj(t)在tk時(shí)刻的線性變化率[3].

這里規(guī)定:如果分母xi(tk)-xi(tk-1)=0(或xj(tk)-xj(tk-1)=0),那么去掉對(duì)應(yīng)時(shí)刻的這兩項(xiàng),用xi(tk-1)-xi(tk-2) (或xj(tk-1)-xj(tk-2))來(lái)替換……直至分母不為0.顯然,當(dāng)xi(tk+1)=xi(tk)=xi(tk-1)時(shí),Xi(t)在tk時(shí)刻呈線性水平狀態(tài).當(dāng)ωi(tk)=1時(shí),Xi(t)在tk時(shí)刻呈線性遞增或線性遞減狀態(tài);當(dāng)ωi(tk)>1時(shí),Xi(t)在tk時(shí)刻呈加速遞增或加速遞減狀態(tài);當(dāng)0<ωi(tk)<1時(shí),Xi(t)在tk時(shí)刻呈減速遞增或減速遞減狀態(tài).

ωi(tk)與ωj(tk)越接近,Xi(t)與Xj(t)在tk時(shí)刻的線性關(guān)聯(lián)程度就越高.因此,對(duì)于數(shù)據(jù)樣本(1)和(2),定義:

(6)

稱為Xi(t)與Xj(t)在tk時(shí)刻的線性關(guān)聯(lián)系數(shù).式中,若Xi(t)與Xj(t)正相關(guān),則取“-”號(hào);若Xi(t)與Xj(t)負(fù)相關(guān),則取“+”號(hào).

定義2

(7)

稱為Xi(t)與Xj(t)的線性關(guān)聯(lián)度.

關(guān)于定義2的合理性,可以如下證明.

事實(shí)上,若Rij=1,則對(duì)于任意的k=2,3,…,n-1,必有ξij(tk)=1. 即對(duì)于任意的k=2,3,…,n-1,假設(shè)Xi(t)與Xj(t)正相關(guān),應(yīng)有

于是有

整理得

所以

這表明,點(diǎn)列

(8)

在一條非水平直線上,即Xj(t)與Xi(t)線性關(guān)聯(lián).

反之,如果Xj(t)與Xi(t)線性關(guān)聯(lián),則對(duì)于任意的k=1,2,3,…,n,均有

于是,對(duì)于任意的k=2,3,…,n-1,均有

所以,對(duì)于任意的k=2,3,…,n-1,有ξij(tk)=1,于是Rij=1.

特別地,如果點(diǎn)列

(9)

在一條直線上,點(diǎn)列

(10)

也在一條直線上,那么,點(diǎn)列(8)一定在一條直線上.

事實(shí)上,設(shè)點(diǎn)列(9)在直線y=a1x+b1上,點(diǎn)列(10)在直線y=a2x+b2上,即對(duì)于任意的k=1,2,3,…,n,均有

xi(tk)=a1tk+b1,xj(tk)=a2tk+b2.

由上述論證可以說明:若a1≠0且a2≠0 或a1=0且a2=0,即點(diǎn)列(9)與點(diǎn)列(10)都不在水平線上或都在水平線上(都不變),則Xj(t)與Xi(t)線性關(guān)聯(lián);若a1=0但a2≠0或a1≠0但a2=0,即點(diǎn)列(9)與點(diǎn)列(10)其中一個(gè)在水平線上而另一個(gè)不在水平線上(一個(gè)變,但另一個(gè)不變),則可以理解為Xj(t)與Xi(t)非線性關(guān)聯(lián).

線性關(guān)聯(lián)分析法還可以采用下面的形式:

對(duì)于數(shù)據(jù)樣本(1)和(2),應(yīng)用最小二乘法擬合點(diǎn)列(8),設(shè)得到的近似關(guān)系為xj(tk)≈axi(tk)+b,則定義

(11)

稱為Xi(t)與Xj(t)的線性關(guān)聯(lián)度.

很顯然,這樣的定義也是合理的.

需要說明的是,以上分析是在假設(shè)沒有第三因素干擾的前提下進(jìn)行的,但實(shí)際上并不完全這樣,要比理論上的分析復(fù)雜得多,n個(gè)因素在相互作用、相互制約,其中任何一個(gè)因素可能受到其他n-1個(gè)因素的綜合作用,這是個(gè)多元數(shù)關(guān)系的問題.

例根據(jù)文獻(xiàn)[4]提供的城鎮(zhèn)居民人均工資性總收入及各項(xiàng)支出數(shù)據(jù)(見表1),分析城鎮(zhèn)居民人均工資性總收入與各種支出的相關(guān)度.

不難發(fā)現(xiàn),表1中7個(gè)支出數(shù)據(jù)樣本與工資性總收入數(shù)據(jù)樣本均呈正相關(guān). 下面分別用線性關(guān)聯(lián)分析法分析人均工資性總收入與各種支出的相關(guān)度.

表1　城鎮(zhèn)居民人均工資性總收入及各項(xiàng)支出數(shù)據(jù)

應(yīng)用式(4)計(jì)算城鎮(zhèn)居民人均工資性總收入及各種支出在不同時(shí)刻的線性變化率(見表2).

應(yīng)用式(6)計(jì)算城鎮(zhèn)居民人均工資性總收入與各種支出之間在不同時(shí)刻的線性關(guān)聯(lián)系數(shù)(見表3).

應(yīng)用式(7)計(jì)算城鎮(zhèn)居民人均工資性總收入與各種支出之間的線性關(guān)聯(lián)度(見表4).

表2　城鎮(zhèn)居民人均工資性總收入及各種支出在不同時(shí)刻的線性變化率

表3　城鎮(zhèn)居民人均工資性總收入與各種支出之間在不同時(shí)刻的線性關(guān)聯(lián)系數(shù)

表4　城鎮(zhèn)居民人均工資性總收入與各種支出之間的線性關(guān)聯(lián)度

不難發(fā)現(xiàn):R04>R02>R07>R06>R03>R01>R05.即城鎮(zhèn)居民人均各項(xiàng)支出與工資性總收入的關(guān)系的密切程度的排序是:設(shè)備及用品消費(fèi)支出與工資性總收入的關(guān)系最密切;衣著消費(fèi)支出與工資性總收入的關(guān)系次之;文教娛樂服務(wù)消費(fèi)支出與工資性總收入的關(guān)系再次之;以下分別是交通和通信消費(fèi)支出、居住消費(fèi)支出、食品消費(fèi)支出、醫(yī)療保健消費(fèi)支出.

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【責(zé)任編輯: 李艷】

(National Bureau of Statistics of the People’s Republic of China[OL]. http:∥www.stats.gov.cn/workspace/index?m=hgnd.)

Linear Correlation Analysis Method and its Application

----Taking Relationship between Urban Residents Per Capita Expenditures and Income Analysis as an Example

HaoLe1,JingYun2

(1. School of Economy, Shenyang University, Shenyang 110044, China; 2. College of Chemistry, Liaoning University, Shenyang 110036, China)

Abstract:A correlation analysis method between data samples with property of directional correlation are presented. The relational degree of the relationship between urban residents per capita expenditures and income is analyzed, there is a positive correlation between the two.

Key words:urban resident; per capita expenditures; income; linear; relevance; relational degree

收稿日期:2014-08-17

中圖分類號(hào):O 159

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

作者簡(jiǎn)介:郝樂(1984-),女,遼寧沈陽(yáng)人,沈陽(yáng)大學(xué)講師,碩士.

基金項(xiàng)目:遼寧省社會(huì)科學(xué)基金資助項(xiàng)目(L13CJY052).

文章編號(hào):2095-5456(2015)01-0083-04