中山大學(xué)公共衛(wèi)生學(xué)院醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)與流行病學(xué)系（510080） 何賢英 趙 志 溫興煊 公為潔 黃 波 張晉昕

logistic回歸中連續(xù)型自變量離散化為二分類變量時(shí)適宜分界點(diǎn)的確定*

中山大學(xué)公共衛(wèi)生學(xué)院醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)與流行病學(xué)系（510080） 何賢英 趙 志 溫興煊 公為潔 黃 波 張晉昕△

目的提出logistic回歸中連續(xù)型自變量離散化為二分類變量時(shí)的雙界點(diǎn)OR值最大化分類法（簡(jiǎn)稱雙界點(diǎn)OR值最大法），通過(guò)模擬研究評(píng)價(jià)該法與其他離散化方法的模型擬合效果，并用實(shí)例數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證。方法應(yīng)用R軟件中的“SmeiPar”包對(duì)連續(xù)型自變量與logitπ間是否呈單調(diào)變化性進(jìn)行判定；對(duì)不滿足單調(diào)變化關(guān)系的自變量，采用連續(xù)型變量法（或稱原始取值法）、中位數(shù)法、單界點(diǎn)P值最小法、雙界點(diǎn)OR值最大法對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行處理后，分別擬合logistic回歸模型；從擬合優(yōu)度、變異的解釋程度方面評(píng)價(jià)模型擬合效果。結(jié)果模擬數(shù)據(jù)和實(shí)例數(shù)據(jù)分析結(jié)果均可見(jiàn)，雙界點(diǎn)OR值最大法相對(duì)于單界點(diǎn)P值最小法能夠更合理地反映影響因素和結(jié)局的關(guān)聯(lián)，并且與連續(xù)型變量法和中位數(shù)分類法相比其模型擬合優(yōu)度、變異的解釋程度效果更好。結(jié)論在擬合logistic回歸模型時(shí)，若連續(xù)型自變量與logitπ之間呈非單調(diào)變化關(guān)系時(shí)，建議使用雙界點(diǎn)OR值最大法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行離散化。

logistic回歸模型 連續(xù)型自變量分界點(diǎn)OR值

logistic回歸模型適用于分類的反應(yīng)變量與多個(gè)影響因素之間關(guān)系的研究，在醫(yī)學(xué)研究中有著相當(dāng)廣泛的應(yīng)用［1］。擬合logistic回歸模型時(shí)，要求連續(xù)型自變量與logitπ之間符合線性關(guān)系［2］。如果兩者之間的關(guān)系是非線性的，參數(shù)估計(jì)將發(fā)生偏差，從而導(dǎo)致研究結(jié)論不可靠。而在實(shí)際應(yīng)用中，兩者線性關(guān)系的判定是一個(gè)經(jīng)常被研究者忽視的問(wèn)題［3］。本文對(duì)判定連續(xù)型自變量與logitπ之間是否滿足線性關(guān)系的方法給予簡(jiǎn)單介紹，并就在連續(xù)型自變量和logitπ為非單調(diào)變化關(guān)系時(shí)，如何尋找適宜的分界點(diǎn)將連續(xù)型自變量轉(zhuǎn)化為二分類變量進(jìn)行了探討。

原理與步驟

1.logistic回歸模型

設(shè)某事件在影響因素x1，x2，…，xm的作用下發(fā)生的概率為π，不發(fā)生的概率為1-π，則由式（1）所定義的模型為logistic回歸模型：

其中β0為截距，β1，β2，…，βm為回歸系數(shù)。事件發(fā)生的概率π和未發(fā)生的概率1-π之比為優(yōu)勢(shì)比（odds ratio，OR），logitπ為OR的自然對(duì)數(shù)：

2.連續(xù)型自變量與logitπ線性關(guān)系的判斷

國(guó)內(nèi)研究者陳長(zhǎng)生、徐勇勇等于2001年通過(guò)模擬實(shí)驗(yàn)，說(shuō)明半?yún)?shù)回歸模型較傳統(tǒng)的線性模型有更好的適應(yīng)性［4］，Wand等于2003年對(duì)半?yún)?shù)回歸模型進(jìn)行了系統(tǒng)描述［5］，并編制R軟件中的“SemiPar”包用于半?yún)?shù)回歸模型分析［6］。SmeiPar包中的半?yún)?shù)回歸模型是一種使用了2m-1次樣條平滑的混合模型，其一般表達(dá)式為［6］：

本研究采用半?yún)?shù)回歸模型對(duì)自變量與logitπ間的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行判斷，根據(jù)自由度是否大于2［7］，判定自變量與logitπ之間是否滿足單調(diào)變化性。

3.連續(xù)型自變量參與擬合logistic回歸模型時(shí)的4種預(yù)處理方法

當(dāng)連續(xù)型自變量和logitπ為非單調(diào)變化關(guān)系時(shí)，分別采用目前常用的3種處理方法及本文提出的雙界點(diǎn)OR值最大法對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，進(jìn)而擬合logistic回歸模型。

（1）連續(xù)型變量法［8］，也稱原始變量法，即對(duì)連續(xù)型自變量不進(jìn)行任何處理直接納入回歸模型分析。

（2）中位數(shù)法［9］，以原始數(shù)據(jù)所得中位數(shù)為分界點(diǎn)，將連續(xù)型自變量轉(zhuǎn)化為二分類變量納入回歸模型分析。

（3）單界點(diǎn)P值最小法［10］，該方法以自變量的每一個(gè)取值作為潛在分界點(diǎn)，將原始數(shù)據(jù)一分為二，再擬合回歸模型。通過(guò)分析比較，選擇使P值達(dá)到最小的自變量取值為分界點(diǎn)，將連續(xù)型自變量轉(zhuǎn)化為二分類變量納入回歸模型分析。

（4）雙界點(diǎn)OR值最大法，首先，繪制自變量與logitπ之間的曲線關(guān)系，如圖1（a）和2（a）所示。其次，在形如圖1（a）和2（a）的“l(fā)ogitπvs自變量取值”的二維圖中從logitπ的最大值點(diǎn)出發(fā)，用平行于x軸的直線橫切曲線并向下平移。每次橫切得到兩個(gè)交點(diǎn)，直線上方的曲線覆蓋的自變量范圍對(duì)應(yīng)于高風(fēng)險(xiǎn)段，直線下方的曲線覆蓋的自變量范圍對(duì)應(yīng)于低風(fēng)險(xiǎn)段。然后，按照高、低風(fēng)險(xiǎn)對(duì)應(yīng)的自變量范圍將其重新賦值為二分類變量，再進(jìn)行l(wèi)ogistic回歸分析，得到OR值。最后，比較每次平移處得到的OR值，從中選擇使OR值達(dá)到最大值時(shí)兩個(gè)交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的自變量取值作為最終的分界點(diǎn)。

4.模型效果的評(píng)價(jià)

模型效果的評(píng)價(jià)主要考慮模型的擬合優(yōu)度和變異的解釋程度。其中擬合效果的評(píng)價(jià)采用最小信息準(zhǔn)則，即AIC準(zhǔn)則（Akaike information criterion）、-2 Log likelihood；變異的解釋程度采用NagelkerkeR2系數(shù)進(jìn)行評(píng)價(jià)。

模擬研究及實(shí)例分析結(jié)果

1.模擬數(shù)據(jù)及實(shí)例數(shù)據(jù)來(lái)源

在R i386 3.0.3環(huán)境下產(chǎn)生包含連續(xù)型自變量X和因變量Y的模擬數(shù)據(jù)集，其中X～N（45，10），Y～B（500，0.25）。

實(shí)例數(shù)據(jù)來(lái)自一項(xiàng)有關(guān)廣州市社區(qū)居民乳腺癌防治知、信、行的現(xiàn)況研究。選取預(yù)防乳腺癌相關(guān)知識(shí)得分作為因變量，年齡作為自變量，通過(guò)實(shí)例數(shù)據(jù)比較4種方法處理數(shù)據(jù)后擬合logistic回歸模型的效果。

2.自變量和logitπ線性關(guān)系判定

圖1（a）和2（a）分別對(duì)模擬數(shù)據(jù)和實(shí)例數(shù)據(jù)采用半?yún)?shù)回歸模型擬合得到自變量和logitπ的函數(shù)關(guān)系圖，其中兩個(gè)自由度均有df＞2，說(shuō)明自變量和logitπ不滿足線性關(guān)系。進(jìn)一步通過(guò)如圖1（b）和2（b）所示一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)圖，判斷自變量和logitπ函數(shù)關(guān)系的單調(diào)變化性。設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)X0處有二階導(dǎo)數(shù)且f′＝0，f″≠0。那么當(dāng)f″＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在點(diǎn)X0處取得極大值；當(dāng)f″＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在點(diǎn)X0處取得極小值。通過(guò)一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，進(jìn)一步說(shuō)明自變量和logitπ為非單調(diào)變化關(guān)系。

圖1 半?yún)?shù)回歸模型擬合自變量和logitπ的函數(shù)關(guān)系圖及其一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)圖

3.用4種分類方法處理連續(xù)型自變量并擬合logistic回歸模型的效果

表1、表2分別為模擬數(shù)據(jù)、實(shí)例數(shù)據(jù)采用上述4種方法處理自變量后擬合logistic回歸模型的比較結(jié)果。

模擬數(shù)據(jù)分析結(jié)果顯示，連續(xù)型變量法、中位數(shù)法擬合logistic回歸模型，自變量X均無(wú)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P＝0.645和P＝0.337）；使用單界點(diǎn)P值最小法分類后的自變量有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P＝0.004、OR＝0.451）；使用雙界點(diǎn)OR值最大法分類后擬合模型自變量亦有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P＝0.024、OR＝3.322）。

實(shí)例數(shù)據(jù)分析結(jié)果顯示，采用連續(xù)型變量法和中位數(shù)法分析，年齡均無(wú)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P＝0.172和P＝0.451）；使用單界點(diǎn)P值最小法分類后的自變量有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P＝0.003、OR＝0.479），由此結(jié)果獲得的提示是35歲以上個(gè)體對(duì)乳腺癌相關(guān)知識(shí)的了解程度低于35歲以下個(gè)體。使用雙界點(diǎn)OR值最大法分類后擬合模型年齡具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P＝0.019、OR＝12.073），說(shuō)明中青年個(gè)體較低年齡和高年齡的個(gè)體對(duì)乳腺癌相關(guān)知識(shí)得分高。

模擬研究和實(shí)例分析均可見(jiàn)，對(duì)于自變量和logitπ為非單調(diào)變化關(guān)系的數(shù)據(jù)，基于OR值最大化的分類方法均能更好地捕捉到與結(jié)局有關(guān)聯(lián)關(guān)系的影響因素。與單界點(diǎn)P值最小法相比，雙界點(diǎn)OR值最大法能夠更合理地量化自變量和結(jié)局之間的聯(lián)系，且模型的擬合優(yōu)度、變異的解釋程度均比目前常用的連續(xù)型變量法和中位數(shù)分類法效果好。

表1 模擬數(shù)據(jù)擬合logistic回歸模型信息匯總表

表2 實(shí)例數(shù)據(jù)（乳腺癌知識(shí)調(diào)查）擬合logistic回歸模型信息匯總表

討論與建議

在醫(yī)學(xué)研究中連續(xù)型自變量很常見(jiàn)，如年齡、腫瘤大小等。研究者常利用這些變量，采用多因素回歸模型刻畫其與結(jié)局間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)而探索疾病的危險(xiǎn)因素、估計(jì)預(yù)后、指導(dǎo)治療等［11］。研究者從臨床應(yīng)用的角度考慮，經(jīng)常將連續(xù)型的自變量轉(zhuǎn)化為二分類變量后擬合回歸模型［10］，目前最常用的分類方法為中位數(shù)法［12］?；诓煌难芯繑?shù)據(jù)，可得到不同的中位數(shù)估計(jì)值。因此，中位數(shù)法會(huì)導(dǎo)致不同的研究有不同的分界點(diǎn)，從而使各研究結(jié)果橫向?qū)Ρ壤щy［13］。為了解決這一問(wèn)題，Lausen等提出了單界點(diǎn)P值最小法［14］，試圖利用客觀的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)去尋找分界點(diǎn)。因?yàn)檫B續(xù)型變量轉(zhuǎn)化為分類變量后，被分到同一組內(nèi)的個(gè)體均具有相同（或相近）的概率風(fēng)險(xiǎn)［15－16］，而單界點(diǎn)P值最小法會(huì)使具有相同（或相近）概率風(fēng)險(xiǎn)的個(gè)體被分到不同組，從而造成不同組進(jìn)行比較時(shí)高低風(fēng)險(xiǎn)有所抵消。

針對(duì)連續(xù)型自變量如何選擇分界點(diǎn)的問(wèn)題，為了使不同研究結(jié)果具有可比性，同時(shí)能夠兼顧不同個(gè)體發(fā)生結(jié)局事件的概率風(fēng)險(xiǎn)，本文提出雙界點(diǎn)OR值最大法，其要旨在于將OR值最大化作為尋找分界點(diǎn)的判定原則。之所以選擇OR值，是因?yàn)槠洳粌H能反映自變量和結(jié)局有無(wú)關(guān)系，而且能夠充分概括這種關(guān)系的強(qiáng)弱；當(dāng)篩選多個(gè)影響因素時(shí)，可以根據(jù)OR值的大小排序，對(duì)應(yīng)于各影響因素的風(fēng)險(xiǎn)高低，便于在制定干預(yù)措施時(shí)把握輕重緩急，做到有的放矢。對(duì)于連續(xù)型自變量和logitπ為非單調(diào)變化關(guān)系的數(shù)據(jù)類型，建議借助OR值最大化的原則，對(duì)連續(xù)型自變量進(jìn)行分類后擬合logistic回歸模型。

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（責(zé)任編輯：郭海強(qiáng)）

廣東省高等教育教學(xué)改革重點(diǎn)項(xiàng)目（2013－113－11）

△通信作者：張晉昕，E-mail：zhjinx＠m(xù)ail.sysu.edu.cn