董海燕，梁馮珍

(天津大學 理學院 數(shù)學系，天津 300072)

一類特殊多元極值Copula的性質(zhì)

董海燕，梁馮珍

(天津大學 理學院 數(shù)學系，天津 300072)

針對一類構造得到的多元極值Copula，研究它的邊界性質(zhì)及尾部相關度量，并給出尾部相關度量的解析表達式.結果表明，若對參數(shù)加以約束，則其上尾相關系數(shù)可以表示成構成它的Copula的上尾相關系數(shù)的凸和.

極值Copula；尾部相關函數(shù)；尾部相關系數(shù)

多元極值模型已經(jīng)被廣泛應用于諸多領域，比如金融、保險、環(huán)境科學、水文等，在多元極值理論研究中，多元極值Copula在多元極值建模時起著很重要的作用，它具有靈活便捷的建模優(yōu)越性.Copula的概念首先由Sklar在1959年提出，Sklar定理[1]指出，聯(lián)合概率分布函數(shù)可以分解成Copula和邊際概率分布，因此，通過構造多元極值Copula，就很容易得到多元極值分布模型，基于這個思想，許多學者在這方面已經(jīng)做了大量工作.

G·Gudendorf和J·Segers[2]通過構造Pickands相關函數(shù)得到了一些極值Copula的參數(shù)模型，并討論了其相關系數(shù)及參數(shù)估計方法；F· Durante等[3]基于一元函數(shù)構造了一系列多元Copula族，并對它的性質(zhì)進行了探究；從Copula自身出發(fā)，E·Liebscher[4]給出了兩種構造非對稱多元Copula的方法，并討論了與它們相關的性質(zhì). F·Durante和G· Salvadori[5]也介紹了幾種基于最近發(fā)展起來的理論構造多元極值Copula的方法，對其概率解釋和模擬方法都給出了較詳細的研究.

最近，R· Mesiar和V· Jágr[6]運用文獻[4]中的Copula乘積構造法，得到了一類新的極值分布的尾部相關函數(shù)和Pickands相關函數(shù)，但對新構造的極值Copula的性質(zhì)并沒有過多討論，本文擬將研究這種新的極值Copula的性質(zhì).

1 基本原理

1.1 尾部相關度量

在多元極值分析領域，尾部相關系數(shù)主要用來度量隨機變量的尾部相關性，它是一個非常重要的概念.下面給出二元Copula尾部相關系數(shù)的定義[7].

定義1 如果一個二元CopulaC使得極限

在實際應用中，有時還需要刻畫多個隨機變量的尾部相關性，Copula尾部相關系數(shù)的多元形式由文獻[8]給出.

定義2 設X=(X1,…,Xd)是邊際分布分別為F1,…,Fd的d-維隨機變量，其聯(lián)合分布和Copula 分別為F和C.

1)如果對某些非空子集L?{1,…,d}，極限

2)如果對某些非空子集L?{1,…,d}，極限

1.2 極值Copula構造

E·Liebscher[4]提出了兩種構造Copula的方法，這里主要關注第一種方法，即用Copula的乘積構造新的Copula.基本原理如下：

也是一個Copula.

(1)

是一個Copula，顯然，如果C1,…,Ck是極值Copula，那么由極值Copula的最大穩(wěn)定性，易驗證C0也是一個極值Copula.

尾部相關函數(shù)[2]是與極值Copula相關的重要概念，R·Mesiar和V·Jágr[6]給出了極值Copula尾部相關函數(shù)的構造方法，這也是極值CopulaC0的尾部相關函數(shù)的表示方法.用Ld表示所有d-維極值Copula尾部相關函數(shù)的集合.

2 主要結果

在討論之前，首先引入兩個符號，用Π表示乘積Copula，即Π(u1,…,ud)=u1…ud；用C+表示最大Copula，即C+(u1,…,ud)=min{u1,…,ud}.下面給出在一定條件下，極值CopulaC0的一個邊界性質(zhì).

2.1 邊界性質(zhì)

定理1 給定k=2，當C1=Π時，CopulaC0的邊界為：

當C1=C+時，CopulaC0的邊界為：

證明：對任意CopulaC，下列不等式成立：

u1…ud≤C(u1,…,ud)≤min{u1,…,ud}，

證明完畢.

當d=2時，第一種情況的上界和第二種情況的下界都屬于Mashall-Olikin族，H.Li[9]對這類Copula的尾部相關性進行了更詳細的討論.Jan-Frederik Mai和Matthias Scherer[10]對第二種情況下的上界作了深入的研究，給出了BC2族的概念及更多的性質(zhì).

其中:xi=-ln(ui),i=1,…,d.因此，C*所對應的極值Copula的尾部相關函數(shù)為：

由尾部相關函數(shù)lj的齊次性及極值Copula與其相關函數(shù)的關系可得，C*所屬的吸引場為極值CopulaC0：

2.2 上尾相關度量

本文只考慮極值分布的上象限尾部相關[2].中給出了二元極值Copula的上尾相關系數(shù)，如下：

譯文：因為維諾娜的至尊十字架到哈德良長城與到懷特島距離相等，所以羅馬人把該處視為英國的中心。（先因后果）

引理3 設C是二元極值Copula，其尾部相關函數(shù)和Pickands相關函數(shù)分別為l和A，那么CopulaC的上尾相關系數(shù)為：.

λU=2-l(1,1)=2-2A(1/2)

二元極值Copula的上尾相關系數(shù)已經(jīng)被廣泛應用，但其更高維(維數(shù)大于2)的尾部相關系數(shù)還沒有被詳細討論過，下面推導出其多元形式.

定理3 對任意d-維極值CopulaC，設其尾部相關函數(shù)為l，則C的上象限尾部相關系數(shù)為：

其中φ≠L?{1,…,d} ,集合L的基數(shù)L=m，且是滿足1≤m

證明：對任一d-維極值CopulaC，由定義2可得

則有

以及洛比達法則，有

因此，C的上象限尾部相關系數(shù)為：

根據(jù)以上定理，我們可以很容易地得到多元極值CopulaC0的上象限尾部相關系數(shù).

推論1 對極值CopulaC0，當非空集合I?{1,…,d}，|I|=2時，C0的二維邊際CopulaCI的尾部相關系數(shù)為：

推論2 對極值CopulaC0，當非空集合I?{1,…,d}，|I|>2時， CopulaC0的上象限尾部相關函數(shù)為：

證明：當非空集合I?{1,…,d},|I|>2時，由定理3可得，

如果對?i∈{1,…,d}，有αji=αj，j=1,…,k,那么

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Analysis on property of a class of special extreme-value Copulas

DONG Hai-yan，LIANG Feng-zhen

( Department of Mathematics, School of science, Tianjin University, Tianjin 300072, China)

According to a class of constructed multivariate extreme-values Copula, the property of its boundary and the tail dependence measure was studied. The tail dependence parameter of extreme-value copula was also given. Under the condition that some parameters were confined, it showed that the upper tail dependence parameter of the constructed extreme-value Copula could be expressed as the covex combination of that of basic copulas.

extreme-value Copula; tail dependence function;tail dependence measure

2012-11-19.

董海燕(1989-)，女，碩士，研究方向：極值統(tǒng)計與Copula.

O212

A

1672-0946(2015)01-0079-04