趙清鋒

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基于實驗數(shù)據(jù)的有效性分析滑動變阻器的特性

趙清鋒

(孝昌縣第一高級中學(xué),湖北 孝昌 432900)

基于方差理論，提出了物理實驗數(shù)據(jù)的有效性評估方法，給出了數(shù)據(jù)有效率的計算公式；分別討論了分壓電路與限流電路中待測電阻兩端的電壓U隨滑動變阻器調(diào)節(jié)比例l(x)之間的關(guān)系，并分析了數(shù)據(jù)的有效率與k(滑動變阻器總阻值與待測電阻的阻值之比)之間的關(guān)系，同時提出了不同電路中滑動變阻器的選擇以及選擇后的調(diào)節(jié)技巧；最后以數(shù)據(jù)的有效性為基礎(chǔ)將分壓電路和限流電路進行比較分析.

滑動變阻器；分壓電路；限流電路；方差

1 引 言

分壓電路與限流電路是電路理論的基礎(chǔ)，也是電學(xué)實驗的重點，對于分壓電路與限流電路中滑動變阻器的特性在文獻[1-4]中已有討論，但是定量的標準以及調(diào)節(jié)的技巧目前尚未有專門的分析. 基于此，本文從數(shù)據(jù)的有效性角度出發(fā)，以方差理論為基礎(chǔ)提出了物理實驗數(shù)據(jù)的有效性評估方法；然后分別討論了電學(xué)實驗中比較重要的分壓電路與限流電路中待測電阻兩端的電壓U隨滑動變阻器調(diào)節(jié)比例l(x)之間的關(guān)系，分析了數(shù)據(jù)的有效性與k(滑動變阻器總阻值與待測電阻的阻值之比)之間的關(guān)系，并借助Matlab繪圖加以形象描述，同時提出了不同電路中滑動變阻器的選擇以及選擇后的調(diào)節(jié)技巧；最后結(jié)合數(shù)據(jù)的有效率將分壓電路和限流電路進行比較分析.

2 實驗數(shù)據(jù)的有效性評估

在電學(xué)實驗中，實驗數(shù)據(jù)的有效性至關(guān)重要，有效性如果較低會導(dǎo)致誤差的增加. 文中以方差理論為基礎(chǔ)，提出了數(shù)據(jù)有效性的評估方法.

隨機變量X的方差表達了X的取值與其數(shù)學(xué)期望的偏離程度，根據(jù)定義，對于離散型隨機變量有[5]：

D(X)=∑∞k=1[xk-E(X)]2pk，

其中P{X=xk}=pk，k=1,2,…是X的分布律. 因此，方差D(X)是刻畫X取值分散程度的一個量，它是衡量X取值分散程度的一個尺度.

而在物理實驗中，通常需要得到均勻分布的數(shù)據(jù)(或指定位置的數(shù)據(jù))，但是由于實驗器材的影響，得到的數(shù)據(jù)并不均勻(或偏離指定位置)，由此就會出現(xiàn)數(shù)據(jù)的有效性問題，基于此本文結(jié)合方差的概念，類比給出數(shù)據(jù)有效性的評估方法. 首先給出數(shù)據(jù)的不均勻程度：

D(X)=∑N-1k=1|xk-Xk|pk,

其中pk指實驗數(shù)據(jù)xk的分布律，Xk指第k個實驗數(shù)據(jù)的理想位置，xk指第k個實驗數(shù)據(jù)的實際位置，N為數(shù)據(jù)的組數(shù)，XN-X1為數(shù)據(jù)的范圍.D(X)反映了實驗數(shù)據(jù)的均勻程度，D(X)越小表明所取的數(shù)據(jù)分布越均勻. 應(yīng)該注意的是此處D(X)與方差中的概念有所不同，此處用絕對值反映其偏離程度.

進而給出實驗數(shù)據(jù)有效性的評估函數(shù)(數(shù)據(jù)有效率)為

A(X)=1-D(X)(xN-x1)∑N-1k=1pk×100%.

(1)

按照式(1)計算，數(shù)據(jù)的有效率越大表明實驗數(shù)據(jù)越理想，且有效率可以取0到100%之間的任意值，以方便定量分析.

3 分壓電路中滑動變阻器的特性

設(shè)滑動變阻器的最大阻值為R0，且總長度為l，設(shè)接入ap段的長度為x，則滑動變阻器ap段的電阻為xlR0，pb段的阻值為l-xlR0，ap段的電阻與待測電阻Rx并聯(lián)，再與pb段的電阻串聯(lián)，電源的電動勢為E，忽略其內(nèi)阻，如圖1所示.ap段與Rx并聯(lián)部分的電壓為

U=xlRxl2Rx+xlR0-x2R0E.

(2)

令k=R0Rx，l(x)=xl[l(x)∈(0,1)]，將(2)式分子分母同時除以Rxl2，化簡如下：

U=l(x)1+kl(x)-kl(x)2E.

(3)

圖1 分壓電路圖

當(dāng)k=0.1,0.5,1,2,5,10,20,分別作出UE-l(x)圖像如圖2所示.

圖2 分壓電路中不同k值UE -l(x)圖像

從圖2中可以看出，隨著k的增加，圖線逐漸變得彎曲，離直線UE=l(x)的最遠距離也在逐漸地增加，結(jié)合(1)式，可作出數(shù)據(jù)有效率A(x)隨k的變化關(guān)系如圖3所示.

圖3 數(shù)據(jù)有效率A(x)隨k值的變化關(guān)系

從圖3中可以看出，隨著k的增加，數(shù)據(jù)有效率逐漸降低，數(shù)據(jù)的有效率A(x)與k的關(guān)系列舉如表1所示.

表1 k-A(x)關(guān)系

按照實驗中調(diào)節(jié)滑動變阻器的習(xí)慣，均勻地調(diào)節(jié)滑動變阻器然后讀取數(shù)據(jù)，按照此方法取不同的k值均勻調(diào)節(jié)10次，讀取電壓數(shù)據(jù)，用一維坐標描述如圖4所示(k與表1中的數(shù)據(jù)對應(yīng)).

圖4 不同k值情況下均勻調(diào)節(jié)10次得到電壓數(shù)據(jù)分析

從圖4中可以看出當(dāng)k較小時，均勻調(diào)節(jié)滑動變阻器所得電壓數(shù)據(jù)分布比較均勻，而當(dāng)k較大時，所測數(shù)據(jù)就比較分散，數(shù)據(jù)有效性降低，這樣必然導(dǎo)致最終作圖誤差較大，尤其是在描繪小燈泡的伏安特性曲線實驗中.

所以在采用分壓電路時應(yīng)該選擇較小的滑動變阻器，這樣所測的數(shù)據(jù)有效性才更好，若實驗中確實沒有這樣的滑動變阻器，則在調(diào)節(jié)滑動變阻器的過程中應(yīng)在l(x)=xl較大的位置調(diào)節(jié)幅度減小，這樣可以使調(diào)節(jié)過程中讀取的數(shù)據(jù)盡量均勻，從而提高數(shù)據(jù)的有效性.

4 限流電路中滑動變阻器的特性

與分壓電路相似，設(shè)滑動變阻器的最大阻值為R0，總長度為l，設(shè)bp段的長度為x，則ap段的電阻為l-xlR0，ap段的電阻與待測電阻Rx串聯(lián)，如圖5所示.

圖5 限流電路圖

待測電阻所分得的電壓為

U=lRxlRx+(l-x)R0E.

(4)

令k=R0Rx，l(x)=xl，將(4)式分子分母同時除以Rxl，化簡如下：

U=11+k-kl(x)E.

(5)

當(dāng)k=0.1,0.5,1,2,5,10,20，分別作出UE-l(x)圖像如圖6所示.

圖6 限流電路中不同k值對應(yīng)UE與l(x)之間的關(guān)系

從圖6中可以看出，k越小滑動變阻器的調(diào)節(jié)范圍越小，調(diào)節(jié)范圍UE∈11+k,1；隨著k的增加圖線逐漸變得彎曲，也就是數(shù)據(jù)的均勻程度在逐漸地減小. 因此在采用限流電路時，既要讓數(shù)據(jù)分布比較廣又要讓數(shù)據(jù)分布比較均勻是不可能的. 限流電路通常用于測量待測電阻的阻值，同等條件下比分壓電路輸出功率小，更節(jié)能.

結(jié)合本文中所給數(shù)據(jù)有效率的計算式，可作出數(shù)據(jù)有效率A(x)隨k的變化關(guān)系如圖7所示.

圖7 數(shù)據(jù)有效率A(x)隨k值的變化關(guān)系

從圖7中可以看出，隨著k的增加，數(shù)據(jù)有效率逐漸減小. 在此取不同的k值均勻調(diào)節(jié)滑動變阻器10次讀取電壓數(shù)據(jù)用一維坐標描述如圖8所示.

從圖8中可以看出當(dāng)k較小時，均勻調(diào)節(jié)滑動變阻器所得電壓數(shù)據(jù)分布比較均勻，但數(shù)據(jù)的分布范圍較?。欢?dāng)k較大時，所測數(shù)據(jù)比較廣，但分布很不均勻，數(shù)據(jù)有效率降低.

圖8 不同k值情況下均勻調(diào)節(jié)10次得到電壓數(shù)據(jù)分布

5 分壓電路與限流電路的比較

從2種方案的圖像進行分析可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)滑動變阻器與待測電阻比值k較大時，在調(diào)節(jié)滑動變阻器的過程中，分壓電路ap段的電阻Rap與待測電阻的阻值Rx比較接近，與限流電路效果相當(dāng). 在分壓電路中Rap=l(x)Rx1/k+l(x)，當(dāng)k值較大時，Rap≈Rx. 作出k=0.5,2,10,20,50情況下Rap/Rx隨l(x)的變化如圖9所示.

圖9 Rap/Rx與l(x)的關(guān)系

從圖9中可以看出，當(dāng)k=50時，當(dāng)l(x)較小時變化很快，而當(dāng)l(x)接近0.1時，Rap/Rx幾乎接近1，也就是說對于滑動變阻器其絕大多數(shù)調(diào)節(jié)區(qū)域沒有用到，或者說在調(diào)節(jié)的過程中只有很小的區(qū)域內(nèi)調(diào)節(jié)是有效的，而實驗者的習(xí)慣是均勻地調(diào)節(jié)，這樣得到的數(shù)據(jù)有效性將會很低. 當(dāng)k值較大時，分壓電路與限流電路效果相當(dāng)，取k=10畫出分壓電路與限流電路UE與l(x)的關(guān)系如圖10所示.

圖10 k=10時UE隨l(x)的變化關(guān)系

另外，從數(shù)據(jù)的有效性分析，分壓電路和限流電路數(shù)據(jù)的有效性都隨著K值的增加而減小，現(xiàn)將2種電路中數(shù)據(jù)的有效率圖像放在一起分析如圖11所示.

圖11 數(shù)據(jù)有效率A(x)隨k值的變化關(guān)系

從圖11中可以看出，按照本文給出數(shù)據(jù)有效率的定義，分壓電路數(shù)據(jù)的有效率總是比限流電路高，又由于限流電路所測數(shù)據(jù)范圍較小，因此在選擇電路時，若不考慮功率的因素，分壓電路比限流電路效果好.

6 結(jié)束語

通過分析發(fā)現(xiàn)同等條件下分壓電路數(shù)據(jù)的有效率總比限流電路的高，數(shù)據(jù)測量范圍廣，因此不考慮功率的因素選擇分壓電路更好. 數(shù)據(jù)的有效率是類比方差理論給出，目的在于衡量實驗數(shù)據(jù)的分布理想程度(本文主要用于衡量數(shù)據(jù)均勻分布程度)，設(shè)計有效率的公式可以達到到中間的任意數(shù)據(jù)，以方便定量的評估，但有效率的公式還有待進一步完善.

[1] 徐立海. 用圖像分析限流和分壓接法中滑動變阻器的選取[J]. 物理實驗,2006,26(2):27-29.

[2] 穆曉東. 制流與分壓電路實驗參數(shù)的選擇與確定[J]. 大學(xué)物理實驗,2004(1):34-36.

[3] 徐成華. 分壓電路的電壓輸出特征[J]. 物理教學(xué),2010(8):29-31.

[4] 徐榮廣. 實驗探究分壓電路中負載電阻的電壓變化[J]. 物理實驗,2013,33(3):21-23.

[5] 盛驟,謝式千,潘承毅. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M]. 北京：高等教育出版社,2008:100-101.

[責(zé)任編輯：尹冬梅]

Analyzing the characteristics of slide rheostat based on the validity of experimental data

ZHAO Qing-feng

(Xiaochang No.1 High School, Xiaochang 432900, China)

Based on error theory，an evaluation method of the validity of physics experiment data was presented, a compute formula on data validity was put forward. The relationships between the voltage on the resistor and the adjustment of the slide rheostat in bleeder circuit or current-limiting circuit were discussed; the dependence of the data validity onk(the ratio between the resistance of the resistor being tested and the total resistance of the slide rheostat) was analyzed. Some key points on the selection and adjustment of slide rheostat were suggested, and finally, bleeder circuit and current-limiting circuit were compared based on data validity.

slide rheostat; bleeder circuit; current-limiting circuit; variance

2015-01-06

趙清鋒(1988-)，男，湖北襄陽人，湖北省孝昌縣第一高級中學(xué)二級教師，學(xué)士，主要研究方向為物理實驗設(shè)計與分析.

G633.7

A

1005-4642(2015)06-0015-04