劉瑞美

1近年考查動向

從近幾年的數(shù)學高考題中可以看出，用直接法解答的試題比例不斷地增加，經(jīng)統(tǒng)計大約占70%～80%，另有20%左右的選擇題可以用畫圖、取特殊值、代入驗證、估算、特征分析、反面排除等特殊方法來巧妙解答.充分利用題干和選擇支所提供的信息作出判斷，是解答選擇題的基本策略，并且要注意以下幾點：

（1）全面審題，不但要審清題干給出的條件，還要考查4個選項所提供的信息；

（2）通過審題對可能存在的各種解法進行比較，包括其思維的難易度、運算量的大小等，初步確定解題的切入點；

（3）要對解題所用時間進行監(jiān)控，善于根據(jù)題目情況對解題方法進行調(diào)整.

從近幾年的高考數(shù)學試題來看，選擇題基本穩(wěn)定在10～12道，分值大約為50～60分左右，占總分的30%～40%，對數(shù)學知識的考查，注重學科的內(nèi)在聯(lián)系和知識的綜合性；對數(shù)學思想和方法的考查，注重與數(shù)學知識考查相結合；對數(shù)學能力的考查，注重創(chuàng)新意識，主要采用設計比較新穎的問題，構造有一定深度和廣度的數(shù)學問題來實現(xiàn).

分散“壓軸”已經(jīng)成為好多省、市接受并采納的高考數(shù)學命題策略，因此選擇題中的最后1～2道題往往難度較大.在這個位置的題目往往注重多個知識點的小型綜合，滲透多種數(shù)學思想和方法.因此，考生能否在選擇題上獲得高分，對高考成績有著舉足輕重的影響.

2典例剖析

2.1直接求解策略

這是選擇題最基本、最常用的方法.但必須注意的是：（1）切忌一拿到題目，不分條件和要求，一味埋頭演算；（2）注重等價轉化，靈活運用技巧；（3）在考試時，要優(yōu)先考慮用特殊方法求解，然后再考慮用直接法求解.

例1（江西理5題）設函數(shù)f（x）=g（x）+x2，曲線y=g（x）在點（1，g（1））處的切線方程為y=2x+1，則曲線y=f（x）在點（1，f（1））處切線的斜率為（）.

A.4B.-14C.2D-12.

分析本題的關鍵是要理解函數(shù)在某點處導數(shù)的幾何意義，正確運用導數(shù)的幾何意義進行解題.

解因為曲線y=g（x）在點（1，g（1））處的切線方程為y=2x+1，所以g′（1）=2，而f′（x）=g′（x）+2x，所以f′（1）=g′（1）+2=4，因而曲線y=f（x）在點（1，f（1））處切線的斜率為4.故選A.

點評本題主要考查函數(shù)在某點處導數(shù)的幾何意義，考查學生對復合函數(shù)知識的理解，考查學生的整體意識和等價轉化意識.解答本題的關鍵是正確理解函數(shù)在某點處導數(shù)的幾何意義.考生的難點是：不能靈活運用導數(shù)的幾何意義，從而不能正確地求導轉化.因而，在教學中要重視對數(shù)學定義的過程教學，使學生真正理解數(shù)學的本質，培養(yǎng)學生的應變能力.

例2（北京文14題）設A是整數(shù)集的一個非空子集，對于k∈A，如果k-1A，那么k是A的一個“孤立元”.給定S={1，2，3，4，5，6，7，8，}，由S的3個元素構成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有個.

分析本題主要考查考生運用集合知識解決問題的能力以及閱讀理解能力，首先應弄清楚什么是孤立元，這是解決問題的關鍵.依題意可知，孤立元必須是沒有與k相鄰的元素，因而無“孤立元”是指在集合中有與k相鄰的元素.因此，符合題意的集合是：{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}共6個.故應填6.

點評這是一道關于信息遷移的創(chuàng)新型試題，意在考查集合的運算以及對新穎題的理解能力，這類試題的難度不大，但要求考生有較強的閱讀理解能力和信息遷移能力等.解答本題的關鍵是對新定義的閱讀理解，并借助于集合來解題.學生解題的困惑源自于對新定義的閱讀理解不夠準確.主要考查閱讀與理解、信息遷移以及學生的學習潛力，考查考生分析問題和解決問題的能力.屬于創(chuàng)新題型.

2.2逆推驗證策略

適用于題干提供的信息較少或結論是一些具體數(shù)字的題型，可以從選擇支的特殊值、特殊點、特殊位置等入手，逐一驗證是否與題干要求相容.但必須注意：（1）這類問題大多能用直接法得到正確答案，但求解過程比較繁瑣；（2）用逆推驗證法解選擇題，應與排除法相結合，值得注意的是“排除法”只能否定“錯”，不能肯定“對”.

圖1例3（福建文5題）如圖1，某幾何體的正視圖與側視圖都是邊長為1的正方形，且體積為12.則該幾何體的俯視圖可以是（）.

分析1由題意可知當俯視圖是A時，即每個視圖是邊長為1的正方形，那么此幾何體是立方體，顯然體積是1，注意到題目體積是12.，知其是立方體的一半，可知選C.

分析2當俯視圖是A時，正方體的體積是1；當俯視圖是B時，該幾何體是圓柱，底面積是π4S=π×（12）2=π4，高為1，則體積是π4；當俯視是C時，該幾何是直三棱柱，故體積是V=12×1×1=12，當俯視圖是D時，該幾何是圓柱切割而成，其體積是V=14π×12×1=π4.故選C.

點評本題主要考查考生幾何體三視圖的有關知識，通過將三視圖還原成空間幾何體，考查學生的幾何直觀能力，將三視圖與體積相結合，又考查考生綜合應用知識的能力和空間想象能力.

例4（安徽理7題）若不等式組x≥0，

x+3y≥4，

3x+y≤4，所表示的平面區(qū)域被直線y=kx+43分為面積相等的兩部分，則k的值是（）.

A.73B.37C.43D.34

圖2分析由條件易知平面區(qū)域為如圖2所示△ABC，其中A（1，1），B（0，4），C（0，43），要使直線y=kx+43平分該區(qū)域，由平面幾何知識可以知道直線y=kx+43必為△ABC一邊上的中線且過點C，即當直線經(jīng)過AB中點D（12，52）時，把三角形區(qū)域分成面積相等的兩部分，將四組值分別代入驗證，只有選項A符合條件，故選A.

點評本題主要考查線性規(guī)劃、線段中點坐標，體現(xiàn)了數(shù)形結合與等價轉化的意識，學生的困惑是計算比較復雜，容易出錯，費時且速度慢，而采用逆推驗證法，根據(jù)題中數(shù)值的特殊性，確定代入順序，提高解題速度.

2.3特例驗證策略

特例驗證法適用于求不等式的解集、不等式的真假的判斷、參數(shù)的范圍、函數(shù)的解析式、數(shù)列的通項公式、前n項和公式、函數(shù)的圖像和方程的曲線、動點的軌跡、定點、定值與最值等問題.

例5（全國理11題）函數(shù)f（x）的定義域為R，若f（x+1）與f（x-1）都是奇函數(shù)，則（）.

A.f（x）是偶函數(shù)B.f（x）是奇函數(shù)

C.f（x）=f（x+2）D.f（x+3）是奇函數(shù)

分析本題是一道與抽象函數(shù)有關的函數(shù)奇偶性問題，而結論又是確定的.因而，可以取特例驗證.為此我們?nèi)√厥夂瘮?shù)f（x）=sin2πx，則f（x±1）=sin2πx都是奇函數(shù)，故排除A，C；再取f（x）=cosπ2x，則f（x±1）=sinπ2x都是奇函數(shù)，故又可排除B，故選D.

點評本題是一道關于函數(shù)奇偶性的問題，主要考查函數(shù)奇偶性概念的應用，用直接法需要有很強的推理運算能力.本題考慮到函數(shù)的特殊性，采用特例驗證法，清晰、快捷地得到正確答案.這里采用“特殊函數(shù)法”求解，運算簡便，干凈利落，直達目標，一氣呵成，顯得簡捷明快，清新自如，令人賞心悅目.一般情況下，若遇到陌生試題或難題，往往要用特殊函數(shù)、特殊位置、特殊值和特殊圖形來幫助解決，會起到事半功倍的奇效.

例6（四川理12題）已知函數(shù)f（x）是定義在實數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù)，且對任意實數(shù)x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），則f（f（52））的值是（）.

A.0B.12C.1D.52

分析本題是一道與抽象函數(shù)的函數(shù)值有關的問題.主要考查函數(shù)的奇偶性、周期性，而結論都是確定的，因而，可取特例驗證.為此我們由條件得：當x≠0，x≠-1時，f（x+1）x+1=f（x）x，不妨設f（x）x=g（x），則g（x+1）=g（x），因為f（x）是偶函數(shù)，所以g（x）為奇函數(shù)，也是周期為1的周期函數(shù)，故可構造一個特例，令g（x）=sin2πx，從而f（x）=xsin2πx（x∈R）就是符合題目條件的一個函數(shù)，從而f（f（52））=f（0）=0，故選A.

點評若采用直接求法要先求出f（0），再求出f（12），從而求出f（52）與f（f（52）），運算起來將非常麻煩，但由于該題是一道選擇題，故可構造符合題目條件的一個特例，從而快速求出答案.用特例驗證法進行探求，是解答本類選擇題的最佳策略，近幾年高考選擇題中可用或結合特例解答的約占30%.

2.4篩選策略

篩選法適用于定性型或不易直接求解的選擇題.

例7（福建文11題）若函數(shù)f（x）的零點與g（x）=4x+2x-2的零點之差的絕對值不超過0.25，則f（x）可以是（）.

A.f（x）=4x-1B.f（x）=（x-1）2

C.f（x）=ex-1D.f（x）=lnx-12

分析本題可分別求出四個選項中函數(shù)的零點，再估算出函數(shù)g（x）零點存在的范圍，結合條件確定符合條件的選項，從而得出要選的結果.由題可知：f（x）=4x-1的零點為x=14，f（x）=（x-1）2的零點為x=1，f（x）=ex-1的零點為x=0，f（x）=lnx-12的零點為x=32.現(xiàn)在我們來估算g（x）=4x+2x-2的零點，因為g（0）=-1，g（12）=1，所以g（x）的零點x∈（0，12），又函數(shù)f（x）的零點與g（x）=4x+2x-2的零點之差的絕對值不超過0.25，利用篩選法，只有f（x）=4x-1的零點適合，故選A.

點評本題單刀直入，直接考查函數(shù)零點的概念以及零點存在定理的應用，已知條件簡潔明了，但題目的背景比較新穎，當我們拿到題目時就一目了然，為考生創(chuàng)造了良好的環(huán)境，同時又給考生帶來愉快的心境.此題位居第十一小題，一改過去的在選擇題中的壓軸題的態(tài)勢，為考生正確解答后面的問題做了一個鋪墊，起到了一個承上啟下和穩(wěn)定考生情緒的作用，為考生獲取高分奠定了一個堅實的物質基礎，同時也為我們以后的教學指明了方向.

2.5數(shù)形結合策略

數(shù)形結合思想，就是充分考查數(shù)學問題的條件和結論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義又揭示其幾何意義，將數(shù)量關系和空間形式巧妙地結合起來，但必須注意的是要熟練掌握一些概念和運算的幾何意義及常見的代數(shù)特征，比如，（1）集合的運算及韋恩圖；（2）常用函數(shù)及其圖像；（3）數(shù)列的通項及求和公式的函數(shù)特征及函數(shù)圖像；（4）方程（指二元方程）及方程的曲線等.以形助數(shù)的方法有：借助數(shù)軸；借助函數(shù)圖像；借助單位圓；借助數(shù)式的結構特征；借助于解析幾何方法.以數(shù)助形的方法有：借助于幾何軌跡所遵循的數(shù)量關系；借助于運算結果與幾何定理的結論.

例8（遼寧理12題）若x1滿足2x+2x=5，x2滿足2x+2log2（x-1）=5，x1+x2=（）.

A.52B.3C.72D.4

圖3分析本題是考查兩方程根的問題，實際上方程的根可轉化為函數(shù)圖像的交點問題，因而將條件整理得2x+2x=5和2x+2log2（x-1）=5，可得2x-1=-x+52和log2（x-1）=-x+52，因此可以看出此題的幾何意義如圖3所示，直線y=-x+52與y=2x-1和y=log2（x-1）相交于A，B兩點，橫坐標分別為x1，x2，并且由y=2x和y=log2x互為反函數(shù)易知，y=2x-1和y=log2（x-1）關于y=x-1對稱，又直線y=x-1和y=-x+52互相垂直，垂足為P，則A，B兩點關于直線y=x-1對稱，聯(lián)立y=x-1和y=-x+52，解得xP=x1+x22=74，故而x1+x2=72.故選C.

點評本解法將方程的解轉化成具有特殊關系函數(shù)圖像的交點的橫坐標，利用反函數(shù)圖像性質及圖像平移、對稱點的坐標之間的關系，把抽象的函數(shù)轉化成為直觀的形來處理，充分體現(xiàn)了數(shù)形結合解題的魅力.

例9（安徽理10）在平面直角坐標系xOy中，已知向量a，b，|a|=|b|=1，a·b=0，點Q滿足OQ=2（a+b），曲線C={P|OP=acosθ+bsinθ，0≤θ≤2π}，區(qū)域Ω={P|0

A.1

C.r≤1

2.6估算策略

估算法主要適用于那些運算起來十分繁瑣，而且也沒有必要進行復雜的運算，只要經(jīng)過簡單的估算就可以得出正確答案的選擇題.

例10（安徽理6題）設a

分析本題涉及到函數(shù)圖像問題，若采用直接畫圖像的辦法來確定正確答案的話，將十分麻煩，因而我們可以采用估算的辦法來解題.實際上當x→∞時，y→∞，排除選項A，B，在x

圖5例11（安徽理10題）函數(shù)f（x）=axm1-xn在區(qū)間0，1上的圖像如圖5所示，則m，n的值可能是（）.

A.m=1，n=1B.m=1，n=2

C.m=2，n=1D.m=3，n=1

分析若取n=1，則由圖可知，f（x）=xm1-x=[x（1-x）]xm-1≤14·xm-1<12，xm-1<2，由x∈[0，1]得m<1，排除A，C，D選項.故選B.

點評以上兩例主要考查函數(shù)圖像及函數(shù)的有關性質問題和考查學生估算能力.利用估算，可以省去好多推導過程和比較復雜的運算和函數(shù)圖像的畫法.估算法應用廣泛，它是人們發(fā)現(xiàn)、研究和解決問題的一種重要的運算方法和手段，這種方法運用得好壞，將直接影響到解題的速度和效率.

總之，解答選擇題既要意識到各類常規(guī)題的解題思路可以指導選擇題的解答，更應充分挖掘題目的“個性”，充分利用選擇支的暗示作用，尋求簡便解法，這樣不但可以迅速、準確地獲取正確答案，還可以提高解題速度，為后續(xù)解題節(jié)省時間.值得一提的是，在很多情況下，解一道選擇題需要綜合運用多種方法.