張安玲，鄧啟森

（1．長治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長治046011；2．中北大學(xué) 計(jì)算機(jī)與控制工程學(xué)院，山西 太原030051）

0 引 言

人工免疫理論是借鑒生物免疫系統(tǒng)的機(jī)理來建立人工免疫系統(tǒng)，并用于解決現(xiàn)實(shí)問題的理論和方法，是繼神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法后，從生物系統(tǒng)提取的又一智能化理論，是目前人工智能研究的熱點(diǎn)之一．人工免疫系統(tǒng)的應(yīng)用研究涉及控制、優(yōu)化、機(jī)器學(xué)習(xí)、故障診斷和機(jī)器人路徑規(guī)劃等多個(gè)領(lǐng)域［1－4］．

人工免疫算法為基于種群的隨機(jī)搜索算法，它具有強(qiáng)大的信息處理和問題求解能力等優(yōu)點(diǎn)．但它在進(jìn)化中可能會(huì)出現(xiàn)退化現(xiàn)象，從而導(dǎo)致收斂速度較慢，不能以較大的概率收斂到全局最優(yōu)值，算法的收斂性和穩(wěn)定性有待進(jìn)一步分析，以及算法的執(zhí)行效率還有待提高［5］．國內(nèi)外學(xué)者為此展開了許多研究：Gong和Jiao等人提出了一種SRCPA 算法［6］，有效地提高了算法的運(yùn)行速度．Toyoo Fukda等在文獻(xiàn)［7］中給出了一個(gè)關(guān)于信息熵的免疫算法．韓國Jang 和Chun博士等在文獻(xiàn)［8］中提出了利用高級(jí)免疫算法進(jìn)行永磁同步電機(jī)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)．文獻(xiàn)［9］提出了DKBAIA 算法，能改善算法的收斂性．文獻(xiàn)［10］基于克隆選擇原理和免疫網(wǎng)絡(luò)理論，實(shí)現(xiàn)了一種多模態(tài)免疫優(yōu)化算法．

本文欲在提高收斂速度和收斂性能兩方面作些探討，從人工免疫算法和經(jīng)典算法的特點(diǎn)出發(fā)，設(shè)計(jì)了一種基于毆氏距離的自適應(yīng)人工免疫算法和BFGS算法相聯(lián)合的混合算法．此算法繼承了人工免疫算法的群體搜索性，具有全局優(yōu)化能力；同時(shí)在人工免疫算法中引入BFGS算法，使之能發(fā)揮傳統(tǒng)數(shù)值優(yōu)化算法在運(yùn)算速度和求解精度上的優(yōu)勢，從而有效地提高算法的局部搜索能力和運(yùn)行效率．

1 混合人工免疫算法

1．1 標(biāo)準(zhǔn)人工免疫算法

標(biāo)準(zhǔn)人工免疫算法是將生物免疫學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)相結(jié)合而形成的．該算法的具體步驟如下［11］：①抗原識(shí)別．輸入目標(biāo)函數(shù)．②初始化．隨機(jī)產(chǎn)生初始群體，生成N 個(gè)抗體．③計(jì)算抗體的適應(yīng)度．④記憶庫更新．⑤抗體的選擇（促進(jìn)和抑制）．⑥交叉和變異．⑦群體更新．⑧終止．若達(dá)到終止條件則停止迭代，否則轉(zhuǎn)到第③．

1．2 BFGS算法

BFGS算法是由Broyden，F(xiàn)letcher，Goldfarb等于1970年提出的［12］．目前BFGS算法被公認(rèn)為是最好的擬牛頓法［12］．

BFGS算法的計(jì)算步驟：

1）給出x0∈Rn，H0∈Rn×n，0≤ε＜1，k：＝0．

2）如果‖gk‖ ≤ε，則停止；否則，計(jì)算dk＝－Hkgk．

3）沿方向dk作線性搜索求αk＞0，令xk＋1＝xk＋αkdk．

4）利用

求Hk＋1，使得擬牛頓條件Hk＋1yk＝sk成立．

5）若k：＝k＋1，則轉(zhuǎn)第2）．

BFGS算法不僅計(jì)算精度高，而且具有很好的數(shù)值穩(wěn)定性．

1．3 混合免疫算法

1．3．1 參數(shù)設(shè)置

1）編碼方式本文采用的均是二進(jìn)制編碼．

2）交叉率pc和變異率pm［13］

式中：0≤ki≤1，i＝1，2，3，4；f（x）表示適應(yīng)度；表示平均適應(yīng)度；fmax（x）表示最大適應(yīng)度．

3）抗體濃度和抗體期望繁殖率

定義1 在特定的抗體群中，給定抗體v，其與抗體群中任一抗體w 的毆氏距離記為d（v，w）＝‖v－w‖［14］．

定義2 抗體v，w 的適應(yīng)度記為Fv和Fw，對(duì)應(yīng)所求解的問題給定適當(dāng)?shù)某?shù)r＞0，m＞0，若有

成立，則稱抗體w 與抗體v相似；與抗體v相似的抗體（包括v）的個(gè)數(shù)稱為抗體v 的濃度，記為Cv［14］．

定義3 對(duì)于特定的規(guī)模為N 的抗體群，抗體v的期望繁殖率可用式（3）算出

式中：Fv為抗體v 的適應(yīng)度；Cv為抗體v 的濃度［14］．

1．3．2 混合人工免疫算法

標(biāo)準(zhǔn)人工免疫算法是一種全局性概率搜索算法，但它的收斂性、穩(wěn)定性以及算法的執(zhí)行效率還有待進(jìn)一步提高．為此，對(duì)標(biāo)準(zhǔn)人工免疫算法進(jìn)行了改進(jìn)，以提高算法的收斂性和運(yùn)行速度．

1）抗原識(shí)別．

2）初始化．隨機(jī)產(chǎn)生初始群體，生成N 個(gè)抗體．

3）抗體適應(yīng)度的計(jì)算．

4）記憶庫更新．用最大適應(yīng)度值對(duì)應(yīng)的抗體替換記憶庫中比其適應(yīng)度值低的任一抗體．記n（n＜N）為記憶庫中抗體的規(guī)模．

5）抗體的選擇（促進(jìn)和抑制）．利用式（3）所得的抗體v的期望繁殖率進(jìn)行選擇．

6）交叉和變異．分別采用1）和2）自適應(yīng)變化的交叉率和變異率對(duì)抗體進(jìn)行單點(diǎn)交叉和變異．

7）BFGS算法運(yùn)算．對(duì)群體中每個(gè)抗體以概率ps進(jìn)行一次BFGS 算法運(yùn)算，將子代取代父代；對(duì)記憶庫中的每個(gè)抗體進(jìn)行一次BFGS算法運(yùn)算，將子代取代父代．

8）計(jì)算抗體的適應(yīng)度．

9）群體更新．用記憶庫中的抗體代替群體中適應(yīng)度值比其低的抗體．

10）終止．若達(dá)到終止條件則停止迭代，且輸出記憶庫中的最好抗體作為最優(yōu)解；否則轉(zhuǎn)到第4）．

注1 在此混合算法中，每個(gè)抗體是以概率ps進(jìn)行BFGS算法運(yùn)算，這樣提高了算法的運(yùn)算效率．

注2 用記憶庫中的抗體替換群體中比其適應(yīng)度值小的抗體，增強(qiáng)了記憶庫中抗體的功能，避免了迭代過程中因隨機(jī)性而使最好抗體丟失，從而提高了全局收斂性．

2 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證本文算法的有效性，給出以下測試函數(shù)．

利用Matlab對(duì)以上4個(gè)函數(shù)分別運(yùn)算30次，與各測試函數(shù)真實(shí)最優(yōu)解的方差及平均收斂時(shí)間如表1 所示．

表1 方差與平均收斂時(shí)間Tab．1 Variance and average convergence time

從表1 可以看出，本文算法計(jì)算出的函數(shù)最優(yōu)解與真實(shí)最優(yōu)解的方差較小，說明本文搜索到的平均最優(yōu)解與真實(shí)最優(yōu)解偏離程度較小，數(shù)據(jù)波動(dòng)小，求解精度高，穩(wěn)定性好．從平均收斂時(shí)間可知，算法收斂速度較快．

為了體現(xiàn)出本文算法對(duì)函數(shù)的進(jìn)化過程，對(duì)4個(gè)測試函數(shù)的函數(shù)值進(jìn)化曲線分別從30次的運(yùn)算中隨機(jī)選取1次與文獻(xiàn)［15］進(jìn)行比較，具體的對(duì)比結(jié)果如圖1～圖4 所示．搜索能力和BFGS算法的局部超線性收斂性．

圖1 函數(shù)f1 進(jìn)化曲線Fig．1 Function f1evolution curve

圖2 函數(shù)f2 進(jìn)化曲線Fig．2 Function f2evolution curve

圖3 函數(shù)f3 進(jìn)化曲線Fig．3 Function f3evolution curve

圖4 函數(shù)f4 進(jìn)化曲線Fig．4 Function f4evolution curve

從以上4個(gè)函數(shù)的進(jìn)化曲線可以看出，本文算法對(duì)函數(shù)f1，f2，f3能很快找到最優(yōu)解，迭代次數(shù)非常少；而文獻(xiàn)［15］分別得運(yùn)行400，100，150，300次左右才能找到解．針對(duì)很難極小化的函數(shù)f4，本文算法也比文獻(xiàn)［15］的迭代次數(shù)少．對(duì)這些多極值、難以極小化的函數(shù)該算法都能以較少的進(jìn)化代數(shù)搜索到全局最優(yōu)解，表明它的收斂速度快，穩(wěn)定性好，從而體現(xiàn)出BFGS 算法嵌入到人工免疫算法中，局部收斂性得到了很大的改善．

利用本文算法和文獻(xiàn)［15］算法分別對(duì)以上測試函數(shù)針對(duì)算法的成功率進(jìn)行了比較，比較結(jié)果如表2 所示．

從表1 數(shù)據(jù)可以看出，本文算法收斂到最優(yōu)解的次數(shù)明顯多于文獻(xiàn)［15］，這說明本文算法的收斂性、穩(wěn)定性較好，從而表明在算法中嵌入BFGS算法提高了人工免疫算法的收斂速度和收斂性能．該算法充分發(fā)揮了人工免疫算法的全局

表2 本文算法與文獻(xiàn)［15］算法的比較結(jié)果Tab．2 Comparison between algorithm of this paper and algorithm of the literature［15］

3 結(jié) 論

本文針對(duì)人工免疫算法局部收斂性較弱的缺陷，提出了一種基于經(jīng)典優(yōu)化算法——BFGS 算法的改進(jìn)人工免疫算法．該算法在保持人工免疫算法的全局搜索能力的基礎(chǔ)上，在局部嵌入了BFGS算法，從而加強(qiáng)了人工免疫算法的局部搜索能力，整體上提高了人工免疫算法的執(zhí)行效率．典型函數(shù)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明：該算法在成功率、收斂速度和求解精度上都有了提高，并且具有很強(qiáng)的魯棒性，為函數(shù)優(yōu)化提供了一種方法．該算法還可以應(yīng)用到求解非線性方程、方程組等具體問題中．本文算法是加強(qiáng)了人工免疫算法的局部搜索能力，而如何進(jìn)一步提高人工免疫算法的后期搜索能力，是下一步的研究工作．

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