徐小東， 谷先廣

（1.安徽交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院 汽車與機(jī)械工程系，安徽 合肥 230051；2.合肥工業(yè)大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，安徽 合肥 230009）

薄壁結(jié)構(gòu)是一種常用的吸能件，廣泛地應(yīng)用在汽車、船舶、航空和航天等領(lǐng)域。金屬薄壁構(gòu)件作為最傳統(tǒng)、最有效的緩沖吸能裝置，在車身吸能設(shè)計的體系中已得到廣泛應(yīng)用［1］。在軸向沖擊下，薄壁構(gòu)件呈現(xiàn)出平穩(wěn)承載及高效吸能的特性，但實(shí)際汽車碰撞實(shí)驗(yàn)表明，汽車中90%以上部件存在著彎曲失效。因此對薄壁結(jié)構(gòu)的彎曲吸能特性進(jìn)行研究有著十分重要的意義［2］。

隨著數(shù)值模擬技術(shù)的逐漸成熟和計算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展，利用CAE技術(shù)來提高薄壁構(gòu)件的抗彎性能已引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛研究興趣。文獻(xiàn)［3］針對大客車車身骨架側(cè)墻立柱薄壁梁結(jié)構(gòu)側(cè)翻耐撞性能薄弱的特點(diǎn)，提出了一種等強(qiáng)度貼板加強(qiáng)立柱梁結(jié)構(gòu)，采用鋼管軟件對單根鋼管在側(cè)向沖擊載荷下的動力響應(yīng)進(jìn)行了數(shù)值模擬，比較分析了不同加強(qiáng)方式下立柱的抗彎性能；文獻(xiàn)［4］構(gòu)建并實(shí)現(xiàn)了薄壁直梁件抗撞性多目標(biāo)穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計流程，與確定性優(yōu)化方法相比，穩(wěn)健性優(yōu)化結(jié)果提高了設(shè)計變量的可靠性和多目標(biāo)函數(shù)的綜合穩(wěn)健性；文獻(xiàn)［5］對6種具有代表性的薄壁吸能結(jié)構(gòu)進(jìn)行撞擊分析，得到了不同吸能結(jié)構(gòu)在受到撞擊時的變形模式、吸能量大小及沖擊力大小等一系列參數(shù)，并分析了各種吸能結(jié)構(gòu)特性的優(yōu)劣。然而，以上研究只分析了薄壁結(jié)構(gòu)的吸能特性，并沒有結(jié)合優(yōu)化算法進(jìn)行優(yōu)化。文獻(xiàn)［2］結(jié)合試驗(yàn)設(shè)計技術(shù)、近似建模技術(shù)和優(yōu)化理論，對多種截面薄壁結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計，極大地改善了薄壁結(jié)構(gòu)的抗彎吸能特性；文獻(xiàn)［6］采用近似模型的方法對汽車的薄壁梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化，考慮了梁的厚度及截面形狀等因素；文獻(xiàn)［7］利用LSDYNA軟件及HCA方法對薄壁管狀結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化；文獻(xiàn)［8］對空心薄壁梁和填充泡沫鋁薄壁梁的彎曲行為進(jìn)行了研究，并對其截面尺寸進(jìn)行了結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計。

本文結(jié)合試驗(yàn)設(shè)計技術(shù)、徑向基函數(shù)近似建模技術(shù)、序列采樣策略和多目標(biāo)粒子群算法對薄壁結(jié)構(gòu)進(jìn)行了多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計。在優(yōu)化過程中調(diào)用的是徑向基函數(shù)近似模型，該方法比傳統(tǒng)優(yōu)化方法具有更高的優(yōu)化設(shè)計效率，并且在相同的求解效率下，序列采樣策略比常規(guī)采樣策略具有更高的精度。本文提出的算法可用于求解復(fù)雜工程的優(yōu)化問題。

1 序列近似多目標(biāo)優(yōu)化方法

1.1 多目標(biāo)優(yōu)化問題

在實(shí)際工程問題中，產(chǎn)品的質(zhì)量特性應(yīng)該是多方面的，并且各個質(zhì)量特性之間可能會發(fā)生沖突，即一個目標(biāo)的改善有可能引起另一個目標(biāo)性能的降低。一般地，多目標(biāo)優(yōu)化問題可采用的數(shù)學(xué)模型表示如下：

其中，x＝［x1，x2，…，xN］T，為設(shè)計變量向量；M和Q分別為約束函數(shù)和目標(biāo)函數(shù)的個數(shù)；N為設(shè)計變量的個數(shù)；fq（x）為第q個目標(biāo)函數(shù)；gj（x）為第j個約束函數(shù)；設(shè)計變量xi的下限和上限分別為和。對于像薄壁結(jié)構(gòu)彎曲沖擊性能這類大變形的非線性復(fù)雜問題，（1）式本質(zhì)上為一個非線性、多目標(biāo)、多約束優(yōu)化問題，一般這類問題的目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)不能顯式表達(dá)，且它們的導(dǎo)數(shù)嚴(yán)重不連續(xù)。常規(guī)的優(yōu)化算法要獲得（1）式的最優(yōu)解有2種策略：

（1）直接采用有限元模型進(jìn)行算法優(yōu)化。由于直接結(jié)合的方法中沒有采用近似模型，不存在近似模型精度的問題，因此理論上這是最精確的方法，但是有限元仿真的時間過長、數(shù)值計算不穩(wěn)定、梯度信息難以獲得等限制了該方法在泡沫填充薄壁結(jié)構(gòu)耐撞性問題中的應(yīng)用。

（2）優(yōu)化算法與代理模型相結(jié)合。為了克服第1種求解策略的缺陷，采用優(yōu)化算法與在有限元模型基礎(chǔ)上建立的代理模型相結(jié)合的方法，但是，該方法的代理模型存在誤差，代理模型的精度直接影響最終優(yōu)化結(jié)果的可靠性。

為了高效、高精度地求解泡沫填充薄壁結(jié)構(gòu)耐撞性這類高度非線性、多目標(biāo)工程的優(yōu)化問題，本文提出了基于徑向基函數(shù)的序列近似多目標(biāo)優(yōu)化方法。

1.2 序列近似多目標(biāo)優(yōu)化算法

本文采用一系列近似子優(yōu)化組合替代（1）式中的優(yōu)化問題，在設(shè)計空間中逐步序列地增加樣本點(diǎn)數(shù)量來提高近似模型的精度，最終提高整個優(yōu)化結(jié)果的精度。逐步序列增加樣本點(diǎn)方法的關(guān)鍵在于對優(yōu)化的結(jié)果進(jìn)行收斂性判斷，若收斂準(zhǔn)則滿足要求，則得到對象問題的非劣解，反之，則根據(jù)序列取樣策略生成一定數(shù)量的新樣本點(diǎn)加入到上一代樣本中，進(jìn)行迭代建模優(yōu)化，直至收斂準(zhǔn)則滿足要求。根據(jù)上述描述，第k步迭代的近似數(shù)學(xué)模型為：

序列近似優(yōu)化算法的優(yōu)點(diǎn)是能充分利用上一迭代的信息來逐步提高代理模的精度。本文采用徑向基函數(shù)近似每一個子優(yōu)化數(shù)學(xué)模型中的目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)，然后采用多目標(biāo)粒子群算法進(jìn)行求解。算法的求解過程描述如下。

（1）建立優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，定義目標(biāo)函數(shù)、約束函數(shù)和設(shè)計變量的取值范圍等。

（2）采用優(yōu)化拉丁方設(shè)計方法［9］在設(shè)計空間中生成一定數(shù)量的樣本點(diǎn)并進(jìn)行有限元計算，構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的徑向基函數(shù)似模型。

（3）采用粒子群算法［10］對優(yōu)化問題進(jìn)行求解，得到非劣解集。

（4）在非劣解集中分散地挑選一定數(shù)量的候選解（本文挑選的候選解為5個）。

（5）采用仿真方法計算所有候選解的目標(biāo)和約束響應(yīng)。

（6）根據(jù)誤差準(zhǔn)則計算每一個目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的誤差，本文采用的誤差準(zhǔn)則為：

其中，yi和i分別為有限元計算的響應(yīng)值和徑向基函數(shù)的預(yù)測響應(yīng)值；n為選擇的候選解的個數(shù)。

（7）如果每個目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的誤差準(zhǔn)則值均小于一個預(yù)設(shè)定的值（如ε≤1%），整個優(yōu)化過程收斂；否則，將候選解加入到樣本集中重構(gòu)徑向基函數(shù)模型，然后轉(zhuǎn)步驟（4），直至收斂。

2 薄壁結(jié)構(gòu)抗彎性能設(shè)計方法

2.1 薄壁結(jié)構(gòu)抗彎性能評價指標(biāo)

常用于評價薄壁結(jié)構(gòu)抗彎性能的指標(biāo)主要包括比吸能、抗彎載荷峰值力和平均抗彎載荷。

薄壁結(jié)構(gòu)抗彎吸收的總能量為：

其中，d為變形位移；F（x）為碰撞力；E（d）為吸收的能量。給定變形距離的平均碰撞力Favg為 ：

比吸能（SEA）即結(jié)構(gòu)單位質(zhì)量所吸收的能量，是表征不同材料、不同質(zhì)量的結(jié)構(gòu)吸能能力的一個重要指標(biāo)，定義為：

2.2 有限元建模和驗(yàn)證

根據(jù)文獻(xiàn)［8］中的實(shí)驗(yàn)建立了有限元模型，如圖1所示。整個結(jié)構(gòu)的長度為550mm；質(zhì)量為0.65kg；橫截面為矩形，其長度、寬度均為55mm；沖擊質(zhì)量塊結(jié)構(gòu)以4.4m／s的初速度碰撞薄壁結(jié)構(gòu)。

圖1 有限元模型

將彎曲碰撞有限元模型導(dǎo)入LS－dyna進(jìn)行仿真計算，計算結(jié)果使用有限元仿真后處理工具Hyperview進(jìn)行分析。試驗(yàn)?zāi)Ｐ秃陀邢拊Ｐ偷膹澢鲎沧冃稳鐖D2所示，仿真曲線與試驗(yàn)曲線如圖3所示。

圖2 試驗(yàn)?zāi)Ｐ秃陀邢拊Ｐ偷膹澢鲎沧冃?/p>

圖3 試驗(yàn)曲線和仿真曲線

由圖3可知，仿真曲線較好地貼合了試驗(yàn)曲線，且曲線整體趨勢一致，說明有限元模型可信度較高，在保證相關(guān)材料參數(shù)和控制參數(shù)不變的情況下，通過試驗(yàn)設(shè)計點(diǎn)來進(jìn)行仿真分析所得到的計算結(jié)果準(zhǔn)確可靠。試驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果的Favg、SEA及峰值碰撞力Fpeak的數(shù)值及誤差分析見表1所列。

表1 試驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果的對比

3 優(yōu)化過程及結(jié)果

在設(shè)計吸能結(jié)構(gòu)時，常常要求比吸能越大越好，峰值碰撞力越小越好，同時要求平均碰撞力大于某一個設(shè)計的值。方形薄壁結(jié)構(gòu)的寬高比和管壁的厚度對結(jié)構(gòu)的抗彎吸能特性有重要影響。因此，本文將比吸能（SEA）和峰值碰撞力Fpeak作為目標(biāo)，平均碰撞力Favg作為約束，方形薄壁結(jié)構(gòu)的寬高比r和管壁的厚度t作為設(shè)計變量，該問題的多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為：

優(yōu)化過程中，初始樣本點(diǎn)為20個，目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的整個收斂過程見表2所列。

表2 目標(biāo)和約束函數(shù)的收斂過程

從表2可以看出，經(jīng)過8次迭代后，目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的ε均小于1%，結(jié)果收斂，收斂時的非劣解前沿圖如圖4所示。

圖4給出了泡沫填充薄壁結(jié)構(gòu)彎曲性Pareto解集。Pareto解集對設(shè)計人員進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計有很大的幫助，因?yàn)樗谠O(shè)計變量和設(shè)計目標(biāo)上提供了更多的選擇空間。

根據(jù)最小距離選解法［11］，從圖4中挑選出1組最優(yōu)化解與初始設(shè)計進(jìn)行對比，結(jié)果見表3所列。

由表3可以看出，優(yōu)化解相比于初始設(shè)計有了較大的提高，比吸能SEA從690.8J／kg提高到873.8J／kg，抗彎載荷峰值力Fpeak從13.35kN增大到18.16kN，平均抗彎載荷Favg從9.03kN增至12.72kN，并且優(yōu)化解與CAE仿真結(jié)果的誤差也較小。

圖4 非劣解前沿圖

表3 初始設(shè)計與優(yōu)化結(jié)果

4 結(jié) 論

（1）本文提出了一種結(jié)合試驗(yàn)設(shè)計技術(shù)、徑向基函數(shù)近似建模技術(shù)、序列采樣策略和多目標(biāo)粒子群算法的序列多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計方法。該方法將傳統(tǒng)的多目標(biāo)優(yōu)化問題近似為一系列的子優(yōu)化組合優(yōu)化問題，在設(shè)計空間中逐步序列地增加樣本點(diǎn)數(shù)量來提高子優(yōu)化問題近似模型的精度，最終提高整個優(yōu)化結(jié)果的精度。

（2）本文提出的方法克服了傳統(tǒng)代理模型方法無法事先合理確定試驗(yàn)樣本點(diǎn)個數(shù)的難題，即選擇的試驗(yàn)樣本點(diǎn)個數(shù)多則優(yōu)化效率低、選擇的試驗(yàn)樣本點(diǎn)個數(shù)少則優(yōu)化精度低。

（3）本文提出的方法能有效地求解像薄壁結(jié)構(gòu)沖擊抗彎性能這類高度非性線的工程問題，也可以推廣應(yīng)用到高速列車、汽車、航空航天等相關(guān)領(lǐng)域，能有效提高相關(guān)產(chǎn)品的設(shè)計水平。

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