黃 帆，金 龍，徐志科，潘 鵬

(東南大學(xué)，南京210096)

0 引 言

超聲波電動(dòng)機(jī)，尤其是行波超聲波電動(dòng)機(jī)以其低速大轉(zhuǎn)矩、運(yùn)行無噪聲、無電磁干擾和體積小等良好特性，在伺服驅(qū)動(dòng)應(yīng)用中得到了越來越多的關(guān)注，并取得了一定的研究成果。在超聲波電動(dòng)機(jī)的控制系統(tǒng)中，無論是使用經(jīng)典的PID 控制還是現(xiàn)代的智能控制算法，電機(jī)轉(zhuǎn)子的速度和位置是必不可少的閉環(huán)反饋量。因此，反饋量的測(cè)量精度對(duì)控制系統(tǒng)有著至關(guān)重要的作用。然而鑒于高精度的位置和速度傳感器價(jià)格昂貴以及安裝環(huán)境的限制，大多數(shù)超聲波電動(dòng)機(jī)伺服系統(tǒng)都是使用編碼器來獲取電機(jī)的位置信息，再通過一定的算法來得到電機(jī)的速度信息。其中用的比較多的是增量式編碼器，這種編碼器具有誤差累積的缺點(diǎn)，因此只能提供一定精度的位置和速度的測(cè)量。卡爾曼濾波作為一種重要的最優(yōu)估計(jì)理論，去除觀測(cè)數(shù)據(jù)中的噪聲還原真實(shí)數(shù)據(jù)，已廣泛應(yīng)用于導(dǎo)航、動(dòng)態(tài)定位、動(dòng)力及最優(yōu)控制等多種動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)處理中。在交流伺服領(lǐng)域，許多學(xué)者將卡爾曼濾波應(yīng)用于電磁電機(jī)中，同時(shí)取得了較好的控制效果。文獻(xiàn)［1 -2］將擴(kuò)展卡爾曼濾波應(yīng)用于無速度傳感器的永磁同步電機(jī)控制，對(duì)電機(jī)的轉(zhuǎn)速和磁鏈進(jìn)行精確估計(jì)以提高直接轉(zhuǎn)矩控制的性能。文獻(xiàn)［3］將無跡卡爾曼濾波(UKF)原理與永磁同步電機(jī)的系統(tǒng)模型相結(jié)合設(shè)計(jì)出UKF 定子磁鏈觀測(cè)器，實(shí)現(xiàn)永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)子位置和轉(zhuǎn)速的無傳感器估計(jì)。使用無跡變換，以確定性的采樣方法計(jì)算隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性，相比較擴(kuò)展卡爾曼濾波估計(jì)精度更高，運(yùn)算速度更快。文獻(xiàn)［4］將轉(zhuǎn)子電壓和轉(zhuǎn)子電流作為系統(tǒng)的輸入量，估計(jì)直流電機(jī)的轉(zhuǎn)速，增加了系統(tǒng)的魯棒性并且精確地估計(jì)了直流電機(jī)的轉(zhuǎn)速。文獻(xiàn)［5 -6］分別運(yùn)用擴(kuò)展卡爾曼濾波和模糊擴(kuò)展卡爾曼濾波，建立感應(yīng)電機(jī)的速度和磁鏈觀測(cè)器，類似于直流電機(jī)通過轉(zhuǎn)矩和磁鏈來控制電機(jī)的速度，使感應(yīng)電機(jī)系統(tǒng)表現(xiàn)出良好的動(dòng)態(tài)性能。

然而卡爾曼濾波算法在超聲波電動(dòng)機(jī)的控制中應(yīng)用研究很少，因此本文在研究超聲波電動(dòng)機(jī)測(cè)速算法的基礎(chǔ)上，針對(duì)原有方法的不足將卡爾曼濾波理論與其相結(jié)合應(yīng)用到超聲波電動(dòng)機(jī)測(cè)速系統(tǒng)中。把各種測(cè)速誤差的影響看成超聲波測(cè)速系統(tǒng)的系統(tǒng)誤差，而編碼器的分辨率、加工和安裝精度等的影響作為測(cè)量誤差，建立系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型。在位置差分測(cè)速的基礎(chǔ)上，引入卡爾曼濾波以減小測(cè)量誤差，提高參數(shù)測(cè)量精度，并通過仿真研究驗(yàn)證了該策略的有效性。

1 卡爾曼濾波

所謂濾波，實(shí)際上就是選頻，即從帶有多頻的信號(hào)中得到想要的頻率，而將不需要的頻率過濾掉。濾波理論就是在對(duì)系統(tǒng)信號(hào)進(jìn)行測(cè)量和濾頻過程中，經(jīng)過實(shí)踐檢驗(yàn)符合實(shí)際情況的最優(yōu)方法、理論體系?？柭鼮V波理論是20 世紀(jì)60 年代發(fā)展起來的一種現(xiàn)代濾波理論，它是通過一系列遞歸數(shù)學(xué)公式描述和推算來估計(jì)某個(gè)過程的狀態(tài)。該理論之所以被廣泛應(yīng)用，就是因?yàn)樗軌驅(qū)⒃肼晫?duì)系統(tǒng)狀態(tài)的辨識(shí)影響降到最小。由于卡爾曼濾波器的解是遞歸計(jì)算的，其每一次的狀態(tài)更新只需要上一次的狀態(tài)估計(jì)值和最新的測(cè)量變量輸入計(jì)算便可得到，不需要存儲(chǔ)大量的數(shù)據(jù)，并且數(shù)據(jù)處理也很高效。這些優(yōu)點(diǎn)特別適合基于微處理器的超聲波電動(dòng)機(jī)伺服控制，在有限的內(nèi)存空間下實(shí)現(xiàn)電機(jī)的實(shí)時(shí)控制。

卡爾曼濾波器用(含噪聲)測(cè)量變量作為反饋，從而來估計(jì)過程狀態(tài)。離散卡爾濾波器則是將系統(tǒng)的狀態(tài)方程和測(cè)量方程離散化，間隔一定的時(shí)間采樣測(cè)量變量獲得反饋，來估計(jì)某一時(shí)刻的狀態(tài)，其離散化的狀態(tài)方程由以下差分方程描述:

系統(tǒng)的測(cè)量方程:

式中:wk為系統(tǒng)的過程噪聲;vk為測(cè)量噪聲?？柭鼮V波要求它們?yōu)橄嗷オ?dú)立、均值為零的白色噪聲序列。過程噪聲和測(cè)量噪聲的方差矩陣分別為Q 和R，卡爾曼濾波中要求它們分別是已知值的非負(fù)定矩陣和正定矩陣。xk為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，uk為確定性輸入變量，A 為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，B 為可選的控制輸入增益矩陣。zk為系統(tǒng)的測(cè)量變量，H 為狀態(tài)變量xk對(duì)測(cè)量變量zk的增益。定義(^表示先驗(yàn)，-表示估計(jì))為在利用第k-1 時(shí)刻和以前時(shí)刻的測(cè)量值得到的第k 時(shí)刻的先驗(yàn)狀態(tài)估計(jì)，定義x^k 為已知測(cè)量變量zk時(shí)第k 步的后驗(yàn)狀態(tài)估計(jì)。則離散卡爾曼濾波算法的流程如圖1 所示。

圖1 離散卡爾曼濾波工作原理圖

在實(shí)際系統(tǒng)中，矩陣Q 和R 可能會(huì)隨著每次迭代計(jì)算而變化。為了降低算法以及計(jì)算的復(fù)雜度，這里假設(shè)它們都為常數(shù)。在卡爾曼濾波器的構(gòu)造中，狀態(tài)誤差協(xié)方差的初值x0，P0，R 和Q 的取值對(duì)于卡爾曼濾波器的性質(zhì)會(huì)有一定的影響。如果P0取值較小，卡爾曼濾波器收斂速度會(huì)比較快。而測(cè)量噪聲協(xié)方差R 一般可以通過測(cè)量得到，是濾波器的已知條件，通常我們離線獲取系統(tǒng)的測(cè)量值以計(jì)算測(cè)量噪聲協(xié)方差。比較難確定的是過程激勵(lì)噪聲協(xié)方差Q 的值，Q 表征了系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)特性，其值的大小表征著系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，但是過程信號(hào)xk無法直接觀測(cè)到，因此很難通過直接的觀測(cè)量得到Q值。所以我們通常都是通過調(diào)整濾波器系數(shù)來獲得更好的性能。在初始值的選擇過程中，我們既要考慮收斂的快速性，又要防止卡爾曼濾波的發(fā)散，否則會(huì)對(duì)系統(tǒng)的控制產(chǎn)生不良的后果。

2 基于卡爾曼濾波的測(cè)速算法

2.1 基于卡爾曼濾波的測(cè)速系統(tǒng)

基于增量式編碼器的測(cè)速算法大致分為三類:(1)M 算法測(cè)速，在固定的時(shí)間間隔內(nèi)測(cè)量脈沖發(fā)生器所產(chǎn)生的脈沖數(shù)來獲取速度值，這種測(cè)速算法適合中高速測(cè)量場(chǎng)合;(2)T 算法測(cè)速，通過測(cè)量相鄰兩個(gè)位置事件的時(shí)間間隔來確定被測(cè)速度，適合于低速測(cè)量場(chǎng)合，由于系統(tǒng)需要加入脈沖捕捉中斷電路和計(jì)時(shí)定時(shí)電路，所以實(shí)現(xiàn)起來T 算法要比M算法更加復(fù)雜;(3)M/T 算法測(cè)速，綜合了以上的兩種方法，同時(shí)測(cè)量檢測(cè)時(shí)間和在此時(shí)間內(nèi)脈沖發(fā)生器所產(chǎn)生的脈沖數(shù)來確定被測(cè)轉(zhuǎn)速。M/T 算法在高低速時(shí)測(cè)量精度均有所提高，擴(kuò)大了測(cè)速的范圍，但是也增加了硬件和軟件實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜性。從成本和實(shí)用性角度考慮，本文采用M 算法進(jìn)行測(cè)速。

由于系統(tǒng)噪聲和觀測(cè)噪聲的影響，M 法測(cè)速得到的速度值誤差較大，因此將卡爾曼濾波引入測(cè)速算法，以抑制電機(jī)本身及編碼器引起的白噪聲對(duì)測(cè)速算法的影響。在超聲波測(cè)速系統(tǒng)中，電機(jī)的位置和速度為未知量，因此把電機(jī)的位置θ、速度v 認(rèn)為是狀態(tài)變量，建立一個(gè)關(guān)于位置和速度的模型，從這個(gè)模型得到卡爾曼濾波器。

設(shè)超聲波電動(dòng)機(jī)在k 時(shí)刻的位置為θk、速度為vk，從k 時(shí)刻到k +1 時(shí)刻電機(jī)的加速度為ak，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律電機(jī)，在k+1 時(shí)刻的位置θk-1和速度vk-1可分別表示:

由于系統(tǒng)在運(yùn)行過程中速度會(huì)有一定的波動(dòng)，甚至有時(shí)會(huì)出現(xiàn)大的波動(dòng)，因此電機(jī)速度的變化在實(shí)際運(yùn)行中并無固定的規(guī)律性，這里將速度的變化率即加速度看成高斯白噪聲。則狀態(tài)方程可表示:

式中:ak即w 為系統(tǒng)的模型干擾，它符合均值為零、方差為σa的正態(tài)分布。則可得到協(xié)方差矩陣:

每隔固定的時(shí)刻，對(duì)電機(jī)的位置進(jìn)行測(cè)量，則觀測(cè)方程可表示:

式中:v 為系統(tǒng)的測(cè)量干擾，它符合均值為零、方差為σz的正態(tài)分布，且系統(tǒng)干擾與模型干擾為兩個(gè)相互獨(dú)立高斯白噪聲。則可得到協(xié)方差矩陣R:

超聲波電動(dòng)機(jī)的卡爾曼濾波模型已經(jīng)確定，要想實(shí)現(xiàn)圖1 中公式的遞推，必須首先確定初值，P0。對(duì)于初值，P0的確定，至今尚未有成熟的方法，大多數(shù)情況下，都是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)利用一期的觀測(cè)信息確定狀態(tài)向量中的相對(duì)位置信息θ0，再利用相鄰兩期的相對(duì)位置確定角速度v0，這樣便得到了濾波的初值［15］。P0是x0的估計(jì)誤差協(xié)方差矩陣，假設(shè)的均值為μ0，則:

2.2 仿真設(shè)計(jì)

本文通過MATLAB 仿真來驗(yàn)證卡爾曼濾波器對(duì)于超聲波電動(dòng)機(jī)測(cè)速系統(tǒng)的濾波性能，其觀測(cè)方程的電機(jī)位置信息由控制系統(tǒng)實(shí)際運(yùn)行給出。實(shí)際系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)為基于TMS320F28335 的實(shí)驗(yàn)室自制直徑為80 mm 的超聲波電動(dòng)機(jī)，測(cè)角系統(tǒng)采用雷尼紹公司SIGNUM RESM 系列圓光柵編碼器，圓光柵一圈刻線數(shù)為31 488 道，經(jīng)細(xì)分盒100 細(xì)分(四倍頻采集方式)，每轉(zhuǎn)一圈產(chǎn)生3 148 800 個(gè)脈沖。所以其測(cè)量分辨率Re為:

實(shí)驗(yàn)對(duì)象為閉環(huán)PI 控制的超聲波電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)，由DSP 的eQEP 單元以10 Hz 的頻率獲取編碼器發(fā)出的脈沖數(shù)以確定電機(jī)的位置，再用M 算法計(jì)算電機(jī)的速度。雖然M 算法獲得的轉(zhuǎn)速存在一定的誤差，但是基本上能夠反映電機(jī)的實(shí)際速度，因此在有限的實(shí)驗(yàn)條件下將M 算法獲得的速度作為參考標(biāo)準(zhǔn)與卡爾曼濾波算法仿真濾波后的電機(jī)速度進(jìn)行比較［9］。為了便于獲取每次采樣的脈沖數(shù)和電機(jī)的速度，實(shí)驗(yàn)平臺(tái)通過SCI 模塊與上位機(jī)相連接，實(shí)時(shí)的將規(guī)定數(shù)據(jù)發(fā)送給上位機(jī)，上位機(jī)將數(shù)據(jù)記錄保存下來。

實(shí)驗(yàn)分為兩組:(1)在電機(jī)運(yùn)行開始前，通過上位機(jī)設(shè)定電機(jī)的轉(zhuǎn)速為22 (°)/s，記錄電機(jī)從起動(dòng)到穩(wěn)定這一過程的電機(jī)位置信息和轉(zhuǎn)速信息。(2)在電機(jī)運(yùn)行開始前，先設(shè)定電機(jī)的轉(zhuǎn)速為12 (°)/s，當(dāng)電機(jī)運(yùn)行穩(wěn)定后再設(shè)定電機(jī)的轉(zhuǎn)速為1.8 (°)/s，實(shí)現(xiàn)電機(jī)的調(diào)速控制，記錄這整個(gè)過程電機(jī)的位置信息和轉(zhuǎn)速信息。

實(shí)驗(yàn)結(jié)束后，將兩組實(shí)驗(yàn)得到的電機(jī)位置信息導(dǎo)入到MATLAB，確定Q，R，P0以及X^0 的值進(jìn)行初始化，按照?qǐng)D1 的遞歸流程實(shí)現(xiàn)卡爾曼濾波器，得到基于卡爾曼濾波的速度觀測(cè)值，并把濾波后的速度值與系統(tǒng)測(cè)得的速度值進(jìn)行比較，以驗(yàn)證卡爾曼濾波器的濾波及辨識(shí)轉(zhuǎn)速的性能。

實(shí)驗(yàn)中使用的Q，R 參數(shù)如下:Q =60，R =8.762×10-3。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

圖2 ～圖4 為實(shí)驗(yàn)(1)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果:M 算法得到的曲線受噪聲的影響跳動(dòng)較大，尤其在電機(jī)的瞬時(shí)起動(dòng)階段有明顯的過沖，電機(jī)定子的振動(dòng)在起動(dòng)階段還并不穩(wěn)定，存在電機(jī)振蕩情況。并且實(shí)驗(yàn)室中采用光電編碼器測(cè)量超聲波電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速信息時(shí)需要用到聯(lián)軸器，由于實(shí)驗(yàn)臺(tái)加工精度的影響，電機(jī)起動(dòng)時(shí)聯(lián)軸器的彈性環(huán)節(jié)使得測(cè)試結(jié)果中速度有較大的振蕩。由圖2 可以看出，卡爾曼濾波算法得到的速度曲線基本上貼近M 算法的結(jié)果，速度估算動(dòng)態(tài)跟隨性比較好，并且曲線變得更加的平滑，對(duì)電機(jī)起動(dòng)階段的速度超調(diào)有明顯的抑制作用，最大超調(diào)從36 (°)/s 降低到17 (°)/s。在穩(wěn)定階段也可以看出較好的濾波性，圖3 為圖2 中穩(wěn)定階段的放大圖，相較于M 算法，卡爾曼濾波后的轉(zhuǎn)速值方差從3.87降低到2.18，波動(dòng)由4.13 (°)/s 降低到2.85 (°)/s。

圖5 ～圖6 為實(shí)驗(yàn)(2)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，由圖5 的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，卡爾曼濾波算法在電機(jī)的調(diào)速過程中表現(xiàn)出較好的跟隨性，但是在電機(jī)轉(zhuǎn)速突變的過程中，卡爾曼濾波算法的誤差增大并且存在一定的延時(shí)。而在穩(wěn)定階段還是表現(xiàn)出了良好的抑制噪聲作用。在第一段速度階段，轉(zhuǎn)速的最大超調(diào)由14.2 (°)/s 減少到9.2 (°)/s，穩(wěn)定階段的波動(dòng)也明顯減小，由3 (°)/s 降低到2.2 (°)/s。在第二段低速階段，穩(wěn)定階段的波動(dòng)由0.7 (°)/s 降低到0.5(°)/s。整個(gè)調(diào)速過程(包括轉(zhuǎn)速突變誤差較大過程)轉(zhuǎn)速值方差由28.45 降低到26.34。

卡爾曼濾波雖然解決了噪聲的問題，但是由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，這種方法在估測(cè)電機(jī)轉(zhuǎn)速動(dòng)態(tài)過程中還存在滯后性，尤其在轉(zhuǎn)速突變時(shí)更加明顯，在調(diào)速階段，滯后最大達(dá)到0.3 s，這在以后的實(shí)驗(yàn)研究中還有待改進(jìn)。

4 卡爾曼濾波的改進(jìn)

5 結(jié) 語

本文提出了一種基于卡爾曼濾波的超聲波電動(dòng)機(jī)測(cè)速算法，通過選取電機(jī)的位置信息作為觀測(cè)變量對(duì)速度信息進(jìn)行估計(jì)。仿真結(jié)果表明，該方法改善了M 測(cè)速算法存在的誤差較大的問題，速度動(dòng)態(tài)跟隨性好，更加接近電機(jī)的真實(shí)速度。但是，該方法在調(diào)速的動(dòng)態(tài)過程中還存在著一定的滯后性，對(duì)于高性能的控制要求還不能夠滿足要求。并且在初值的選取上還是主要依靠的試湊法，適應(yīng)性還有待進(jìn)一步的研究。

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