毛耀忠 張銳 李曼生

摘 要：集合理論是整個數(shù)學大廈的基礎(chǔ)，論文通過問卷測試發(fā)現(xiàn)職前數(shù)學教師對于集合概念的理解并不理想：僅有65.9%的職前數(shù)學教師能夠回答正確集合的定義；缺少描述法表征集合是不少職前數(shù)學教師的通??；89.2%的職前數(shù)學教師把集合的等價與集合的相等混為一談；62.5%的職前數(shù)學教師對于有限集合的定義理解不深；69.9%的職前數(shù)學教師并沒有理解全集的實質(zhì)；僅有14.8%的職前數(shù)學教師理解了補集的概念；84.1%的職前數(shù)學教師不知道區(qū)間是集合的事實。職前數(shù)學教師教育課程體系應(yīng)該進行調(diào)整，開設(shè)一些可以宏觀理解整個數(shù)學體系的課程；職前數(shù)學教師教育者應(yīng)該重視日常教學，使教學過程更具有效性；職前數(shù)學教師應(yīng)當掌握基礎(chǔ)數(shù)學教育中的核心概念，理解不同數(shù)學概念之間的關(guān)聯(lián)。

關(guān)鍵詞：職前數(shù)學教師 集合 概念理解 調(diào)查

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2015）08（c）-0158-03

Investigation and Analysis about Comprehension Levels of Pre-service Mathematics Teachers on the Concept of Set

Mao Yaozhong Zhang Rui Li Mansheng

（School of mathematics，Lanzhou City College，Lanzhou Gansu，730070，China）

Abstract：Set theory is the foundation of the whole mathematics building.Investigation shows that Pre-service Mathematics Teachers do not have adequate level on the concept of set. The paper puts forward some suggestions to improve education quality of pre-service mathematics teachers.

Key words：Pre-service mathematics teachers；Set；Comprehension on concept；Investigation

職前數(shù)學教師的概念學習對于其專業(yè)發(fā)展至關(guān)重要。因此，評價職前數(shù)學教師的學習成就不僅要關(guān)注程序性的知識更要強調(diào)概念性的知識。值得注意的是，職前數(shù)學教師擁有的諸多概念知識當中，有很多并沒有反應(yīng)出概念的本真意義，甚至是完全錯誤的。簡言之，職前數(shù)學教師的概念體系當中具有較多的迷思概念。迷思概念對于職前數(shù)學教師認知活動產(chǎn)生的危害難以估量，其會讓職前數(shù)學教師的認知活動呈現(xiàn)出“劣幣驅(qū)除良幣”的狀態(tài)，使認知結(jié)構(gòu)產(chǎn)生嚴重偏差。集合理論是整個數(shù)學大廈的基礎(chǔ)，通過問卷測試職前數(shù)學教師對于集合概念的理解情況，以管窺豹，發(fā)現(xiàn)問題，提出改進職前數(shù)學教師教育的建議具有重要的理論及現(xiàn)實意義。

1 研究設(shè)計

1.1 研究問題

論文主要圍繞職前數(shù)學教師關(guān)于集合概念的理解水平是怎樣的這樣一個核心問題展開。

1.2 調(diào)查對象

調(diào)查選取了甘肅省三所師范類高校數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學專業(yè)的176名大三學生，其中男生62名，女生114名。

1.3 測試題

論文選取了7道有關(guān)集合概念的開放式問題作為測試題，依次如下：

（1）什么是集合？

（2）可以用哪些方式表征集合？

（3）整數(shù)集合與偶數(shù)集合等價嗎？

（4）空集是有限集合嗎？請說明理由。

（5）全集是永恒唯一的嗎？

（6）一個集合的補集可以不同嗎？

（7）區(qū)間是集合嗎？請說明理由。

1.4 數(shù)據(jù)分析工具

Excel2003軟件被用來處理調(diào)查得來的數(shù)據(jù)。

2 調(diào)查結(jié)果及分析

2.1 對于“什么是集合？”的調(diào)查結(jié)果及分析

對于問題“什么是集合？”的回答，65.9%的職前數(shù)學教師回答正確，1.1%的職前數(shù)學教師回答部分正確，33.0%的職前數(shù)學教師回答錯誤。集合是一些明確規(guī)定且彼此不重復的對象的全體。那些回答部分正確的同學僅僅認為，“集合就是明確規(guī)定的對象的整體”，缺少了“對象不能重復”這個關(guān)鍵點。

學生對于集合定義的錯誤理解其實與平時的集合定義教學存在很大的關(guān)聯(lián)。在教學過程中，很多教師往往會直接教授集合的定義、規(guī)則及運算，缺少正反例證，沒有細致分析哪些對象的全體能夠或者不能夠形成集合。比如，互相之間不存在共同特征的對象以及彼此不能夠共存的對象的全體就無法構(gòu)成集合。

2.2 對于“可以用哪些方式表征集合？”的調(diào)查結(jié)果及分析

集合有三種表征方式，分別是列舉法、描述法和韋恩圖法，缺少描述法是大多數(shù)部分回答正確學生的通病?？偟膩砜矗瑢W的正確率（74.6%）明顯高出男同學的正確率（56.5%）。

集合的不同表征往往能促使學生更加深刻、全面地認識集合。然而從調(diào)查結(jié)果看，不少學生對描述法表征集合的認識比較欠缺，這其實與描述法相對更加抽象有關(guān)。因此，在日常教學中教師應(yīng)該加強集合表征方式的教學，不僅要讓學生熟悉各種表征方式，而且要重點訓練讓學生學會在各種表征方式之間進行轉(zhuǎn)換。

2.3 對于“整數(shù)集合與偶數(shù)集合等價嗎？”的調(diào)查結(jié)果及分析

對于問題“整數(shù)集合與偶數(shù)集合等價嗎？”的回答，絕大多數(shù)學生（89.2%）的回答都是錯誤的，認為整數(shù)集合包含奇數(shù)集合與偶數(shù)集合，偶數(shù)集合是整數(shù)集合的真子集，所以整數(shù)集合與偶數(shù)集合不等價。他們的疑惑體現(xiàn)在：與原集合不相等的真子集怎么能和原集合等價呢？部分怎么能等價于整體呢？事實上，根據(jù)一一對應(yīng)的原理偶數(shù)集合與整數(shù)集合是等價的。相對來講，男學生（17.7%回答正確）的結(jié)果好于女學生（7.0%回答正確）。此外，很多學生的答案答非所問，沒有按照題目的要求作答。

集合中的元素如果能被數(shù)完就是有限集合，如果數(shù)不完就是無限集合。有限集合不能等價于除本身之外的任一子集，而無限集合可以等價于它的某個真子集（如通過一一對應(yīng)就可以使整數(shù)集與偶數(shù)集等價）。將近九成的學生（89.2%）都對此做出了錯誤的回答，錯誤的原因主要是學生缺少集合等價的知識，不知何為集合的等價，把集合的等價與集合的相等混為一談。在集合的教學活動中，教師應(yīng)該補充集合等價的理論，并讓學生明確區(qū)分集合的相等與等價。

2.4 對于“空集是有限集合嗎？”的調(diào)查結(jié)果及分析

空集是一個有限集合，但是很多學生基于“空集中沒有元素”這個事實，認為：“空集很含糊，不能討論其有限性”；“空集中沒有元素，不好做任何解釋”；“空集既不是有限集合，也不是無限集合”。

學生對這個問題的回答不太理想（62.5%的學生回答錯誤）主要是因為學生對于什么是有限集合的定義理解不深。大多數(shù)學生只是感官上覺得集合中的元素如果能被數(shù)完就是有限集合，而空集中沒有元素他們就主觀地認為不能數(shù)數(shù)了，自然也就不屬于有限集合。在今后的教學活動中，必須強化有限與無限集合定義的本質(zhì)特征，以是否可以與其真子集等價作為判斷有限集合與無限集合的標準。

2.5 對于“全集是永恒唯一的嗎？”的調(diào)查結(jié)果及分析

全集并不是永恒不變或者唯一存在的，它隨著處理問題的差別可以取許多不同的形式，甚至對于同一個問題由于所用數(shù)學方法或者看問題的角度不同都可以取不同的全集。但是，很多學生（69.9%）并沒有理解全集的實質(zhì)，做出了錯誤的回答。

對于全集的認識不能“望文生義”，很多學生的回答只是漢語意思的臆測，比如“全集是指包含所有個體及運算的集合”，“最大的集合”等。這主要是學生不理解全集的本原意義，不知道根本就不存在最大的集合這個事實。因為如果存在最大的集合，那么將其作為新的元素，又可以生出更大的集合。事實上，全集是應(yīng)用一定方法討論問題時關(guān)于對象范圍的限定，問題不一樣，方法不一樣所選取的全集就可能不一樣。

2.6 對于“一個集合的補集可以不同嗎？”的調(diào)查結(jié)果及分析

對于問題“一個集合的補集可以不同嗎？”的回答，雖然男同學的回答正確率（24.2%）高于女同學的正確率（9.6%），但是總體來看，回答正確率顯著偏低（總體回答正確率為14.8%）。

補集確定的基礎(chǔ)是全集，學生對于全集理解的偏差會導致對于補集的錯誤理解。數(shù)學是一門前后內(nèi)容密切關(guān)聯(lián)的學科，對于一些關(guān)鍵的核心概念一定要形成正確、牢固的認識，為后續(xù)概念的掌握提供支持，避免“錯一處而亂全局”的困境出現(xiàn)。

2.7 對于“區(qū)間是集合嗎？”的調(diào)查結(jié)果及分析

區(qū)間是一種特殊的集合，然而調(diào)查結(jié)果顯示大多數(shù)學生（84.1%）并不知道這個事實或者曲解了這個事實。

區(qū)間是一類特殊的集合，它的元素均是實數(shù)，之所以很多學生否定這個事實，主要在于區(qū)間的寫法與集合的描述法、列舉法的寫法存在形式上的不同。學生們在學習集合這個概念之初就熟悉用花括號的記法，而區(qū)間用的是圓括號和方括號，這個明顯的差異導致許多學生認為區(qū)間不是集合。因此，對于集合概念的教學應(yīng)該突出概念的本質(zhì)，不要拘泥于概念的形式，也就是要“注重實質(zhì)，淡化形式”。

3 建議

從前述的調(diào)查結(jié)果可以看出，職前數(shù)學教師對于集合概念的理解并不理想，與調(diào)查之初的預(yù)想存在較大的反差。職前數(shù)學教師所掌握的集合知識缺少完整度，知識與知識的聯(lián)系比較松散；對于概念的理解主觀膩斷，往往會“望文生義”出現(xiàn)似是而非的錯誤理解；缺少數(shù)學探究的理性精神，學習中很少“打破砂鍋問到底”；對于許多有關(guān)集合概念的知識存在學習盲區(qū)，欠缺部分必要的學科知識。基于存在的這些問題，筆者提出以下一些建議。

3.1 對高師課程改革的建議

基礎(chǔ)教育課程改革如火如荼，但與之緊密聯(lián)系的高師課程改革則嚴重滯后?；A(chǔ)教育課程改革的核心之一就是提升教師的知識與能力，需要高師院校培養(yǎng)適應(yīng)新課程的新教師，高師課程改革迫在眉睫。2012年，教育部組織出版了各科的《中小學教師專業(yè)發(fā)展標準及指導》，[1]為高師課程改革提供了依據(jù)，廣大高師院校應(yīng)該認真落實，對自身的課程體系進行調(diào)整以適應(yīng)新形勢的需要。在具體操作中，職前數(shù)學教師教育課程應(yīng)該消除高等數(shù)學與初等數(shù)學的界限，并針對當前絕大多數(shù)數(shù)學教師的數(shù)學史與數(shù)學文化知識整體欠缺的現(xiàn)狀，[2]開設(shè)一些諸如《高觀點下的初等數(shù)學》《數(shù)學史》《數(shù)學文化》等宏觀理解整個數(shù)學體系的課程；同時，應(yīng)該增加數(shù)學教學知識類課程的比重，使學生能夠把中小學數(shù)學的學術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)，從而體現(xiàn)出數(shù)學教師工作的專業(yè)性；最后，職前數(shù)學教師教育課程應(yīng)設(shè)置實踐性及研究性的課程，增強職前數(shù)學教師的學習主動性和探究性，達到對于特定專題的深刻理解與掌握。

3.2 對職前數(shù)學教師教育者的建議

作為職前數(shù)學教師教育者，首先應(yīng)該在思想上重視日常的教學，不能把教學工作簡單地理解為照本宣科，而應(yīng)當想辦法做實事，使整個教學過程更具有效性；其次，職前數(shù)學教師教育者在教學中應(yīng)該告訴學生知識的來龍去脈，避免“燒中段”式的灌輸教學；再次，職前數(shù)學教師教育者應(yīng)該研究教學過程的規(guī)律，把教學與教學研究結(jié)合起來，促進自身教學水平的提高；最后，應(yīng)該改變當前職前數(shù)學教師教育者過于偏重科研的現(xiàn)狀，把教學績效與科研績效放在同等重要的位置，使其愿意投身教學及教學研究。

3.3 對職前數(shù)學教師的建議

作為一名職前數(shù)學教師，應(yīng)當熟練掌握基礎(chǔ)數(shù)學教育中的核心數(shù)學概念，對不同數(shù)學概念之間的關(guān)聯(lián)應(yīng)該深入理解，比如要知道基礎(chǔ)數(shù)學教育中有哪些關(guān)鍵的數(shù)學概念，哪個概念是某一概念的上位或并列概念，采用怎樣的形式設(shè)計某個數(shù)學概念的教學過程等。職前數(shù)學教師如果能弄清楚這些問題，就能夠在將來的教學過程中游刃有余，進而避免復制粘貼式地教“教材”，做到因時、因地、因人地用“教材”教。[3]

4 結(jié)語

有好的教師，才有好的教育。未來教育對教師的素質(zhì)提出了更高更新的要求，也對未來的教師——職前數(shù)學教師提出了更高更新的要求。[4]職前數(shù)學教師教育者應(yīng)該幫助職前數(shù)學教師正確理解初等數(shù)學中的核心概念，打好整個概念體系的基樁，貫通概念之間千絲萬縷的聯(lián)系，以減少迷思概念產(chǎn)生的機率。職前數(shù)學教師教育課程體系應(yīng)該進行調(diào)整，開設(shè)一些諸如《高觀點下的初等數(shù)學》《數(shù)學史》等可以宏觀理解整個數(shù)學體系的課程；職前數(shù)學教師教育者應(yīng)該重視日常教學活動，使教學過程更具有效性；職前數(shù)學教師應(yīng)當掌握基礎(chǔ)數(shù)學教育中的核心概念，理解不同數(shù)學概念之間的關(guān)聯(lián)。

參考文獻

[1] 中小學教師專業(yè)發(fā)展標準及指導課題組. 中小學教師專業(yè)發(fā)展標準及指導（數(shù)學）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2] 李保臻， 孫名符. 新課改背景下高中數(shù)學教師數(shù)學史與數(shù)學文化知識的現(xiàn)狀調(diào)查[J].數(shù)學教育學報， 2013（2）：49-53.

[3] 毛耀忠， 張銳， 劉永平.小學數(shù)學教師的課程取向的調(diào)查與分析[J].寧波大學學報：教育科學版，2012（5）：121-125.

[4] 苗深花.論師范生“為教而學”學習觀的構(gòu)建[J].教育研究， 2012（5）： 90-94.