牟德一，常小定

（中國(guó)民航大學(xué)理學(xué)院，天津 300300）

多重不確定下生產(chǎn)與運(yùn)輸?shù)穆?lián)合優(yōu)化模型

牟德一，常小定

（中國(guó)民航大學(xué)理學(xué)院，天津 300300）

考慮如何根據(jù)不同的運(yùn)輸需求來(lái)組織對(duì)所需產(chǎn)品的生產(chǎn),使得生產(chǎn)和運(yùn)輸總成本最小。在假設(shè)需求量為隨機(jī)變量的條件下,生產(chǎn)廠家生產(chǎn)單位產(chǎn)品所需的成本和所消耗的原材料為不確定變量,從而建立了生產(chǎn)運(yùn)輸?shù)牟淮_定隨機(jī)規(guī)劃模型。最后,一個(gè)實(shí)例表明了所建立的模型是有效的。

生產(chǎn)管理;運(yùn)輸問(wèn)題;不確定變量;不確定隨機(jī)規(guī)劃

對(duì)于生產(chǎn)企業(yè)來(lái)說(shuō)，生產(chǎn)問(wèn)題和運(yùn)輸問(wèn)題是很重要的問(wèn)題，通常這兩個(gè)問(wèn)題被單獨(dú)考慮。然而為了尋求利益的最大化，企業(yè)不得不考慮生產(chǎn)與運(yùn)輸?shù)恼麄€(gè)過(guò)程，不僅要安排合理的生產(chǎn)計(jì)劃，還要規(guī)劃出相應(yīng)的運(yùn)輸方案。因此，許多研究者開(kāi)始綜合考慮生產(chǎn)與運(yùn)輸，優(yōu)化生產(chǎn)-運(yùn)輸系統(tǒng)的問(wèn)題。Glover，Jones，and Karney（1979）以供應(yīng)鏈管理（SCM）的形式提出了生產(chǎn)-分配-庫(kù)存的規(guī)劃系統(tǒng)（PDI）[1]；Blumenfeld，Burns，and Daganzo（1991）建立了生產(chǎn)和運(yùn)輸?shù)恼夏Ｐ蚚2]；Holmberg and Tuy（1999）假設(shè)需求為隨機(jī)變量，研究并提出了具有隨機(jī)需求和凹生產(chǎn)成本函數(shù)的生產(chǎn)-運(yùn)輸模型[3]。然而，這些模型都直接或間接地與庫(kù)存相聯(lián)系，其中庫(kù)存成本占據(jù)著總成本中相當(dāng)大的部分。顯然，為了降低成本，有必要建立直接的生產(chǎn)-運(yùn)輸模型，以尋求利益的最大化。

另一方面，在實(shí)際的生產(chǎn)-運(yùn)輸過(guò)程中，由于原材料的缺乏、市場(chǎng)情況的變化、天氣以及道路條件的變化等諸多因素，使得原材料的供應(yīng)量、生產(chǎn)和運(yùn)輸成本、需求量等成為不確定變量。為了處理這種不確定性，Liu（2007）提出了不確定理論，隨后，將不確定理論應(yīng)用于生產(chǎn)和生活實(shí)踐之中，提出不確定規(guī)劃[4]，建立不確定模型；并在2013年重新補(bǔ)充和修訂了這一理論[5]。于是，更多的研究者開(kāi)始從事這一領(lǐng)域的研究工作?；谶@一不確定規(guī)劃，Rong（2011）提出了兩個(gè)具有不確定成本的不確定庫(kù)存模型[6]；Mou等（2013）建立了最小化運(yùn)輸時(shí)間的運(yùn)輸模型[7]；Gao（2012）研究了不確定設(shè)備選址問(wèn)題[8]。但到目前為止，尚未見(jiàn)到利用不確定理論研究生產(chǎn)和運(yùn)輸聯(lián)合決策問(wèn)題的報(bào)告。在實(shí)際的生產(chǎn)-運(yùn)輸?shù)倪^(guò)程中，產(chǎn)品與原料信息數(shù)據(jù)往往相對(duì)缺乏，此時(shí)需利用專家意見(jiàn)來(lái)綜合出相關(guān)量的不確定性度量，而不確定理論提供了此類問(wèn)題的建模工具。

基于以上考慮，本文將利用不確定規(guī)劃研究生產(chǎn)-運(yùn)輸問(wèn)題。在最優(yōu)化生產(chǎn)和運(yùn)輸?shù)牟僮鬟^(guò)程中，不僅要使原材料得到充分利用，而且還要使得運(yùn)輸需求得到盡可能的滿足。于是，在生產(chǎn)過(guò)程中運(yùn)用不確定機(jī)會(huì)約束，而在運(yùn)輸過(guò)程中利用隨機(jī)機(jī)會(huì)約束，建立生產(chǎn)運(yùn)輸?shù)牟淮_定-隨機(jī)的聯(lián)合優(yōu)化模型，并研究此模型的確定性等價(jià)問(wèn)題以及求解方法。最后給出一個(gè)算例。

1 基本知識(shí)

本節(jié)介紹不確定理論的一些基本知識(shí)，作為后續(xù)問(wèn)題的研究基礎(chǔ)。

定義1 從不確定空間（Γ，L，M）到實(shí)數(shù)集的可測(cè)函數(shù)ξ=ξ（r）稱為不確定變量，如對(duì)任意的實(shí)數(shù)博雷爾集B，集合

是一個(gè)事件。

于是，對(duì)于一組不確定變量ξ1，ξ2，…，ξn和一實(shí)值可測(cè)函數(shù)f，有

為了進(jìn)一步研究不確定變量，像概率分布那樣，下面給出不確定分布的概念。

定義2 設(shè)ξ是一個(gè)不確定變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，稱

為不確定變量ξ的不確定分布函數(shù)。

為了根據(jù)不確定分布計(jì)算不確定測(cè)度，Liu（2013）提出了測(cè)度反演定理。

定理1 設(shè)ξ是一個(gè)不確定變量，且有連續(xù)的不確定分布Φ，那么對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，有

定義3 不確定分布Φ被稱為是規(guī)則的，如果對(duì)每一個(gè)α∈（0，1），其逆函數(shù)Φ-1（α）都存在且唯一。

定理2 設(shè)ξ1，ξ2，…，ξn是獨(dú)立的不確定變量，且分別有規(guī)則的不確定分布Φ1，Φ2，…，Φn。如果函數(shù)f（x1，x2，…，xn）對(duì)于x1，x2，…，xm是嚴(yán)格增的，對(duì)于xm+1，xm+2，…，xn是嚴(yán)格減的，那么

是一不確定變量，且有逆不確定分布

定義4 設(shè)ξ是一個(gè)不確定變量，那么ξ的期望值為

假設(shè)這兩個(gè)積分中至少有一個(gè)是有限的。

定理3 設(shè)ξ是一個(gè)不確定變量，且有規(guī)則的不確定分布Φ，如果期望值存在，那么有

同時(shí)，Liu（2013）提出了期望值算子的線性性質(zhì)，即

其中：ξ、η為兩個(gè)獨(dú)立的不確定變量且有有限的期望值；a，b為任意的兩實(shí)數(shù)。

2 問(wèn)題的描述及分析

生產(chǎn)-運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)建模的基本目標(biāo)是優(yōu)化生產(chǎn)-運(yùn)輸成本，在考慮生產(chǎn)過(guò)程中原材料的消耗和加工的同時(shí)，還應(yīng)充分把握運(yùn)輸過(guò)程中節(jié)約成本的機(jī)會(huì)。在生產(chǎn)過(guò)程中，降低生產(chǎn)成本的同時(shí)，必須在各自的生產(chǎn)能力范圍之內(nèi)安排自己的生產(chǎn)任務(wù)。在利用不同的運(yùn)輸工具進(jìn)行運(yùn)輸時(shí)，單位運(yùn)輸成本會(huì)有所不同；因此，必須制定基于需求的運(yùn)輸方案，以達(dá)到減少不必要的運(yùn)輸和降低運(yùn)輸成本的目的。

本文將考慮不確定需求下的單產(chǎn)品生產(chǎn)-運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)（多個(gè)生產(chǎn)商和多個(gè)客戶）。根據(jù)不同的運(yùn)輸需求來(lái)組織對(duì)所需產(chǎn)品的生產(chǎn)，使得生產(chǎn)-運(yùn)輸總成本最小。在需求量為隨機(jī)變量，生產(chǎn)廠家生產(chǎn)單位產(chǎn)品所需的成本和所消耗的原材料為不確定變量的條件下，利用不確定規(guī)劃和隨機(jī)規(guī)劃方法建立了生產(chǎn)運(yùn)輸?shù)牟淮_定隨機(jī)規(guī)劃模型。

3 模型的建立

3.1 不確定的產(chǎn)品生產(chǎn)模型

假設(shè)有m個(gè)生產(chǎn)廠家，為n個(gè)不同的客戶生產(chǎn)同一種產(chǎn)品P，P由l（l=1，2，…，k）種原材料h1，h2，…，hk加工而成。又有如下符號(hào)假設(shè)：ci0為廠家i（i=1，2，…，m）的啟動(dòng)成本；ηi為廠家i（i=1，2，…，m）所生產(chǎn)的產(chǎn)品P的單位可變成本，為不確定變量；ξihl為廠家i生產(chǎn)單位產(chǎn)品P所消耗的原材料hl（l=1，2，…，k）的不確定變量；φi為ηi的不確定分布；φihl為ξihl的不確定分布；Shl為原材料hl的供應(yīng)量；yi為廠家i所生產(chǎn)的產(chǎn)品P的產(chǎn)量，為決策變量；Vi為廠家i的生產(chǎn)能力；αhl為預(yù)先給定的置信水平。

基于以上假設(shè)，在充分利用原材料的基礎(chǔ)上，以最小化生產(chǎn)成本為目標(biāo)，建立如下不確定產(chǎn)品生產(chǎn)模型為

在上述模型中，目標(biāo)函數(shù)是最小化期望成本，而主約束為使得原材料得以充分利用的不確定機(jī)會(huì)約束。

3.2 隨機(jī)需求的運(yùn)輸模型

假設(shè)n個(gè)不同的顧客對(duì)產(chǎn)品P的需求是隨機(jī)的，且由上述m個(gè)生產(chǎn)廠家供應(yīng)。符號(hào)假設(shè)如下：cij為從生產(chǎn)廠家i到顧客j的單位運(yùn)輸成本；xij為從生產(chǎn)廠家i到顧客j的運(yùn)貨量，為決策變量為需求量bj是服從正態(tài)分布的獨(dú)立隨機(jī)變量n）為預(yù)先給定的置信水平為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。

根據(jù)傳統(tǒng)的運(yùn)輸問(wèn)題模型，帶有隨機(jī)需求的運(yùn)輸問(wèn)題模型為

在此模型中，主約束使得需求得到最大程度的滿足。

3.3 生產(chǎn)與運(yùn)輸?shù)穆?lián)合優(yōu)化模型

生產(chǎn)問(wèn)題與運(yùn)輸問(wèn)題是運(yùn)籌學(xué)研究的兩個(gè)重要問(wèn)題。當(dāng)考慮由生產(chǎn)商加工產(chǎn)品，再運(yùn)送到顧客的整個(gè)過(guò)程時(shí)，就需要綜合考慮生產(chǎn)和運(yùn)輸兩大重要問(wèn)題。不同的生產(chǎn)計(jì)劃需要安排不同的運(yùn)輸方案；而不同的運(yùn)輸需求也要求生產(chǎn)計(jì)劃有相應(yīng)的調(diào)整。因此，根據(jù)實(shí)際情況的不同以及要實(shí)現(xiàn)的目的的不同，設(shè)計(jì)合理的生產(chǎn)-運(yùn)輸方案將是十分必要的。

在實(shí)際生活中由于生產(chǎn)與運(yùn)輸結(jié)合的緊密性，所以為了減少生產(chǎn)與運(yùn)輸?shù)目偝杀?，必須綜合考慮這兩個(gè)問(wèn)題而不是單個(gè)考慮。首先，為了達(dá)到節(jié)約成本的目的，必須有效地組織生產(chǎn)并安排運(yùn)輸。因此，在這里考慮使得每個(gè)生產(chǎn)商生產(chǎn)的產(chǎn)品全部得以運(yùn)輸，即

基于上式，可根據(jù)需求的變化來(lái)對(duì)產(chǎn)品的生產(chǎn)進(jìn)行有效的調(diào)整，以達(dá)到降低各方成本、優(yōu)化生產(chǎn)運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)的目的。

于是聯(lián)立模型（1）和（2），立即可得不確定環(huán)境下的生產(chǎn)運(yùn)輸聯(lián)合優(yōu)化模型為

為了求解這一模型，根據(jù)3.1節(jié)中介紹的不確定理論，可得如下引理。

引理1 假設(shè)函數(shù)g（x，ξ1，ξ2，…，ξn）對(duì)于 ξ1，ξ2，…，ξk是嚴(yán)格增的，對(duì)于ξk+1，ξk+2，…，ξn是嚴(yán)格減的。如果ξ1，ξ2，…，ξn是獨(dú)立的不確定變量，且分別有不確定分布Φ1，Φ2，…，Φn，那么機(jī)會(huì)約束

成立，當(dāng)且僅當(dāng)

等價(jià)于

由引理1及不確定理論，有如下定理成立。

定理4 不確定機(jī)會(huì)約束

又由概率論的知識(shí)，可得如下定理。

定理5 在模型（2）中，隨機(jī)機(jī)會(huì)約束

等價(jià)于

那么，基于3.1節(jié)中介紹的不確定理論及定理4、定理5，就可得到模型（3）的確定性等價(jià)模型為

這是一個(gè)線性規(guī)劃模型，可用Matlab軟件中的linprog命令求解。

4 數(shù)值算例

假設(shè)某產(chǎn)品P安排在A1、A2、A3三個(gè)產(chǎn)地生產(chǎn)，需消耗h1、h2、h3三種原材料，并分別運(yùn)往四個(gè)銷地B1、B2、B3、B4。又根據(jù)專家意見(jiàn)有：生產(chǎn)單位產(chǎn)品P需消耗原材料h1、h2、h3的量服從線性不確定分布L（ai，hm），i=1，2，3，m=1，2，3。生產(chǎn)產(chǎn)品P的單位可變成本服從ZigZag不確定分布Z（ai，bi，ci），i=1，2，3。目的地j的需求量為隨機(jī)變量，服從正態(tài)分布。表1和表2給出了這些參數(shù)的值以及其他數(shù)值。

表1 生產(chǎn)廠家的各個(gè)參數(shù)值Tab.1 Parameters of manufacturers

另外，假設(shè)信度水平αhl= 0.9，l = 1，2，3，βj= 0.95，j=1，2，3，4。因?yàn)榫€性不確定變量L（a，b）的逆不確定分布為：Φ-1（α）=（1-α）a+αb，ZigZag不確定變量Z（a，b，c）的逆不確定分布為：如果α≥0.5，Φ-1（α）=（2-2α）b+（2α-1）c。又對(duì)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有Φ-1（0.95）=1.645，因此根據(jù)模型（4），立即可得關(guān)于此生產(chǎn)-運(yùn)輸系統(tǒng)的優(yōu)化模型為

表2 單位運(yùn)輸成本及需求量的正態(tài)分布參數(shù)Tab.2 Normal distribution of unit delivery cost and demand

這是一個(gè)線性規(guī)劃模型，用Matlab軟件中的linprog命令可得該模型的解，亦即最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃、運(yùn)輸方案以及生產(chǎn)量和需求量如表3所示。

表3 最優(yōu)運(yùn)輸方案、生產(chǎn)商的產(chǎn)量以及需求地需求量Tab.3 Optimal transportation scheme，manufacturers’outputs and destinations’demands

生產(chǎn)所需的成本為 302.000 0，運(yùn)輸成本為21.260 0，總成本為333.260 0。

5 結(jié)語(yǔ)

本文考慮了生產(chǎn)與運(yùn)輸?shù)恼麄€(gè)過(guò)程，研究了具有多生產(chǎn)商多目的地的單產(chǎn)品生產(chǎn)-運(yùn)輸問(wèn)題。在生產(chǎn)過(guò)程中，通過(guò)引入不確定理論，提出了不確定的產(chǎn)品生產(chǎn)模型；在運(yùn)輸過(guò)程中，假設(shè)需求量為隨機(jī)變量，建立了隨機(jī)需求的運(yùn)輸模型?；诟鶕?jù)不同的運(yùn)輸需求來(lái)組織對(duì)所需產(chǎn)品的生產(chǎn)，使得生產(chǎn)運(yùn)輸總成本最小的生產(chǎn)-運(yùn)輸方案的考慮，假設(shè)所生產(chǎn)的產(chǎn)品能夠及時(shí)全部地運(yùn)送到需求地，從而聯(lián)立不確定的產(chǎn)品生產(chǎn)模型和隨機(jī)需求的運(yùn)輸模型，建立了生產(chǎn)-運(yùn)輸?shù)穆?lián)合優(yōu)化模型。通過(guò)對(duì)目標(biāo)函數(shù)取期望以及對(duì)約束函數(shù)取信度，將這一不確定隨機(jī)的聯(lián)合優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化為確定性的模型。此確定性模型是一線性規(guī)劃模型，可利用Matlab求解。最后，通過(guò)一個(gè)實(shí)例說(shuō)明本文所建立模型和方法是有效的。

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（責(zé)任編輯：楊媛媛）

圖13 盈虧平衡分析Fig.13 Breakeven analysis

本算例中的研制成本、定價(jià)和盈虧平衡點(diǎn)分析，是在一系列假設(shè)條件下得到的，當(dāng)這些假設(shè)因素變化時(shí)，結(jié)論將隨之變化。對(duì)主要影響因素討論如下：

1）發(fā)動(dòng)機(jī)和系統(tǒng)采購(gòu)成本 每架機(jī)增加發(fā)動(dòng)機(jī)和系統(tǒng)采購(gòu)成本500萬(wàn)美元，盈虧平衡點(diǎn)為232架；

2）熟練系數(shù) 勞務(wù)成本的熟練因子b的假設(shè)，如果從0.85變?yōu)?.88，盈虧平衡點(diǎn)將變?yōu)?43架；

3）客戶服務(wù)支出 如果客戶服務(wù)支出占銷售收入的比例從5%升為8%，盈虧平衡點(diǎn)將變?yōu)?28架；

4）項(xiàng)目研制周期 增加項(xiàng)目研制周期，將增加非重復(fù)成本和盈虧平衡架數(shù)。

4 結(jié)語(yǔ)

本文描述了民機(jī)產(chǎn)品的全壽命周期成本的定義與初步估算方法，以基于DOC的競(jìng)爭(zhēng)定價(jià)為紐帶，形成完整的民機(jī)項(xiàng)目經(jīng)濟(jì)可行性分析模型。通過(guò)工程實(shí)踐，具有一定的實(shí)際指導(dǎo)意義。

當(dāng)然，在國(guó)產(chǎn)民機(jī)型號(hào)的實(shí)際應(yīng)用中還存在一些問(wèn)題，主要表現(xiàn)在：①成本數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)規(guī)范不能滿足評(píng)估模型要求，包括研發(fā)成本統(tǒng)計(jì)規(guī)范和運(yùn)營(yíng)成本統(tǒng)計(jì)規(guī)范；②成本經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)缺失和矛盾，對(duì)模型的應(yīng)用提出了較大的挑戰(zhàn)；③本模型還未考慮時(shí)間價(jià)值的因素，計(jì)算存在誤差。解決上述問(wèn)題，將是未來(lái)主要的研究方向。

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（責(zé)任編輯：黃 月）

Joint optimization model of production and transportation under multi-uncertainty

MOU De-yi，CHANG Xiao-ding
（College of Science，CAUC，Tianjin 300300，China）

Organizing the required products’manufacture according to various transporting demands can make the total cost of manufacture and transportation the least.Consuming that the delivery demands are random variables，and the cost of unit product manufacture as well as the consumed raw materials are uncertain variables，the uncertain stochastic programming model about production and transportation is developed.Finally，a practical case verifies the effectiveness of the model.

production management；transportation problem；uncertain variables；uncertain-stochastic programming

O221

:A

:1674-5590(2015)02-0060-05

2013-10-23；

:2013-11-11

:中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)（ZXH2012K005）

牟德一（1960—），男,四川合江人，教授，博士，研究方向?yàn)檫\(yùn)籌與優(yōu)化、航空運(yùn)輸管理.