陳兵奎,梁棟,彭帥,覃思玲,張建州

(重慶大學(xué)機械傳動國家重點實驗室,400030,重慶)

?

共軛曲線齒輪嚙合管齒面的幾何及接觸特性分析

陳兵奎,梁棟,彭帥,覃思玲,張建州

(重慶大學(xué)機械傳動國家重點實驗室,400030,重慶)

在已有共軛曲線齒輪研究的基礎(chǔ)上,對一種新型高性能共軛曲線齒面——嚙合管齒面的幾何及接觸特性進行了分析?；诳臻g曲線三棱形模型定義了嚙合管齒面壓力角,并討論了該壓力角對輪齒齒廓及嚙合等的影響;利用齒輪幾何學(xué)原理分析了嚙合管齒面不發(fā)生根切的一般條件,概述了嚙合管齒面誘導(dǎo)法曲率及誘導(dǎo)短程撓率的一般計算方法;提出了新型嚙合管齒面避免嚙合及曲率干涉的理論及方法;綜合考慮齒面嚙合的特點及常規(guī)方法的復(fù)雜性,提出了一種基于共軛曲線計算嚙合管齒面滑動率的方法,并論證了嚙合管齒面嚙合具有共軛繼承性,揭示了齒面嚙合的本質(zhì)及規(guī)律。研究結(jié)果表明,該嚙合管齒面具有優(yōu)良的幾何及接觸特性。

齒輪;共軛曲線;嚙合管齒面;壓力角;誘導(dǎo)法曲率;共軛繼承性

作為機械傳動的一種重要形式,齒輪是制造裝備業(yè)和國防工業(yè)中極其重要的關(guān)鍵基礎(chǔ)件,被認為是工業(yè)的象征[1]。隨著我國國民經(jīng)濟的高速發(fā)展,高端重大裝備對高性能齒輪傳動的需求日益迫切且逐年增長,齒輪產(chǎn)品盡管在技術(shù)手段和性能方面有了長足的發(fā)展,但是與國際先進水平相比仍然存在著諸多問題。在航空航天、新能源、高鐵和艦船等高速、重載應(yīng)用領(lǐng)域,就齒輪元件而言,更加要求滿足長壽命、高承載能力、高可靠性、高功質(zhì)比(輕量化)、低噪聲等性能。

齒面是齒輪創(chuàng)新發(fā)展的關(guān)鍵因素,也是影響其傳動性能的因素之一。共軛曲面嚙合理論作為現(xiàn)有齒輪傳動的理論基礎(chǔ),已經(jīng)建立了較為系統(tǒng)、全面的體系[2-3]。然而,生產(chǎn)和技術(shù)的發(fā)展使得現(xiàn)有齒輪傳動逐漸難以或者很難經(jīng)濟地滿足更高傳動性能的要求,越來越多的國內(nèi)外學(xué)者通過輪齒修形、材料改進和齒形設(shè)計等方式來解決當(dāng)前的問題[4-9]。

在此背景下,作者在充分考慮曲線接觸多樣性的基礎(chǔ)上,提出了一種全新的齒輪傳動嚙合理論——共軛曲線嚙合理論,分析、闡述了共軛曲線嚙合的基本原理,建立了輪齒齒面構(gòu)建的基本方法,并提出了新型高性能的齒輪傳動形式,開展了相關(guān)理論及應(yīng)用方面的研究[10-13]。其中,基于等距包絡(luò)方法構(gòu)建出的嚙合管齒面具有共軛曲線的優(yōu)良特性。為了分析論證該新型齒面的性能,進一步促進其在工程上的應(yīng)用,本文著重對共軛曲線齒輪嚙合管齒面的幾何及接觸特性開展了研究:定義了嚙合管齒面壓力角,討論了齒面不發(fā)生根切的一般條件,并計算了嚙合管齒面誘導(dǎo)法曲率及誘導(dǎo)短程撓率;分析了該新型齒面的嚙合干涉及曲率干涉,提出了避免此類干涉的一般方法;考慮齒面沿共軛曲線呈軸向點接觸運動,提出了滑動率計算通式;最后,論證了嚙合管齒面接觸的共軛繼承性問題。

1 嚙合管齒面成形原理與方法

在傳統(tǒng)共軛曲面理論中,齒形設(shè)計主要采用2種方法:包絡(luò)法和齒形法線法[3]。對于共軛曲線齒輪來說,要構(gòu)建一對能夠保持共軛曲線嚙合特性的嚙合齒面來實現(xiàn)運動和動力的傳遞,主要面臨2個問題:一是一條曲線可以存在于多種曲面上,需要建立起由共軛曲線到輪齒齒面的“橋梁”關(guān)系;二是所構(gòu)建的輪齒齒面必須能夠繼承或保持共軛曲線的全部性質(zhì)。

作者在前期研究中,基于共軛曲線原理提出了等距包絡(luò)方法來構(gòu)建嚙合管齒面,即以適當(dāng)半徑的球面沿共軛曲線的給定法向等距線運動包絡(luò)出嚙合管,推導(dǎo)建立了一對共軛曲線的等距線及嚙合管齒面方程,并通過截取含有曲線部分的嚙合管得到輪齒齒面。此外,選定不同的等距方向和等距量以獲得不同類型的嚙合管副,論證了凸凹接觸的齒廓類型適合實際齒輪傳動及工程應(yīng)用[11]。

圖1簡明地表示了嚙合管齒面等距包絡(luò)成形的基本原理及方法。通過共軛曲線的法向等距線求解及單參數(shù)曲面族的包絡(luò)運動,可以得到理想的嚙合管齒面,齒面方程可表示為

(1)

式中:i=1,2分別表示在齒輪坐標(biāo)系S1和S2條件下;xdi、ydi、zdi分別表示共軛曲線沿給定接觸角方向的法向等距線的各坐標(biāo)分量;di為曲線Γi和等距曲線Γni之間的法向距離;t為曲線參數(shù);φ、α為球面族參數(shù);Φ(t,φ,α)=0為齒面嚙合條件。圖中Sr(Or-xr,yr,zr)為球面坐標(biāo)系。

圖1 嚙合管齒面成形示意圖

2 嚙合管齒面幾何特性分析

2.1 壓力角定義

壓力角在齒廓成形過程中起著重要的導(dǎo)向作用,其大小也影響著齒輪的受力情況和齒輪強度。通常漸開線齒輪傳動分度圓壓力角定義為嚙合點處法線方向(或受力方向)與速度方向的夾角,而圓弧齒輪傳動中一般齒面的初始接觸點都在工作圓弧的中點,壓力角可以看作是齒廓圓心和給定接觸點的連線與節(jié)線的夾角。

根據(jù)齒輪傳動特性及齒廓成形原理,嚙合管齒面壓力角定義為法面內(nèi)齒廓給定接觸點和齒廓圓心的連線與該截面節(jié)線的夾角,如圖2所示。

圖2 壓力角定義一示意圖

圖3 壓力角定義二示意圖

參照一般漸開線齒輪傳動的設(shè)計方法,將嚙合管齒面的壓力角定義為齒輪共軛曲線嚙合點處給定的法線方向與速度方向的夾角,如圖3所示。根據(jù)前述理論推導(dǎo),基于所建立的空間曲線基本三棱形,將曲線上任意點處的法矢量表示成關(guān)于主法矢和副法矢的線性組合。沿任意給定接觸方向的法矢量和接觸點處的速度表達式見文獻[10],壓力角可以采用如下方程表示

(2)

上述2種壓力角的定義在實質(zhì)上是一致的。第一種情況是從所成形的齒廓的角度將接觸點與圓心的連線(即徑向線)與節(jié)線的夾角定義為壓力角;第二種情況是從共軛曲線的角度將齒輪共軛曲線接觸點處給定的法線方向與瞬時運動速度方向的夾角定義為壓力角?？紤]壓力角定義的實用性及通用性,第一種定義較為簡單,在后續(xù)的輪齒齒面設(shè)計及分析中都將采用該方法。

在每一個齒廓截面上,隨著齒廓旋轉(zhuǎn)的變化,節(jié)線及齒廓接觸點位置都在發(fā)生改變,但是壓力角仍然保持不變。嚙合管齒面接觸是沿附著在齒面上的一對共軛曲線運動的,共軛曲線的取值在一定的范圍內(nèi)。壓力角增大則齒輪承受的徑向分力也增大,軸承的負擔(dān)加重,壽命縮短。在齒高一定的情況下,隨壓力角增大齒根變厚,齒廓圓弧半徑減小,力作用點到齒根危險截面的距離變短,所以齒根彎曲強度增加;隨壓力角減小齒廓圓弧半徑增大,齒面接觸強度提高。

2.2 根切問題討論

(3)

其中s為引入的弧長參數(shù),從而可在Σ1上確定出一條可以形成Σ2上的奇異點的曲線。通過該線來限定Σ1,就能避免在Σ2上出現(xiàn)奇異點。進一步,Σ2上存在奇異性的充要條件可以表示為

(4)

式中:Δi(i=1,2,3)的表達式可以由如下矩陣獲得

綜上,可以采用如下表達式消除被加工曲面Σ2的奇異性和根切

(5)

2.3 嚙合管齒面誘導(dǎo)法曲率和撓率的一般計算

兩共軛齒面在某一嚙合點處的誘導(dǎo)法曲率反映了其在嚙合點處沿所求方向的貼近程度。根據(jù)微分幾何基礎(chǔ)理論,曲面上任意一點沿既定方向的法曲率K可以表示為

K=H-Qcos2ψ

(6)

式中:ψ為曲面上從某一指定方向到任意方向的有向角;H=(K1+K2)/2;Q=(K1-K2)/2。

(7)

式中:λ1是兩曲面相應(yīng)主方向之間的夾角。該方向的誘導(dǎo)法曲率可由下式求得

K12=(H1-H2)+Q1cos2λ-Q2cos2(λ-λ1)

(8)

(9)

(10)

(11)

由于λ=λ2+ε,所以其誘導(dǎo)短程撓率可表示成

(12)

3 嚙合管齒面接觸特性分析

從嚙合管副的推導(dǎo)過程可知,由于共軛曲線是點接觸嚙合的,因此嚙合管齒面在滿足給定運動時仍然在每一瞬時都是相切點接觸的,即在接觸點處具有相同的法向量和切平面,并且接觸點在嚙合管副的軌跡分別為給定曲線及其共軛曲線。

3.1 齒面干涉分析

空間共軛齒面的工作部分應(yīng)該只含有正常點,排除奇異點,因為在奇異點處齒面的法線和切面是不確定的,會引起齒面的干涉。

3.1.1 嚙合干涉 嚙合管齒面的嚙合實質(zhì)是齒面上一對共軛曲線的點接觸嚙合,共軛曲線是根據(jù)設(shè)計需求,在一定取值范圍內(nèi)選取的特定曲線。配對齒輪沿齒面接觸曲線嚙合,其接觸區(qū)域是曲線初始端與末端所在的區(qū)域,如圖4所示。接觸線在端面齒廓上的投影用接觸弧長來表示。接觸弧長通常是指大、小齒輪的齒面接觸曲線在端面投影的弧長。接觸弧長大則表示接觸區(qū)域面積大,因而齒面的承載能力就高。

圖4 齒面嚙合區(qū)域示意圖

圖5 齒面嚙合干涉示意圖

當(dāng)配對齒輪在某一點k處嚙合時,如果在k點處兩齒輪的曲率半徑差太小,或某一齒輪齒頂伸入到過渡曲線內(nèi),或由于制造裝配等原因,會導(dǎo)致在嚙合點處存在嚙合干涉,嚙合干涉量的大小用Δk表示。如圖5所示,一對嚙合管齒面在k處正常嚙合時,凸凹圓弧齒廓在該點處呈點接觸,且能夠滿足一定條件的曲率及嚙合關(guān)系。當(dāng)在嚙合點處存在上述原因?qū)е碌母缮鏁r,齒輪不在理論嚙合點處接觸而是嵌入齒面內(nèi)部,從而使圓弧齒廓之間發(fā)生相交。M1、M2是相交弧的2個端點,k′是齒面嵌入后相距理論嚙合點的最大距離點,嚙合干涉量通過k和k′兩點間的距離來度量,有

Δk=[(xk-xk′)2+(yk-yk′)2]1/2

(13)

3.1.2 曲率干涉 參照前面誘導(dǎo)法曲率的計算分析,規(guī)定嚙合管齒面Σ1和Σ2在接觸點處的公法線矢量n的方向是由Σ1的實體指向空域(如圖6所示),則它們的誘導(dǎo)法曲率K12必須是負值,兩齒面才能正常地嚙合[3]。反之,若K12為正值,則Σ1和Σ2的實體會發(fā)生干涉,從而使它們不可能正常嚙合。

(a)凹向相反 (b)凹向相反(K1<0,K2>0) (K1<0,K2<0)

(c)凹向相同 (d)凹向相同(K1<0,K2<0) (K1>0,K2>0)圖6 齒面嚙合干涉示意圖

3.2 滑動率分析

一對共軛齒面在任意一點相互接觸時,在嚙合點處的速度大小和方向都不相同,因而兩齒廓在嚙合過程中存在相對滑動。嚙合副的滑動率一般定義為:在同一時間內(nèi),齒輪1和齒輪2配對嚙合齒面上移動弧長和滑動弧長之比的極限值[14]。在通常情況下,齒輪嚙合副的滑動率是根據(jù)已知的齒廓曲線,按照一定的幾何關(guān)系計算出來的。由于嚙合管齒面?zhèn)鲃拥膶嵸|(zhì)是齒面共軛曲線彼此在空間內(nèi)沿軸向的點接觸運動,用常規(guī)方法求解其滑動率較為復(fù)雜,因此在討論滑動率特性時,以相互嚙合的共軛曲線為出發(fā)點進行分析。

圖7 滑動率分析示意圖

(14)

(15)

根據(jù)共軛曲線嚙合的基本原理[10]

式中:i21為齒輪副傳動比;φ1表示齒輪1繞齒輪軸線旋轉(zhuǎn)過的角度;

c1=sin((1+i21)φ1);c2=cos((1+i21)φ1);

c1t=(1+i21)φ1tc2;c2t=-(1+i21)φ1tc1;

表達式E、F、M可根據(jù)文獻[10]查得?？苫诠曹椙€嚙合副方程來求解嚙合管齒面滑動率,并不需要求解復(fù)雜的幾何關(guān)系等。這種方法可應(yīng)用于滿足此類傳動特點的任意共軛嚙合副。

3.3 共軛繼承性論證

共軛曲線的嚙合過程為點接觸,兩條空間曲線在嚙合接觸過程中始終保持連續(xù)相切接觸于一點。嚙合管齒面的構(gòu)建過程實際上也反映了由曲線到曲面的形成機理。根據(jù)描述,嚙合管齒面依據(jù)理想特性構(gòu)建,并繼承了共軛曲線的嚙合特性,本小節(jié)將論證嚙合管齒面在接觸過程中的共軛繼承性問題。

假定嚙合過程中齒面在某一接觸點處嚙合,利用坐標(biāo)變換關(guān)系rΣ10=M01rΣ1和rΣ20=M02rΣ2分別將齒面轉(zhuǎn)換到固定坐標(biāo)系S下,建立嚙合的基本關(guān)系,尋找不同參數(shù)間的關(guān)聯(lián)函數(shù),最后求得接觸點。在某一點處兩嚙合管齒面嚙合,滿足

(16)

式中:a為兩齒輪嚙合副之間的中心距,且有φ2=i21φ1。由關(guān)系式zΣ1-zΣ2=0,可以得到參數(shù)t和α之間的關(guān)系

(17)

將式(17)代入式(16)中計算得

xΣ1yΣ2)sin(φ1-i21φ1)-2[xΣ1(xΣ2-a)+

yΣ1yΣ2]cos(φ1-i21φ1)=0

(18)

式(18)中僅包含曲線參數(shù)t,進一步化簡后代入坐標(biāo)系S下的齒面方程式中,即可得到給定接觸條件下的共軛齒面接觸點K(x0,y0,z0)。

利用微分幾何方法求解上述接觸點處的嚙合管齒面法線,并與該點處共軛曲線的給定法線進行對比,以論證其是否為同一條法線。在接觸點K(x0,y0,z0)處,根據(jù)嚙合管齒面方程分別對參數(shù)t和α(這里其余參數(shù)項都表示為與二者相關(guān)的表達式)求導(dǎo)得

(19)

(20)

根據(jù)齒輪幾何學(xué)的一般理論,計算出嚙合管齒面上任意一點處的法向量

(21)

式中

利用Matlab中的符號運算功能并基于上述表達式進行運算,分別得到該法矢量在各坐標(biāo)分量上的表達式,將其化簡并參照共軛曲線嚙合原理中任意接觸角方向的法向矢量方程,得

(22)

即n=nβsinα+nγcosα。

根據(jù)空間曲線基本三棱形關(guān)系,任意接觸角方向的法矢量nn在主法矢和副法矢方向的投影可以寫成關(guān)于角度α0的正弦及余弦形式sinα0、cosα0[10]。因此,共軛曲線過接觸點K(x0,y0,z0)處的法線可以進一步寫成nn=βsinα+γcosα。

圖8 嚙合管齒面與共軛曲線在接觸點處的法線關(guān)系

根據(jù)上面所述可知,在任意接觸點處,嚙合管齒面上的法矢量與共軛曲線在該點處的法矢量是相同的,如圖8所示。進一步對式(18)進行計算,可得到在給定某一角度參數(shù)t0條件下的共軛齒面接觸點。在一系列給定運動條件下,由接觸點組成的曲線可以獲得嚙合管齒面接觸點的運動軌跡,再利用坐標(biāo)變換將其轉(zhuǎn)換到齒輪動態(tài)坐標(biāo)系下,即可得到齒面真實接觸曲線,繼而可論證其與設(shè)定共軛曲線的關(guān)系。轉(zhuǎn)換后兩齒輪齒面的接觸線分別為

(23)

(24)

下面進一步以數(shù)值計算實例進行驗證。以空間圓柱螺旋線為例,按照共軛曲線的基本理論,基于Matlab編制相關(guān)程序,根據(jù)表1中所列的參數(shù),得到圖9所示的嚙合管齒面理論模型示意圖。

表1 嚙合管齒面設(shè)計參數(shù)

圖9a表示了嚙合管螺旋曲面上某一接觸點(16.15 mm,1.883 mm,15.71 mm)處的法線;圖9b表示了給定范圍內(nèi)的一對共軛圓柱螺旋曲線在同一接觸點(16.15 mm,1.883 mm,15.71 mm)處沿給定法線的嚙合情況;圖9c中將嚙合管齒面與共軛曲線進行了對比,可發(fā)現(xiàn)在接觸點處兩者的法線是一致的,并且嚙合管齒面上的接觸軌跡集合(即嚙合曲線)與共軛曲線是重合的。

(a)嚙合管齒面在接觸點處的法線

(b)共軛曲線在接觸點處的法線

(c)嚙合管齒面與共軛曲線在接觸點處的法線關(guān)系圖9 嚙合管齒面與共軛曲線的法線關(guān)系實例對比

綜上,針對嚙合管齒面的共軛繼承性開展的研究表明,嚙合管齒面上接觸點處的法線與共軛曲線在該點處的法線是相同的,并且齒面接觸點的軌跡在兩齒輪坐標(biāo)系下仍為原有嚙合的共軛曲線,由此證實了嚙合管齒面的共軛繼承性。

4 與傳統(tǒng)漸開線齒輪的性能對比

4.1 重合度及最少根切齒數(shù)分析

為了保證齒輪連續(xù)平穩(wěn)地傳動,不僅要求一對輪齒齒面能夠?qū)崿F(xiàn)定傳動比傳動,而且要求傳動時各對輪齒間的“銜接”也要平穩(wěn),因此采用重合度來進行衡量。合理選擇重合度不僅能夠保證傳動的平穩(wěn)性,而且能提高齒輪的承載能力。嚙合管齒面的工作齒廓只有一段圓弧,齒輪經(jīng)過一段時間的跑合后,可認為在端面內(nèi)是瞬時接觸,而在嚙合運動過程中,齒面則始終保持單接觸點沿軸向移動。

共軛曲線齒輪(平行軸)傳動的重合度分為兩部分。一部分為端面重合度,用εα表示,其表達式為

(25)

式中:z1、z2分別表示主、從動齒輪的齒數(shù);αt1、αt2分別表示主、從動齒輪的分度圓壓力角;α′為嚙合角。另一部分是由于輪齒傾斜增加的重合度,稱為縱向重合度,用εβ表示,其計算式如下

(26)

式中:mn表示法面模數(shù)。由式(26)可知,縱向重合度εβ隨著齒寬b和螺旋角β的增大而增大。

從而,該新型齒輪傳動的總重合度

ε=εα+εβ

(27)

傳統(tǒng)漸開線斜齒輪的重合度計算方法參見文獻[15],同樣也是考量端面及縱向重合度因素。

根據(jù)表1和表2中的設(shè)計參數(shù),下面將分別計算共軛曲線齒輪傳動和傳統(tǒng)漸開線齒輪傳動的重合度。

表2 傳統(tǒng)漸開線齒輪設(shè)計參數(shù)

分析發(fā)現(xiàn),由于計算原理相近,采用相同幾何參數(shù)的2種齒輪傳動的重合度計算結(jié)果近似相同,共軛曲線齒輪傳動的重合度略大于傳統(tǒng)漸開線斜齒輪的重合度,從而具有較好的嚙合平穩(wěn)性能和承載能力等。

對于共軛曲線齒輪嚙合管齒面來說,由于是采用曲線作為嚙合基本元素,并且共軛曲線沿給定接觸角方向嚙合,所以通過給定任意光滑曲線即可實現(xiàn)不同接觸方向的共軛曲線嚙合。在曲線共軛嚙合的基礎(chǔ)上,利用等距包絡(luò)方法構(gòu)建出嚙合管齒面,選定不同的等距方向和等距量可以得到不同類型的嚙合管副。由于該嚙合管齒面的嚙合實質(zhì)為沿共軛曲線的軸向點接觸嚙合,充分利用了曲線的多樣性及靈活性,所以可以獲取理想的齒面,甚至較大的螺旋角,最少齒數(shù)可達到1。根據(jù)表1和表2中的參數(shù),基于Pro/E三維造型軟件得到的齒輪模型如圖10所示。

(a)漸開線齒輪 (b)共軛曲線齒輪圖10 2種齒輪模型對比

4.2 齒面滑動情況

兩齒輪在任意一點相互接觸時,在嚙合點處速度的大小和方向都不相同,因而齒廓在切線方向的速度值就必然不相等,也就是說,齒廓在嚙合過程中兩齒面間存在相對滑動。相對滑動的大小也影響著齒輪齒面的磨損情況,所以為了提高齒輪的傳動質(zhì)量,就必須盡量減小齒面間的相對滑動。本小節(jié)以漸開螺旋線齒輪為例,通過滑動率計算并與普通漸開線齒輪進行對比,來分析共軛曲線齒輪傳動的齒面滑動情況。

根據(jù)3.2節(jié)中的滑動率分析方法,采用文獻[13]中給定的齒輪1和齒輪2的共軛漸開螺旋線方程,代入計算得滑動率

(28)

(29)

利用Matlab數(shù)值軟件編寫相關(guān)程序,根據(jù)表1和表2中的參數(shù),計算得到圖11a所示的漸開螺旋線齒輪齒面滑動率和圖11b所示的普通漸開線齒輪齒面滑動率的計算結(jié)果。

(a)漸開螺旋線齒輪

(b)普通漸開線齒輪圖11 2種齒輪齒面的滑動率計算結(jié)果對比

從圖11a中可以看出,漸開螺旋線齒輪傳動的齒面滑動率是關(guān)于曲線參數(shù)θ(即嚙合點位置變化)的函數(shù),在θ=0.403 rad嚙合時,滑動率值為0,在該節(jié)點兩側(cè)的不同點嚙合時,由于滑動速度方向的改變而使滑動率的符號發(fā)生變化。同時,嚙合管齒廓在整個嚙合區(qū)內(nèi),即齒根圓對應(yīng)的參數(shù)角到齒頂圓對應(yīng)的參數(shù)角之間,滑動系數(shù)最大絕對值均小于0.1,趨近于0,最大滑動率發(fā)生在輪齒嚙入和嚙出的齒根處。與圖11b中的普通漸開線齒輪相比,該新型漸開螺旋線齒輪的齒面滑動率下降了近20倍,并且在嚙合極點處滑動系數(shù)仍然較小,可視為純滾動,因此在相同負載下齒面磨損較小,可以顯著提高傳動效率。

4.3 齒面相對曲率

一對齒面相嚙合時,單個齒面的曲率并不能說明問題。由于在嚙合點處必然存在公法線,因此一對共軛齒面的曲率情況需要通過相對曲率來描述。一般說來,共軛曲線齒輪嚙合管齒面在經(jīng)過跑合后,在齒高方向呈線接觸狀態(tài),此時接觸線歸兩齒面所公有,兩齒面在接觸線處曲率相等,但兩齒面中一個為凸面,另一個為凹面,二者曲率方向相反,所以共軛齒面在齒高方向的法曲率為0,是極小值,而與它垂直的另一相對主曲率為極大值,通常該齒輪以此極大值作為接觸強度設(shè)計的依據(jù)。

基于嚙合管齒面方程(1)可分別求得第一類、第二類基本齊式的系數(shù)。根據(jù)微分幾何理論,平均曲率H代表曲面上已知點的所有法曲率的平均值,它表征曲面在該點的彎曲程度;總曲率K表征曲面上每個點鄰近的結(jié)構(gòu):在給定點,K>0為橢圓點,K<0為雙曲點,K=0為拋物點。將相關(guān)表達式代入平均曲率及總曲率的表達式,由于嚙合管齒面選定為凸、凹齒廓嚙合,所以可參照一般圓弧齒輪方法求得法面齒廓共軛齒面的相對主曲率

(30)

相對主曲率半徑為相對主曲率的倒數(shù),從而有

(31)

對于漸開線斜齒圓柱齒輪,在嚙合點處的主曲率計算可參考文獻[16],計算得

(32)

假定漸開線齒輪齒面的單位法線矢量的方向是由實體指向空間,兩齒面具有共同的法矢,則可得另一齒面的主曲率表達式為

(33)

因此,一對外嚙合的漸開線斜齒輪在嚙合點處的相對主曲率可表示為

(34)

相對主曲率半徑可表示為

(35)

分別將表1和表2中的參數(shù)代入式(35)進行計算,結(jié)果表明共軛曲線齒輪的相對主曲率半徑大于普通漸開線齒輪的相對主曲率半徑,因此相應(yīng)的接觸應(yīng)力小,具有較高的接觸強度。此外,由于共軛曲線齒輪的相對主曲率半徑隨著壓力角和齒輪螺旋角的變化而變化,所以取值應(yīng)合理,以滿足相應(yīng)的性能需求。

目前,漸開線齒輪雖然應(yīng)用廣泛,但仍存在以下問題:①由于漸開線齒輪除節(jié)點外均有滑動,齒數(shù)少時在齒頂和齒根也存在較大滑動,因此很難實現(xiàn)純滾動接觸,影響傳動效率等;②漸開線齒輪的彎曲強度通常允許過載1.5～2倍,不能滿足5倍甚至更高的過載要求;③輪齒多為凸-凸齒面的接觸,接觸強度受到限制。分析表明:共軛曲線齒輪的嚙合管齒面沿軸向呈點接觸狀態(tài),近似純滾動,因而可減小齒面滑動,提高傳動效率;共軛曲線齒輪的輪齒呈短齒或弧齒,可實現(xiàn)少齒數(shù)、大模數(shù)的設(shè)計,提高彎曲強度;共軛曲線齒輪的凸-凹齒面接觸相比凸-凸齒面接觸有效增大了綜合曲率半徑,可提高輪齒的接觸強度。

5 結(jié) 語

(1)針對嚙合管齒面成形及嚙合特點,基于空間曲線三棱形理論模型,將齒面壓力角定義為齒輪曲線嚙合點處給定法線方向與速度方向的夾角,分析了壓力角取值大小對齒形設(shè)計及輪齒強度的影響,討論了嚙合管齒面不發(fā)生根切的一般條件,提出了嚙合管齒面誘導(dǎo)法曲率及誘導(dǎo)短程撓率的一般計算方法。

(2)討論了新型嚙合管齒面的嚙合及曲率干涉兩種情況,提出了避免上述干涉的一般方法;考慮齒面沿共軛曲線呈軸向點接觸運動的實質(zhì),提出了一種基于共軛曲線計算齒面滑動率的方法。

(3)論證了嚙合管齒面具有共軛繼承性,即嚙合管齒面上接觸點處的法線與共軛曲線在該點處的法線是相同的,并且齒面接觸點的軌跡在兩齒輪坐標(biāo)系下仍為嚙合的共軛曲線。

(4)通過與傳統(tǒng)漸開線齒輪性能的對比,進一步說明了共軛曲線齒輪嚙合管齒面的優(yōu)良特性。

后續(xù)將開展針對嚙合管齒面的力學(xué)特性及強度分析,突破共軛曲線齒輪制造的關(guān)鍵技術(shù),通過樣機試驗來評估該齒輪的整體性能,以期為工業(yè)示范應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。

[1] 陳兵奎, 李海翔. 漸開弧面齒輪的形成原理與數(shù)學(xué)模型 [J]. 機械工程學(xué)報, 2012, 48(3): 57-62. CHEN Bingkui, LI Haixiang. Generation principle and mathematical models of involute-circular gear [J]. Journal of Mechanical Engineering, 2012, 48(3): 57-62.

[2] LITVIN F L, FUENTES A. Gear geometry and applied theory [M]. New York, USA: Cambridge University Press, 2004: 97-118.

[3] 吳序堂. 齒輪嚙合原理 [M]. 2版. 北京: 機械工業(yè)出版社, 2009: 56-70.

[4] DOONER D B, GRIFFIS M W. On spatial Euler-Savary equations for envelopes [J]. Journal of Mechanical Design, 2007, 129(8): 865-875.

[5] CHEN Yangzhi, XIANG Xiaoyong, LUO Liang. A corrected equation of space curve meshing [J]. Mechanism and Machine Theory, 2009, 44(7): 1348-1359.

[6] LUO Shanming, WU Yue, WANG Jian. The generation principle and mathematical models of a novel cosine gear drive [J]. Mechanism and Machine Theory, 2008, 43(12): 1543-1556.

[7] 宋朝省, 朱才朝, 劉立斌. 船用交錯軸變厚齒輪嚙合性能的研究 [J]. 西安交通大學(xué)學(xué)報, 2012, 46(11): 64-68. SONG Chaosheng, ZHU Caichao, LIU Libin. Mesh characteristics for marine beveloid gears with crossed axes [J]. Journal of Xi’an Jiaotong University, 2012, 46(11): 64-68.

[8] 馬振群, 王小椿, 沈兵. 對稱弧形線圓柱齒輪的真實齒面接觸分析研究 [J]. 西安交通大學(xué)學(xué)報, 2005, 39(7): 722-725. MA Zhenqun, WANG Xiaochun, SHEN Bing. Real tooth contact analysis of the cylindrical gears with symmetrical arcuate tooth trace [J]. Journal of Xi’an Jiaotong University, 2005, 39(7): 722-725.

[9] 趙寧, 郭輝, 方宗德, 等. 直齒面齒輪修形及承載接觸分析 [J]. 航空動力學(xué)報, 2008, 23(11): 2142-2146. ZHAO Ning, GUO Hui, FANG Zongde, et al. Modification and loaded contact analysis of spur face gears [J]. Journal of Aerospace Power, 2008, 23(11): 2142-2146.

[10]陳兵奎, 梁棟, 高艷娥. 齒輪傳動共軛曲線原理 [J]. 機械工程學(xué)報, 2014, 50(1): 130-136.

CHEN Bingkui, LIANG Dong, GAO Yane. The principle of conjugate curves for gear transmission [J]. Journal of Mechanical Engineering, 2014, 50(1): 130-136.

[11]陳兵奎, 高艷娥, 梁棟. 共軛曲線齒輪齒面構(gòu)建方法 [J]. 機械工程學(xué)報, 2014, 50(3): 18-24. CHEN Bingkui, GAO Yane, LIANG Dong. Tooth profile generation of conjugate-curve gears [J]. Journal of Mechanical Engineering, 2014, 50(3): 18-24.

[12]CHEN Bingkui, LIANG Dong, LI Zhaoyang. A study on geometry design of spiral bevel gears based on conjugate curves [J]. International Journal of Precision Engineering and Manufacturing, 2014, 15(3): 477-482.

[13]LIANG Dong, CHEN Bingkui, GAO Yane. The generation principle and mathematical model of involute-helix gear transmission [J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers: Part C Journal of Mechanical Engineering Science, 2013, 227(12): 2834-2843.

[14]MICHLIN Y, MYUNSTER V. Determination of power losses in gear transmissions with rolling and sliding friction incorporated [J]. Mechanism and Machine Theory, 2002, 37(2): 167-174.

[15]朱孝錄. 齒輪傳動設(shè)計手冊 [M]. 2版. 北京: 化學(xué)工業(yè)出版社, 2010: 23-143.

[16]劉洪斌, 王樹人, 詹東安. 漸開線斜齒輪綜合曲率半徑的解析推導(dǎo) [J]. 山東科技大學(xué)學(xué)報, 2000, 19(4): 31-33. LIU Hong-bin, WANG Shu-ren, ZHAN Dong-an. Analytic deduction of the synthetic curvature radius of involute helical gears [J]. Journal of Shandong University of Science and Technology, 2000, 19(4): 31-33.

[本刊相關(guān)文獻鏈接]

蔣進科,方宗德,蘇進展.寬斜齒輪多目標(biāo)修形優(yōu)化設(shè)計.2014,48(8):91-97.[doi:10.7652/xjtuxb201408016]

劉瑞玲,鐘德星,韓九強.汽車傘齒輪多目視覺檢測系統(tǒng)與算法.2014,48(4):1-7.[doi:10.7652/xjtuxb201404001]

李應(yīng)剛,陳天寧,王小鵬,等.外部動態(tài)激勵作用下齒輪系統(tǒng)非線性動力學(xué)特性.2014,48(1):101-105.[doi:10.7652/xjtuxb201401017]

王朝兵,陳小安,卓婭.新型定日鏡精密跟蹤機構(gòu)的傳動精度研究.2014,48(1):127-132.[doi:10.7652/xjtuxb201401022]

楊羽,毛世民,郭文超,等.利用周節(jié)偏差處理錐齒輪徑向跳動的新方法.2013,47(7):57-61,79.[doi:10.7652/xjtuxb 201307011]

陳彬強,張周鎖,郭婷,等.雙樹復(fù)小波時頻構(gòu)造在齒輪系裝配間隙檢測的應(yīng)用.2013,47(3):7-12.[doi:10.7652/xjtuxb 201303002]

宋朝省,朱才朝,劉立斌.船用交錯軸變厚齒輪嚙合性能的研究.2012,46(11):64-68.[doi:10.7652/xjtuxb201211013]

鄧星橋,向中凡,王進戈.加工和安裝誤差對無側(cè)隙蝸桿傳動接觸線及齒廓的影響.2011,45(2):111-116.[doi:10.7652/xjtuxb201102023]

吳偉烽,馮全科,徐健.單螺桿壓縮機齒型的多圓柱包絡(luò)原理.2007,41(11):1271-1274.[doi:10.7652/xjtuxb200711 005]

馮詩愚,高秀峰,劉衛(wèi)滑,等.內(nèi)嚙合轉(zhuǎn)子壓縮機齒間嚙合效率研究.2007,41(9):1040-1044.[doi:10.7652/xjtuxb200709 008]

凌文鋒,姜虹.應(yīng)用于螺旋錐齒輪熱后精加工的珩齒技術(shù)研究.2007,41(7):815-819.[doi:10.7652/xjtuxb200707014]

馮詩愚,高秀峰,李云,等.新型內(nèi)嚙合齒輪壓縮機的齒間接觸力研究.2007,41(1):46-49.[doi:10.7652/xjtuxb200701 011]

(編輯 葛趙青)

Analysis on Geometric and Contact Characteristics of Tubular Meshing Tooth Surfaces for Conjugate-Curve Gears

CHEN Bingkui,LIANG Dong,PENG Shuai,QIN Siling,ZHANG Jianzhou

(State Key Laboratory of Mechanical Transmission, Chongqing University, Chongqing 400030, China)

Based on the existing research of conjugate-curve gears, geometric and contact characteristics analysis on a new type of conjugate tooth surface named tubular meshing tooth surface is carried out. Pressure angle of tubular meshing tooth surfaces is defined in terms of a space curve trihedron model, and the effects of this pressure angle on the tooth profile and contact strength are discussed. According to gear geometry, the non-undercutting conditions of tooth surfaces are discussed and the calculation methods of induced normal curvature and torsion are proposed. The theoretical descriptions for avoiding meshing and curvature interference are given. Considering the contact characteristics and the complexity of conventional methods, a new approach to the calculation of sliding ratio of conjugate-curve gear pair based on conjugate curves is provided. The conjugate successive property of tubular tooth surfaces is demonstrated, and the nature and rule of tooth surfaces meshing are revealed. The research results show that the tubular meshing tooth surfaces have good geometric and contact characteristics.

gear; conjugate curves; tubular meshing surfaces; pressure angle; induced normal curvature; conjugate successive property

2014-08-01。 作者簡介:陳兵奎(1966—),男,教授,博士生導(dǎo)師;梁棟(通信作者),男,博士生。 基金項目:國家科技支撐計劃資助項目(2013BAF01B04);國家自然科學(xué)基金資助項目(51205425)。

時間: 2014-12-24

網(wǎng)絡(luò)出版地址: http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20141224.1607.006.html

10.7652/xjtuxb201503015

TH132

A

0253-987X(2015)03-0085-10