黃建文，庹中友，劉衍民(遵義師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，貴州遵義563002)

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有限混合非對(duì)稱(chēng)Laplace分布的漸近分布

黃建文，庹中友，劉衍民
(遵義師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，貴州遵義563002)

摘要:設(shè)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列并且共同的分布函數(shù)是混合非對(duì)稱(chēng)Laplace分布.表示的部分最大值.表示部分最小值.作者主要研究同服從混合非對(duì)稱(chēng)Laplace分布的獨(dú)立隨機(jī)變量序列最大值和最小值的分布的漸近分布以及相應(yīng)的賦范常數(shù).

關(guān)鍵詞:非對(duì)稱(chēng)Laplace分布;混合分布;漸近分布;賦范常數(shù)

隨著概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的不斷發(fā)展，有限混合分布的應(yīng)用也逐漸深入，例如應(yīng)用在醫(yī)學(xué)、農(nóng)學(xué)、畜牧學(xué)、地理學(xué)和遺傳數(shù)據(jù)分析等各個(gè)領(lǐng)域，因此，有限混合分布的極值理論便成為我們目前主要的研究對(duì)象，其結(jié)論將會(huì)為以后混合分布的更深入的研究提供方便.

有限混合分布(Finite Mixed Distributions)在現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)的整個(gè)發(fā)展過(guò)程中作為一個(gè)模型得到了廣泛的研究和應(yīng)用.

Mladenovic[2]給出了由兩個(gè)指定的分布構(gòu)成的混合分布的極值理論，即混合正態(tài)分布混合柯西分布、均勻與截?cái)嘀笖?shù)分布的混合.Chen Qiong和Peng Zuoxiang[3]將上面的結(jié)論分別推廣到有限混合分布與等價(jià)類(lèi)的情形.

非對(duì)稱(chēng)Laplace分布主要應(yīng)用在貝葉斯分位數(shù)回歸、審查的基因表達(dá)數(shù)據(jù)、商務(wù)智能和金融工程、基因選擇和分類(lèi)方法、經(jīng)濟(jì)行為和組織、分派和貨幣速度、模擬擺圓形數(shù)據(jù)、模擬金融時(shí)間序列、利率和貨幣兌換數(shù)據(jù)等方面,詳細(xì)內(nèi)容請(qǐng)看參考文獻(xiàn)[4-6].

本文給出在獨(dú)立同分布情況下，由兩個(gè)指定的分布以及有限個(gè)指定的分布構(gòu)成的混合分布的漸近分布和相應(yīng)的賦范常數(shù)，其中，指定的分布是非對(duì)稱(chēng)Laplace分布.

符號(hào)說(shuō)明：

首先給出有限混合分布的定義如下:

特別地，當(dāng)k=2時(shí)，

然后，我們給出非對(duì)稱(chēng)Laplace分布的定義.

定義1設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)分別是

和

首先，我們給出由兩個(gè)指定分布構(gòu)成的混合分布的漸近分布以及相應(yīng)的賦范常數(shù).

其中，

其中，

下面，我們將上述結(jié)果推廣到由有限個(gè)分布構(gòu)成的混合分布的情形.

其中，

其中，

由(3)式可得，

并且

因此，根據(jù)命題1.4[7]，得到

再由(3)式，則有

因此，

從而，

所以，

當(dāng)t＜0時(shí)，證明方法與t≥0時(shí)類(lèi)似，結(jié)合Galambos中定理2.1.6[8]，就可以得證.

并且

因此，根據(jù)命題1.4[7]，得到對(duì)于賦范常數(shù)an和bn的求解，方法與定理1的證明類(lèi)似，這里就不作詳盡推導(dǎo)了.

對(duì)于t＜0，證明方法與t≥0的情形類(lèi)似，結(jié)合Galambos中定理2.1.6[8]，就可以得證.

參考文獻(xiàn)：

[1]Nelson D B.Conditional heteroskedasticity in asset returns: A new approach[J].Econometrica,1991,59(2): 347-370.

[2]Mladenovic P.Extreme Values of the Sequences of Independent Random Variables with Mixed Distributions[J]. Matematicki Vesnik,1999,51(1-2):29-37.

[3]Cheng Q,Peng Z.Limiting distributions of maxima on mixed distributions[J].西南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2011,33(1):5-10.

[4]Jayakumar K,Kuttykrishnan A P.A time-series model using asymmetric Laplace distribution[J].Statistics and Probability Letters. 2007,77(16):1636-1640.

[5]Johnson N L,Kotz S,Balakrishnan N.Continuous Univariate Distributions[M]. New York:John Wily and Sons, 1995.

[6]Kozubowski T J,Podgorski K.A class of asymmetric distribu tions[J].Actuarial Research Clearing house,1999,(1): 113-134.

[7]Resnick S I.Extreme value,Regular Variation,and Point Processes[M].New York:Springer-Verlag,1987.

[8]Galambos J.The Asypmtotic Theory of Extreme Order Statistics[M].New York: Wiley,1987.

（責(zé)任編輯：朱彬）

The asymptotic distribution of finite mixture asymmetric Laplace distribution

HUANG Jian-wen,TUO Zhong-you,LIU Yan-min
(School of Mathematics and Computational Science,Zunyi Normal College,Zunyi 563002，China)

Abstract:Letbe an independent and identically distributed random sequence with common distribution Fobeying mixture asymmetric Laplace distribution.denotes partialmaximum.denotes partial minimum. In this paper, the asymptotic distribution of distribution of the maximum and minimum of independent identically distributed random variable sequence with mixture asymmetric Laplace distribution and associated normalizing constants are studied.

Key words:asymmetric Laplace distribution; mixed distribution; asymptotic distribution; normalizing constants

作者簡(jiǎn)介：黃建文，男，甘肅甘谷人，遵義師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院助教，碩士，主要從事極值統(tǒng)計(jì)分析的研究。

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（NO.71461027）；貴州省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（黔科合J字LKZS[2014]22號(hào)，黔科合J 字LKZS[2014]29號(hào)）

收稿日期：2015-5-12

中圖分類(lèi)號(hào)：O211

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-3583（2015）-0090-03