胡夢(mèng)薇，黃志剛，孫桂榮

（1.蘇州科技學(xué)院數(shù)理學(xué)院，江蘇蘇州215009；2.許昌電氣職業(yè)學(xué)院，河南許昌461000）

關(guān)于一類(lèi)高階微分方程的復(fù)振蕩結(jié)果

胡夢(mèng)薇，黃志剛，孫桂榮

（1.蘇州科技學(xué)院數(shù)理學(xué)院，江蘇蘇州215009；2.許昌電氣職業(yè)學(xué)院，河南許昌461000）

運(yùn)用微分方程復(fù)振蕩理論，研究了系數(shù)是整函數(shù)的高階微分方程解的零點(diǎn)分布問(wèn)題，在對(duì)方程的某個(gè)系數(shù)做小的擾動(dòng)的情況下，得到了方程的超越解的零點(diǎn)收斂指數(shù)都為無(wú)窮.

復(fù)微分方程；整函數(shù)；增長(zhǎng)級(jí)；零點(diǎn)收斂指數(shù)

0前言及主要結(jié)果

我們假定讀者熟悉Nevanlinna理論的基本概念和基本結(jié)果［1,2］.例如T（r,f），N（r,f）和m（r,f）的定義.此外，對(duì)于復(fù)平面上的亞純函數(shù)f，定義ρ（f）和λ（f）分別表示f的增長(zhǎng)級(jí)和零點(diǎn)收斂指數(shù)如下.

考慮齊次線(xiàn)性微分方程

這里，k≥2且A0,A1,···,Ak-2是整函數(shù).Hille在文獻(xiàn)［3］中證明了方程（0.1）的所有解都是整函數(shù).近年來(lái)，許多學(xué)者研究了方程（0.1）的系數(shù)Aj的增長(zhǎng)級(jí)與方程的解f的零點(diǎn)收斂指λ（f）之間的關(guān)系，特別是在文獻(xiàn)［4-6］中得到，如果k=2，超越整函數(shù)A0的增長(zhǎng)級(jí)ρ（A0）≤，則式（0.1）不可能有兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)解f1,f2，使得max｛λ（f1）,λ（f2）｝＜∞.相應(yīng)k＞2時(shí)的結(jié)果，文獻(xiàn)［7］中已經(jīng)證明了.另一方面，即使讓方程的系數(shù)增長(zhǎng)級(jí)很小，方程（0.1）也可能存在無(wú)零點(diǎn)的解.如f=eB，B是整函數(shù)，那么當(dāng)k=2時(shí)，只須使得-A==B′′+（B′）2，f滿(mǎn)足是（0.1）的解且f無(wú)零點(diǎn)；同樣，k＞2時(shí)也有類(lèi)似的結(jié)果.

在文獻(xiàn)［8］中，Abdullah Alotaibi和J.K Langley得到了這樣的結(jié)果：如果對(duì)方程（0.1）的系數(shù)A0做一點(diǎn)小的擾動(dòng)，即把A0用A0+h來(lái)代替，這里函數(shù)h的增長(zhǎng)級(jí)小于A(yíng)0，那么方程解的零點(diǎn)收斂指數(shù)都為無(wú)窮.注意到文獻(xiàn)［7］中只考慮對(duì)系數(shù)A0做變化的情況，如果繼續(xù)考慮對(duì)方程（0.1）的任意一個(gè)系數(shù)做一點(diǎn)小的擾動(dòng)，會(huì)有什么樣的結(jié)果呢？本文研究了這個(gè)問(wèn)題，得到了下面的結(jié)果.

定理0.1設(shè)k≥2，A0,A1,···,Ak-2是整函數(shù)，其中As（s/=0）是超越的并且有ρ（Aj）＜ρ（As）＜（j/=s）.現(xiàn)在假定f是方程（0.1）的超越解，并且λ（f）＜ρ（As）.令h（/≡0）,Bj（0≤j≤k-2,j/=s）是整函數(shù)并且ρ（Bj）＜ρ（Bs），那么，對(duì)于

方程

不存在超越解g，使得λ（g）＜∞.

1引理

引理1.1［9］假設(shè)f（z）是超越亞純函數(shù)，且H=｛（k1,j1）,（k2,j2）,···,（kq,jq）｝是不同整數(shù)對(duì)的有限集合，滿(mǎn)足ki＞ji≥0（i=1,2,···q），ε＞0是已給定的常數(shù)，那么

（i）存在一線(xiàn)測(cè)度為零的集合E?［-（π/2）,3π/2），如果φ∈［-（π/2）,3π/2）E，那么存在常數(shù)R0=R0（φ）＞1，使得對(duì)所有滿(mǎn)足argz=φ和|z|≥R0的z以及對(duì)所有（k,j）∈H，有

（ii）存在一集合E?（1,∞）有有限對(duì)數(shù)測(cè)度，使得對(duì)所有滿(mǎn)足|z|/∈E∪［0,1］的z，及對(duì)所有（k,j）∈H，有

（iii）存在一集合E?［0,∞）有有限對(duì)數(shù)測(cè)度，使得對(duì)所有滿(mǎn)足|z|/∈E的z和對(duì)所有（k,j）∈H，有

引理1.2［10］設(shè)k≥1，A0,A1,···,Ak-1是有限級(jí)整函數(shù).令ρ=max｛ρ（A0）,···, ρ（Ak-1）｝.

如果方程wk+Ak-1w（k-1）+···+A0w=0有某解f/≡0滿(mǎn)足λ（f）＜∞，則

（a）f可表示為f=veh，其中v,h是有限級(jí)整函數(shù)，且ρ（h）≤ρ；

（b）f′/f是有限級(jí)的.

引理1.3［1］假設(shè)f是解析函數(shù)，令F=f′/f.那么對(duì)于整數(shù)k，有

這里的Pk-2（F）是F的常系數(shù)微分多項(xiàng)式，當(dāng)k≤2時(shí)，它恒為零；當(dāng)k＞2時(shí)，它的次數(shù)為k-2.

引理1.4設(shè)A0,A1,···,Ak-2（k≥2）是有限級(jí)整函數(shù)，其中As（s/=0）是超越的，且對(duì)于j/=s有ρ（Aj）＜ρ（As）＜.假定f是方程（0.1）的非零解，且λ（f）＜∞.那么存在一個(gè)正對(duì)數(shù)密度集合E0∈［1,∞），使得對(duì)充分大的r∈E0，以及對(duì)所有的z：|z|=r，有

證明由微分方程復(fù)振蕩理論的結(jié)果可知方程（0.1）存在無(wú)窮級(jí)解f，且λ（f）＜∞.由引理1.2，f可表示為f=weh，其中w,h是有限級(jí)整函數(shù)，因?yàn)棣眩╢）=∞，所以h必是超越整函數(shù).現(xiàn)在存在一個(gè)R集?使得對(duì)充分大的不在?的z，對(duì)m=1,2,···,k,有

我們用?1表示將R集?中的每個(gè)圓盤(pán)的半徑增大一倍所得到的R值集，在這樣的區(qū)域上估計(jì)解f.如果ρ（As）＞0，可取σ,τ使得對(duì)于j/=s，有

由條件ρ（Aj）＜ρ（As）＜可知，存在正對(duì)數(shù)密度集E1，使對(duì)任意的r∈E1，當(dāng)z滿(mǎn)足|z|=r= E0=E1E時(shí)，這里E=?r：z=reiθ∈?1?，有

并且如果有ρ（As）=0，定義σ=0，則對(duì)于j/=s，也總是有

現(xiàn)在我們?cè)趞z|=r上估計(jì)h′.由（1.4），存在N＞0，使得如果點(diǎn)z在|z|=r滿(mǎn)足|h′（z）|≥|z|N，則易驗(yàn)證有

其中p=1,···,k.將f=weh代入（0.1）且兩邊除以f，由式（1.5）、（1.6），在|z|=r上滿(mǎn)足|h′（z）|≥|z|N的點(diǎn)z有

上式兩邊同除以As（h′）s，然后整理得

對(duì)于每個(gè)充分大的n，我們知道圓|z|=r與?1不相交.對(duì)于圓|z|=r上的任何點(diǎn)z′，由式（1.2）和?1的結(jié)構(gòu)知，存在一個(gè)固定的正整數(shù)λ，使得圓盤(pán)Dn=B?z′,r?與R-集?不相交，并在此圓盤(pán)上有式（1.4），（1.5）成立.

如果存在無(wú)窮多個(gè)n，比如說(shuō)nk，使得在Dn上滿(mǎn)足|h′（z）|≥|z|N的點(diǎn)z有|h′（z）|≤ exp，則由式（1.4），當(dāng)nk足夠大時(shí)，式（1.7）的左邊趨于零，所以此時(shí)式（1.7）不成立，因此當(dāng)n足夠大時(shí)，在Dn上滿(mǎn)足|h′（z）|≥|z|N的點(diǎn)z，必有|h′（z）|＞exp（r）成立.從而由式（1.7），在Dn上滿(mǎn)足|h′（z）|≥|z|N的點(diǎn)z，一致地有

以及

應(yīng)用式（1.8），若在Dn上定義A的一個(gè)單值分支，在Dn上，由（1.9）式得

于是，在Dn上，有

把h代入f=weh得

.那么

則在Dn中有f=WeG，由于當(dāng)n足夠大時(shí)rn→∞,（1.2）在Dn中成立.另外，當(dāng)n→∞時(shí)，對(duì)于任意的0＜ε＜由條件可得

由于在Dn中，f=weh=WeG，因此f′/f=w′/w+h′=W′/W+G′，由此得W′/W= w′/w+h′（z）-crAs（z）1k-s.據(jù)此，由式（1.2）和（1.11），存在M5＞0，當(dāng)n足夠大時(shí)，在Dn中有下面的估計(jì)式

又因?yàn)閃（m）?W可表示為W′/W的常系數(shù)微分多項(xiàng)式，以及由Cauchy積分導(dǎo)數(shù)公式

和式（1.16），有估計(jì)式

可知存在正的常數(shù)M6，當(dāng)n足夠大時(shí)，有估計(jì)式

其中q=1,···,k.應(yīng)用引理1.3于f′/f=W′/W+G′，根據(jù)式（1.2），（1.13）-（1.15）及式（1.17），當(dāng)n足夠大時(shí)，在Dn內(nèi)，我們有

其中p=2,3,···,k，特別由式（1.13），得

將f=WeG代入（0.1），兩邊同除以f，并根據(jù)式（1.2），（1.5），（1.13）-（1.15），（1.17）-（1.19），再在兩邊同時(shí)除以（G′）k-1，當(dāng)n足夠大時(shí)，在Dn內(nèi)得

進(jìn)一步得

即

把式（1.20）代入式（1.12）便得式（1.1）.再由有限覆蓋定理可以把Dn延拓到整個(gè)|z|=r即S（0,r）中，引理得證.

結(jié)合cos πρ定理以及級(jí)與零點(diǎn)收斂指數(shù)定義，容易得到

引理1.5［10］假設(shè)A（z）是超越整函數(shù)且其增長(zhǎng)級(jí)ρ（A）=ρ＜.整函數(shù)f滿(mǎn)足λ（f）＜ρ（A），則存在集合E2?［1,∞），，那么對(duì)于任意的σ＜ρ，成立

2定理的證明

假定方程（0.1）有超越解f滿(mǎn)足定理0.1的條件，且存在式（0.3）的超越解g使得λ（g）＜∞.由引理1.2，可設(shè)

這里P,Q,U,V都是有限級(jí)整函數(shù).令

取σ1,σ2，使得

由引理1.5，存在集合E1?［1,∞），且logdensE1＞0，使得

同樣，對(duì)于|z|=r∈E1，由式（1.2），（2.3）和（2.4），有

根據(jù)引理1.1，存在測(cè)度有限的集合E?［1,∞），以及正整數(shù)M0，有

由式（2.6），（2.8）-（2.10），對(duì)|z|=r∈E0，有

根據(jù)引理1.4，這里的c,d可能與r有關(guān)，但與z無(wú)關(guān).

下面的引理對(duì)證明定理0.1很重要.

引理2.1對(duì)于上面的式（2.7）、（2.11）中的c,d，對(duì)r∈E0，有c=d.

證明假設(shè)d=wc，其中wk=1.（2.7）式兩邊同時(shí)乘以w，然后與（2.11）式聯(lián)合，得

在|z|=rn上，對(duì)上式兩邊積分，當(dāng)rn→∞,且rn∈E0時(shí)，根據(jù)輻角原理有

為了證明定理0.1，應(yīng)用引理2.1及式（2.7）和（2.11），當(dāng)rn→∞,rn∈E0時(shí)，有

因此，

由式（2.2）和（2.6），得

因?yàn)閁,V是整函數(shù)，令Q0=U′-V′,那么易知Q0是多項(xiàng)式，那么式（2.2）變?yōu)?/p>

對(duì)式（0.3）變形并且結(jié)合式（2.2），然后應(yīng)用引理1.3得

然后，對(duì)式（0.1）做同樣的處理，有

把F=G+M代入式（2.16），然后與式（2.15）相減得到

對(duì)上式變形得

這里的P2s-2（G,M），Pk+s-2（G,M）都是關(guān)于G,M的微分多項(xiàng)式，并且關(guān)于G的最高次分別不超過(guò)2s-2,k+s-2.

我們斷言M/≡0.若M≡0，則由式（2.15）和（2.16）聯(lián)立得h≡0，這與h/≡0矛盾.因此，由式（2.17）得

由式（2.18）得

這里的C0是正數(shù).因?yàn)镚,M是有限級(jí)的，然后結(jié)合式（2.2）-（2.4），（2.6），（2.11），（2.13），（2.18），（2.19）以及引理1.5，對(duì)充分大的r∈E0，得到

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（責(zé)任編輯王善平）

An oscillation result for some higher order linear differential equations

HU Meng-wei，HUANG Zhi-gang，SUN Gui-rong
（1.Department of Mathematics，University of Science and Technology of Suzhou，Suzhou Jiangsu215009，China；2.Xuchang Eelectrical Vocational College，Xuchang Henan461000，China）

The distribution of zeros of solutions of higher order linear differential equations with entire coefficients was investigated by using complex oscillation theory of linear differential equations.It was proved that the exponent of convergence of zeros of every transcendental solution of the equations is infinite if given a small perturbation to one of the coefficients.

complex differential equations；entire function；growth of order；exponent of convergence of zeros

O174.5

A

10.3969/j.issn.1000-5641.2015.01.009

1000-5641（2015）01-0075-09

2013-12

國(guó)家自然科學(xué)基金（11001057）；江蘇省自然科學(xué)基金（BK2010234）；江蘇省青藍(lán)工程，蘇州科技學(xué)院研究生科研創(chuàng)新工程項(xiàng)目（SKCX12S 043）

胡夢(mèng)薇，女，碩士，研究方向?yàn)閺?fù)分析.E-mail：mengweihu1121@163.com.