加羊杰

（青海師范大學民族師范學院數學系，西寧810008）

三階超對稱非線性Schr?dinger方程的延拓結構

加羊杰

（青海師范大學民族師范學院數學系，西寧810008）

超對稱的Heisenberg鐵磁連模型是一類非常重要的可積系統(tǒng)，它與固體物理中的電子強關聯(lián)Hubbard模型有著緊密的聯(lián)系.文章主要利用超對稱延拓結構理論的方法，分析高階超對稱非線性Schr?dinger方程，進行研究得到了該方程延拓代數對應的Lax對.

非線性Schr?dinger方程；超對稱；李代數；延拓結構；Lax對；線性譜問題

1引言

隨著對孤立子在大量非線性物理問題中的深入研究，孤立子在數學上已經形成了比較完整的理論體系.已有的結論顯示，對于可積的非線性系統(tǒng)必定存在孤立子解，而且有時候也能在不可積系統(tǒng)中得到孤立子解.對于一個非線性系統(tǒng)的可積性，目前人們還無法給出一個確切的概念；因此，稱一個非線性系統(tǒng)可積的時候往往是指不同意義下的可積.早在1975年，Wahlquist和Estabrook基于外微分形式系統(tǒng)及李代數表示理論建立了1+1維非線性演化方程的延拓結構理論，給出了一個系統(tǒng)求解非線性演化方程線性譜問題的有效方法.該理論主要是將要研究的（1+1）維可積非線性微分方程表達為一組外微分形式2-形式，使得這些外微分形式構成閉理想，然后引進勢或偽勢和與之相聯(lián)系的外微分1-形式，并要求引入的外微分1-形式與原來的外微分形式2-形式構成新的閉理想，從而成功給出可積方程的Lax表示以及貝克隆變換.他們將該理論應用于KdV方程，系統(tǒng)地得到了KdV方程的線性譜問題和B¨acklund變換.隨后，該理論被廣泛應用于研究（1+1）可積非線性演化方程［1-5］.最近人們利用該理論對海森堡鐵磁鏈方程［6-10］，高階非線性薛定諤方程［11-15］，反應擴散方程［16-19］進行了深入分析和研究.

近年來對于各種超對稱非線性Schr?dinger方程［20-22］的研究得到人們的普遍關注.在本文中，我們將主要運用延拓結構理論對超對稱非線性Schr?dinger方程進行研究，討論其延拓代數結構，并給出它們的Lax對.

2三階超對稱非線性Schr?dinger方程

方程（1）表示的是一個重要的物理模型，它表示經典的連續(xù)鐵磁自旋系統(tǒng)的非線性動力學情況，是一個非常重要的可積系統(tǒng).目前人們對其經典以及量子行為進行了大量研究，它在拓撲場論以及超弦理論中都有重要應用.

其中ε為常數，φ（x,t）是玻色函數，ψ（x,t）是費米項.費米函數ψ，ψ的計算規(guī)則為則可以在流形

上定義一組外微分2-形式如下：

其中d表示外導數，∧表示外積.方程組（3）α1，α2，α3，α4，β1，β2，β3，β4對應于引入新變元的項，α5，α6，β5，β6則對應于原始方程的項.易證外微分形式構成的集合I=｛αi,βi,i=1,2,3,4,5,6｝在流形I上構成閉理想.當2-形式αi限制到解流形

上為0時，則可以得到方程（1）.現在引進n個玻色的外微分1-形式.

其中yk為延拓變量，以及一組新的費米延拓變量ξl以及新的費米的外微分1-形式，

滿足的偏微分方程組

其中

從方程（7c）式和（9）式，可以將F和G的形式分別記為

將上式代入到方程（7c）式中，可得

為了得到G1的表達式，對（13）式方程分別關于變量φxx，ψxxxx，ψxx求導，得

其中，積分常數G2僅依賴于變量φ,,ψ,ψ,.重復求解G1的過程我們將（15）式中G1的表達式代入到（14）式中，對所得到的G分別關于φ,ψ,,,φx，ψxxx求導后代入到（15）式并展開，比較各獨立單項式的系數，可得下列方程組

通過分析方程組（16）式，我們可以得出如下形式，其中待定函數F（φ,φ,ψ,ψ,y）中只含有φ,,ψ,的一次項，因此可以將F取作下列的形式.

其中Xi（i=0,1,-1,2,-2,）為僅僅依賴于延拓變量的生成元，下標的正負分別代表Xi為偶生成元和奇生成元.再由（17）式可以得到G2對于φ,,ψ,的導數如下.

為了利用（18）式得到G2的具體表達式，需要利用以下關系式：

將F的表達式（17）式代入到G2對于φ,,ψ,ψ的導數的表達式（18）式中，經過直接的運算整理，由（19）式中的六個關系式可以得到方程組：

比較（20）式的六組方程中各獨立單項式的系數，我們可得下列對易關系式.

其中上式運算關系式中的兩個算子函數均為費米變量（Xi，i為負整數），則它們之間為反對易關系，仍然采用［，］來表示，例如

下面就通過分析式（21）-（27），來確定這些生成元之間所有的對易關系，并給出它們的一組表示.由式（21）-（27），可以得出：

為了運算的方便，定義一些新的代數生成元如下.

則式（27）-（29）中的各個對易關系式與反對易關系式可以重新記為

利用Jacobi恒等式以及式（29）中結果，還可以得到如下的關系式.

分析（30）式和（31）式中的代數關系，利用李代數表示理論，得到生成元的一組矩陣表示如下，其中玻色成元為

費米成元為

考察式（32）和式（33）中的表示矩陣與超代數usp1的關系，容易驗證

利用在（34）式與（35）式中所求得的生成元之間的對易關系式，可以將（18）式中G2關于φ，ψ的導數的表達式重新寫作

將以上方程組（23）中的四個方程分別對變量φ，ψ，φ，ψ積分，并利用我們比較各獨立系數所得到的方程組（36）中的最后一式確定積分常數，可以得到

因此，我們所求得的一組三階超對稱非線性Schr?dinger方程（1）的Lax表示為

為了構造一組三階超對稱非線性Schr?dinger方程解的B¨acklund變換，我們將表示矩陣（31）和（35）代入F和G，得到方程（1）的Lax表示

若要求ωk|U=0，可以得到方程（1）的Lax表示，

其中

由相容性關系yxt=ytx，很容易得到原方程（1）.

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（責任編輯王善平）

Prolongation structure of the third-order supersymmetric nonlinear Schr?dinger equation

JIA Yang-jie
（Department of Mathematics，Nationalities College of Qinghai Normal University，Xining810008，China）

The Heisenberg supermagnet model is an supersymmetric system and has a close relationship with the strong electron correlated Hubbard model.In this paper，the supersymmetric prolongation structure was used to analyze the high order supersymmetric nonlinear Schr?dinger equation.Its Lax representation of prolongation algebra was constructed.

nonlinear Schr?dinger equation；supersymmetric；Lie algebra；prolongation structure；Lax pair linear spectral problems

O157.5

A

10.3969/j.issn.1000-5641.2015.01.003

1000-5641（2015）01-0016-11

2013-12

國家自然科學基金（11061026）

加羊杰，碩士，研究方向為數學物理.E-mail：jiayangjie123@163.com.