王雅珺 唐亞林 黃日娣 張更容
(廣西大學 數(shù)學與信息科學學院,廣西 南寧 530004)
設 f: X →X 為連續(xù)映射,其中X 為拓撲空間,映射f 的周期點、回歸點、ω 極限點等定義如文獻[2,3,4]。它的周期點集,回歸點集分別記作 P ( f ) ,R ( f ),點x 的ω 極限點集記作 ω ( x, f)。
引理1[2]設J 為I 的子區(qū)間,它不包含f 的周期點,如果 x ,y ∈ J,對某些 m, n > 0,存在 fm( x ) ∈ J , fn( y )∈J ,則若x < fm(x),有 y < fn( y);若 x > fm(x),有 y > fn( y)。
引理2[2]設f 是線段I 的一個連續(xù)自映射,則f 的每一個回歸點或者是周期點或者是周期點的聚點。從而,和分別為 P ( f )和 R ( f )的閉包。
由f 一致連續(xù),存在 δ ∈ (0,ε )使得當 d (u ,v )< δ時有 d ( f (u ), f (v ))< ε。由我們可取點。于是。從而.即有,這與矛盾。因此不存在連續(xù)映射 f :S → S使得。
證明:任取 J ? L1且 x, y ∈ J,存在 m, n > 0有 fm( x ) ∈ J , fn( y )∈ J 。
不妨設 x >Sfm(x ),令 g = fm,則.若則 gk+1(x ) >Sg (x),如若不然,gk+1(x ) ≤Sg (x)。
(1) gk+1(x ) = g ( x ),則x 為 gk的不動點,與矛盾;
(2) gk+1(x ) <Sg (x),
① gk+1(x ) <Sx <Sgk(x ) <Sg (x),則,所以在 ( x, gk(x ))S中存在g 的不動點,與矛盾。
② x <Sgk+1(x ) <Sgk(x ) <Sg (x ),則,所以在中存在 gk的不動點,與矛盾。
因此(1)與(2)可知對任意 k ≥ 1 , gk( x )>Sx ,取k = n,則 fmn(x )>Sx。
若 y <Sfn( y ),同理可得 fmn( y )<Sy,則,所以[ x, y ]S中存在 fmn的不動點,與假設矛盾,因此,J 為單向區(qū)間。
定理2 設 f :S → S是一個連續(xù)映射,則f 的周期點集的閉包與回歸點集的閉包相等,即
證明:由引理3,我們分三種情況討論
由于 P1( F ) ? R1( f),欲證 R1( f )? P1( f),需證。假設若存在 x ∈ V ∩ R1( f ),則 x ∈ R1( f),則對任意 ε > 0,存在 n1> 0使得,所以 x <Sfn1(x)令因為 x ∈ R1( f),所以存在 n2> 0使得d ( fn2(x ), x )< δ,從而 n2> n1且 fn2( x ) <Sfn1(x).令,則對y ∈ J, fm( y )< y,與V 為正型區(qū)間矛盾,所以,所以,所以。
②設 g :[0 ,1)→ L2既是單射且是滿射的連續(xù)映射,取 f':[ 0,1) → [0, 1)連續(xù)自映射,使得 g ? f =f'? g ,因此 x'∈ [0,1)是的一個周期為n 的點當且僅當 x = g ( x')是f 的一個周期為n 的周期點, R ( f ) = g ( R ( f'))。由引理2 得,,所以。
[1]Nadler S B Jr.continuum Theory[M].New York:Marcel Dekker,Inc,1992.
[2]Block L,Coppel W A.Dynamics in one dimension.Lecture Notes in Mathematics No.1513,Berlling Springer,1992.
[3]張景中,熊金城.函數(shù)迭代與一維動力系統(tǒng)[M].成都:四川教育出版社,1992.
[4]廖公夫,王立冬,范欽杰.映射迭代與混沌動力系統(tǒng)[M].北京:科學出版社,2013.