謝鳳艷，原冠秀

（1.安陽師范學(xué)院 人文管理學(xué)院，河南 安陽 455000；2.河南科技學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，河南 新鄉(xiāng) 453003）

本文所有群都是有限群，G是一個(gè)群，N?G表示N是G的正規(guī)子群.本文所有概念和符號(hào)都是標(biāo)準(zhǔn)的，未交待的符號(hào)和術(shù)語見參考文獻(xiàn)[1-2].

H是群G的子群.H稱為在G中可置換的[3]，如果對(duì)G的任意子群T，有HT=TH成立.H稱為在G中s-置換的[4]，如果對(duì)于G的任意Sylow子群P都有HP=PH.近年來一些學(xué)者還提出了一些新的思想方法，出現(xiàn)了許多新的概念和研究方法.比如文獻(xiàn)[5-8]引入了s-半置換、X-置換子群、X-半置換子群、X-s-半置換子群等概念.這些概念推廣了正規(guī)子群、置換子群、s-置換子群等概念.這些新的思想方法和理論為群論研究注入了新的活力，并掀起了一股新的研究熱潮[5-9].在此基礎(chǔ)上，最近祝明等人引入了X-ss-半置換子群[10]的概念：X是G的非空子集，稱G的子群H在G中X-ss-半置換的，如果H在G中有補(bǔ)充T，只要(p,|H|)=1就有H與T的每個(gè)Sylow p-子群是X-置換的.祝明等人舉例說明X-ss-半置換子群比X-s-半置換子群廣泛.X-ss-半置換子群這一更為廣泛的概念為群論研究提供了又一新的思想方法和技術(shù)手段.本文利用準(zhǔn)素?cái)?shù)子群的X-ss-半置換性，給出超可解的兩個(gè)充分條件.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1.1[10]X是G的非空子集，稱G的子群H在G中X-ss-半置換的，如果H在G中有補(bǔ)充T，只要(p,|H|)=1就有H與T的每個(gè)Sylow p-子群X-置換的.

為了方便，本文用Xss(H)表示所有滿足定義1.1中T的集合.

引理1.2[10]假設(shè)H是G的子群，X是G的非空子集，N是G的正規(guī)子群.若H在G中X-ss-半置換的，則下列的斷言成立.

（1）若H≤M≤G且X?M，則H在M中X-ss-半置換的.

（2）若N為p群或者(|H|,|N|)=1，則HN/N在G/N中XN/N-ss-半置換的.

（3）若T∈Xss(H)且 H≤NG(X)，則對(duì)任意的 g∈G有Tg∈Xss(H).

（4）若X?D?G，則H在G中D-ss-半置換的.

引理1.3[11]設(shè)?是包含所有超可解群的一個(gè)飽和群系，N是G的正規(guī)子群且使得G/N∈?.如果N循環(huán)，那么G∈?.

2 主要結(jié)論及應(yīng)用

定理2.1 設(shè)X是群G的可解正規(guī)子群.若G的任意Sylow子群的所有極大子群在G中X-ss-半置換的，則G為超可解群.

證明假設(shè)結(jié)論不成立，G為極小階反例.通過下列斷言完成定理證明.

（1）存在G的一個(gè)素因子 p使得Op(G)≠1.

假設(shè)對(duì)任意的 p ∈π(G)，Op(G)=1.則X=1.從而G的每個(gè)Sylow子群的極大子群在G中s-半置換的.由文獻(xiàn)[5]的定理1知，G為超可解群.此矛盾說明（1）成立.

（2）設(shè)N是G的極小正規(guī)子群，則G N為超可解的且N是G的唯一極小正規(guī)子群.

由引理1.2（2）知，G/Op(G)滿足定理的條件.由G的極小選擇，G/Op(G)為超可解的.因?yàn)镺p(G)可解，所以G為可解群.故N為初等交換群r群.從而r=p或者(r,p)=1.由引理1.2（2）知G N為超可解.因?yàn)槌山馊合禐轱柡腿合?，所以N是G的唯一極小正規(guī)子群.

（3）最后的矛盾

由（2）知 ，N?Φ(G).從 而 存 在 G一個(gè)極大子群 M使 得 G=[N]M.設(shè) Mp∈Sylp(M)，則P=[N]Mp∈Sylp(G).由（2）及引理1.3，N非循環(huán).從而存在P的一個(gè)極大子群H使得Mp?H.由定理的條件知H在G中 X -ss-半置換的，即存在T∈Xss(H)，Q∈Sylq(T),q≠p.則存在 x ∈X，使得 H Qx=QxH.因?yàn)?N ?H=N?HQx?HQx，所以Qx≤NG(N?H).因?yàn)?N ?P,H?P，所以 N ?H?P.由于Qx也是G的Sy?low q子群，N?H?G.因?yàn)镹是G的唯一極小正規(guī)子群，所以N?H=1或者N?H=N.如果N?H=1，則|N|=|NH| | H |=|P | |H|=p.故N為循環(huán)群.由（2）及引理1.3得，G為超可解群，矛盾.如果N?H=N，則N≤H.從而P=[N]Mp≤H，與H是P的極大子群矛盾.這一最后的矛盾說明極小反例不成立，從而定理成立.

定理2.2 設(shè)X是群G的可解正規(guī)子群.若G的任意極小子群和4階循環(huán)子群在G中X-ss-半置換的，則G為超可解群.

證明假 設(shè)結(jié)論不成立，G為極小階反例并設(shè)N是G的極小正規(guī)子群.

（1）存在G的一個(gè)素因子 p使得Op(G)≠1.

假設(shè)對(duì)任意的 p ∈π(G)，Op(G)=1.則X=1.從而G的任意素?cái)?shù)階子群和4階循環(huán)子群在G中s-半置換的.由文獻(xiàn)[5]的定理3知，G為超可解群.此矛盾說明（1）成立.

（2）N是G的唯一極小正規(guī)子群且G N為超可解，N=CG(N).

由引理1.2（2）知，G/Op(G)滿足定理的條件.由G的極小選擇，G/Op(G)為超可解的.因?yàn)镺p(G)可解，所以G為可解群.故N為初等交換群r群.從而r=p或者(r,p)=1.由引理1.2（2）知G N為超可解.因?yàn)槌山馊合禐轱柡腿合?，所以N是G的唯一極小正規(guī)子群且Φ(G)=1.從而存在G的極大子群M使得G=[N]M.由Dedekind恒等式，CG(N)=CG(N)?NM=N(CG(N)?M).因?yàn)镃G(N)?M?M 且 CG(N)?M?CG(N)，所以CG(N)?M?G.由于 N ≤CG(N)且N?M=1，CG(N)?M=1.從而N=CG(N).

（3）最后的矛盾

設(shè) P∈Sylp(G)，則 N=CG(N)≥CG(P)?P=Z(P).由于 Z(P)≠1，所以 Z(P)中存在一個(gè)子群 H使得|H|=p.由定理的條件H在G中 X-ss-半置換的.設(shè)T∈Xss(H)，Q∈Sylq(T),q≠p.則存在 x∈X，使得HQx=QxH.因?yàn)?H?N且 N?G，所以 H是G的次正規(guī)子群.又由于 H是 HQx的Sylow p子群，所以H?HQx.因?yàn)镠≤Z(P)，所以H?P.由于Qx也是G的Sylow q子群，H?G.因?yàn)镹是G的唯一極小正規(guī)子群，所以N=H.故N為循環(huán)群.由（2）及引理1.3得，G為超可解群.這一最后的矛盾說明極小反例不成立，從而定理成立.

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