尹寶，王克達(dá)，王嘯，王潮

Shor量子計(jì)算對公鑰密碼的攻擊分析

尹寶，王克達(dá)，王嘯，王潮

當(dāng)前電子政務(wù)和電子商務(wù)CA中心采用的公鑰密碼主要是RSA和ECC，其安全基礎(chǔ)分別是大數(shù)分解和橢圓曲線離散對數(shù)的數(shù)學(xué)難題。1994年，Peter W.Shor提出了Shor算法，指出Shor算法可以用于在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)求解大數(shù)質(zhì)因子和離散對數(shù)數(shù)學(xué)難題，開啟了Shor量子計(jì)算對公鑰密碼的攻擊研究。在參閱大量國內(nèi)外相關(guān)研究文獻(xiàn)后，對目前Shor量子計(jì)算對公鑰密碼攻擊的研究概況和量子計(jì)算機(jī)物理硬件上的實(shí)現(xiàn)做了綜述性分析。

公鑰密碼；Shor算法；RSA算法；ECC算法；攻擊

0 引言

Diffie和Hellman于1976年首次提出公鑰密碼學(xué)（public key cryptography簡稱PKC）的概念。這一新的思想，引起了密碼學(xué)歷史上的一次巨大的歷史變革，開創(chuàng)了密碼學(xué)和信息安全發(fā)展的新紀(jì)元。相對于以前的DES、AES等對稱加密算法，公鑰密碼算法也被稱為非對稱加密算法。公鑰密碼學(xué)能夠很好的解決經(jīng)典對稱密碼體制所固有的密鑰管理困難及不能進(jìn)行數(shù)字簽名等問題，而且公鑰密碼方便密鑰的管理，這不僅使得對稱密碼體制的使用變得方便和可靠，而且使密碼學(xué)在網(wǎng)絡(luò)和信息安全中發(fā)揮的作用更加廣泛和突出。目前，公鑰密碼理論與技術(shù)的發(fā)展正在為各種各樣的信息系統(tǒng)的安全性發(fā)揮著不可或缺的保障作用。至今，公鑰算法的發(fā)展已經(jīng)經(jīng)歷了20多年，也出現(xiàn)了很多種類的公鑰密碼算法。

1 有代表性的公鑰密碼算法

目前有3種公鑰密碼具有代表性：

（1）基于大整數(shù)分解難題（IFP）的算法體制；

（2）基于離散對數(shù)難題（DLP）的算法體制；

（3）基于橢圓曲線離散對數(shù)難題（ECDLP）的算法體制。

應(yīng)用比較廣泛的是第一種和第三種密碼體制對應(yīng)下的密碼算法：RSA和 ECC公鑰密碼算法。對于 IFP 問題和ECDLP問題，在數(shù)論上被認(rèn)為是難解的NP問題即在現(xiàn)有的經(jīng)典計(jì)算機(jī)上暫時(shí)還不能找到有效的多項(xiàng)式算法來成功求解的。這種數(shù)學(xué)上的難解特性使得RSA和ECC加密算法具有很高的安全性。

RSA加密體制是由麻省理工大學(xué)的Rivest、Shamir和Adleman在1978年提出的，橢圓曲線密碼體制是Miller和Koblitz于1985首次提出的。這兩種加密算法在非對稱加密體制中占有重要地位，不僅能用來加密數(shù)據(jù)，還能用來進(jìn)行數(shù)字簽名。RSA加密算法主要應(yīng)用在網(wǎng)上交易加密連接、網(wǎng)上銀行身份驗(yàn)證、各種信用卡的數(shù)字證書、智能移動(dòng)電話和存儲(chǔ)卡的驗(yàn)證的功能芯片等商業(yè)方面。ECC的應(yīng)用目前還沒有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，且成本相對更高，使其應(yīng)用不像 RSA那樣廣泛。但是由于其單位比特比RSA更高的安全性，在國家戰(zhàn)略層面上更受親睞，如其在二代身份證上的加密和數(shù)字簽名應(yīng)用。

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和量子力學(xué)的結(jié)合發(fā)展，一種全新的計(jì)算機(jī)概念被提出：量子計(jì)算機(jī)。量子計(jì)算機(jī)（quantum computer，簡稱QC），是一類遵循量子力學(xué)規(guī)律進(jìn)行高速數(shù)學(xué)和邏輯運(yùn)算、存儲(chǔ)及處理量子信息的物理裝置。當(dāng)某個(gè)裝置處理和計(jì)算的是量子信息，運(yùn)行的是量子算法時(shí)，它就是量子計(jì)算。雖然現(xiàn)在還沒有一臺(tái)真正意義上的通用量子計(jì)算機(jī)，但是已經(jīng)有了量子計(jì)算：在經(jīng)典計(jì)算機(jī)上運(yùn)行量子算法。這種量子計(jì)算使得傳統(tǒng)計(jì)算機(jī)有了更高的運(yùn)算效率，也使得當(dāng)運(yùn)行某種量子算法時(shí)，可以讓傳統(tǒng)計(jì)算機(jī)解決某些數(shù)學(xué)難題的不可能成為了可能。

1994年，美國AT&T公司的Shor提出了可在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)完成分解大整數(shù)質(zhì)因子的量子算法，稱其為Shor算法。在1997年的時(shí)候，Shor又對這種量子算法做了進(jìn)一步詳細(xì)的解釋和闡述?；赟hor算法的思想，Shor算法被用來求解大數(shù) N的兩個(gè)質(zhì)因子問題和求解橢圓曲線離散對數(shù)問題的研究開始出現(xiàn)。

這樣，Shor算法的提出就使得正被廣泛應(yīng)用的RSA和ECC加密算法的安全性受到了極大的挑戰(zhàn)。這一挑戰(zhàn)也直接關(guān)系到我國使用公鑰密碼的電子商務(wù)和電子政務(wù)的信息安全，更關(guān)系到我國戰(zhàn)略層面上的如二代身份證的信息安全。所以，作為本課題Shor量子計(jì)算對公鑰密碼攻擊就具有了重要的科研價(jià)值和實(shí)際意義。

Shor算法是一種運(yùn)行在量子計(jì)算機(jī)上的量子算法。人們已經(jīng)付出了很多努力直接去構(gòu)建量子計(jì)算機(jī)，但目前為止仍然難以實(shí)現(xiàn)控制成百上千個(gè)量子比特的量子計(jì)算機(jī)。令人遺憾的是，物理學(xué)界、密碼學(xué)界、計(jì)算機(jī)學(xué)界和數(shù)學(xué)界等的科學(xué)家認(rèn)為：要研究出能夠控制成百上千個(gè)比特的量子計(jì)算機(jī)在未來很長一段時(shí)間內(nèi)依然是極其困難的。本文參閱大量國內(nèi)外相關(guān)研究文獻(xiàn)，對目前Shor量子計(jì)算對公鑰密碼攻擊的研究概況和物理硬件上的實(shí)現(xiàn)做綜述性分析。

2 國內(nèi)外研究的最新進(jìn)展

目前應(yīng)用最廣泛的公鑰密碼是RSA和ECC，所以可以說量子算法（這里就是Shor算法）對公鑰密碼的攻擊就是量子算法對RSA和ECC加密算法的攻擊。由于RSA和ECC加密體制的安全基礎(chǔ)分別是IFP和ECDLP問題，所以量子算法攻擊RSA和ECC加密算法就是要使其能夠求解IFP（大數(shù)質(zhì)因子分解問題）和 ECDLP（橢圓曲線離散對數(shù)問題）問題。圍繞著這兩個(gè)問題，目前國內(nèi)外專家學(xué)者做了大量的研究。

2.1 Shor算法攻擊RSA研究概況

（1）國外研究概況

1996年，美國科學(xué)家Juan Pablo Paz在一個(gè)有干擾和損耗的量子電路上用了27量子比特成功分解了15。同時(shí)他指出對于分解大數(shù)N，需要的量子比特?cái)?shù)應(yīng)是n=5L+7（其中L取大于等于log2N的最小正整數(shù)）。這項(xiàng)工作的開展給實(shí)際操作中實(shí)現(xiàn)Shor量子算法提供了很好的借鑒。

2001年，美國IBM公司和斯坦福大學(xué)合作，利用核磁共振技術(shù)演示了Shor算法對15進(jìn)行分解的實(shí)驗(yàn)，但該實(shí)驗(yàn)不能顯示其量子屬性，也無法擴(kuò)展到更多的比特，限制了進(jìn)一步的研究。

2003年，加拿大蒙特利爾大學(xué)的 Stephane Beauregard介紹了一個(gè)使用2n+3量子比特的Shor分解的電路[1]，還用量子電路的11個(gè)量子比特分解了15。該電路的部分靈感來自于1996年的英國牛津大學(xué)克拉倫登實(shí)驗(yàn)室[2]。

2004年，美國赫爾辛基理工大學(xué)材料物理實(shí)驗(yàn)室的Jula J.Vartiainen利用約瑟夫森電荷量子比特實(shí)現(xiàn)了Shor算法[3]。他把Shor算法的量子電路分成了一系列兩量子比特和三量子比特的量子門不僅加速了Shor算法的實(shí)現(xiàn)，而且在此基礎(chǔ)上通過數(shù)值優(yōu)化的方法成功完成了對N=21分解的物理實(shí)現(xiàn)。

2007年，法國理論物理研究實(shí)驗(yàn)室在研究Shor算法的缺陷[4]（量子比特間殘余耦合造成）所產(chǎn)生的影響時(shí)，通過編寫 Quantware庫并調(diào)用該庫，用 30個(gè)量子比特實(shí)現(xiàn)了N=943的分解。

2010年，英國布里斯托大學(xué)電氣和電子工程的物理實(shí)驗(yàn)室和部門的量子光學(xué)中心的M.G. Thompson 等介紹了基本的Shor因式分解量子算法的實(shí)現(xiàn)[5]，主要是在由6個(gè)H門和 2個(gè)可控的相位門組成的波導(dǎo)電路中建立了一個(gè)可以實(shí)現(xiàn)Shor量子分解算法的電路，并成功的用Shor算法分解N=15。

2012年，美國加州大學(xué)圣巴巴拉分校的Erik Lucero等人[6]，在之前一些量子控制和硬件的技術(shù)下，展示了一個(gè)九量子元件的固態(tài)量子處理器來分解15的過程。該文首先用光譜描述設(shè)備，最后執(zhí)行一個(gè)3量子比特模型來分解15，當(dāng)超導(dǎo)量子態(tài)相干時(shí)間和更復(fù)雜的電腦被提供時(shí)可以分解更大的數(shù)。

2013年，美國衛(wèi)斯理大學(xué)的 Y.S.Nan等，在一個(gè) 128核的傳統(tǒng)計(jì)算機(jī)集群上構(gòu)建了一個(gè)虛擬的運(yùn)行Shor算法的量子計(jì)算機(jī)[7]，該虛擬量子計(jì)算機(jī)被分為在兩種模式下實(shí)現(xiàn)Shor算法。Shor算法的核心部分包括模冪運(yùn)算部分ME和求周期運(yùn)算部分PF。這兩種模式也就是基于Shor算法劃分的：第一種模式稱之為 PF（周期查找）模式即只有周期查找部分沒有Shor算法的模冪運(yùn)算部分（這部分用傳統(tǒng)模冪運(yùn)算結(jié)果來代替），第二種模式稱之為滿Shor算法模式包括模冪運(yùn)算和周期查找兩部分。在第一種模式下運(yùn)行的虛擬量子計(jì)算機(jī)可以最多控制39量子比特來實(shí)現(xiàn)N=55793的分解，在第二種模式下，可以最多實(shí)現(xiàn)N=57的分解。

（2）國內(nèi)研究概況

國內(nèi)的研究起步比較晚，這其中主要以中國科技大學(xué)的研究者為代表。

2007年，中國科學(xué)院公布，中國科技大學(xué)教授潘建偉和他的同事楊濤等[8]與英國牛津大學(xué)的研究人員合作，在國際上首次利用光量子計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)了Shor量子分解算法，研究發(fā)表在當(dāng)年1月的物理評論快報(bào)上。并在該量子計(jì)算上成功操控了 4個(gè)光子量子比特構(gòu)造一個(gè)簡單的線性光網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)N=15的分解。

2.2 Shor算法攻擊ECC研究概況

關(guān)于量子算法Shor算法對ECC的攻擊相對于Shor算法攻擊RSA來說很少。原因主要有兩方面：（1）Shor算法是建立在有限域的乘法群上來求解問題的，而ECC加密算法的橢圓曲線密碼是基于有限域下的加法群。雖然有限域下乘法群和加法群都可以歸納為阿貝爾隱含子群，但它們之間還是有很大區(qū)別的。（2）ECC加密算法相對RSA算法具有更難理解、運(yùn)算更復(fù)雜的特征。這就使得研究Shor算法攻擊ECC加密算法變得更加困難。截止2014年12月份，經(jīng)對《Nature》、《Science》、《PhyReview》等國內(nèi)外相關(guān)文獻(xiàn)的搜尋，針對Shor算法攻擊ECC的研究主要有以下幾家為代表：

首先是Shor本人。1994年，Shor提出了量子算法Shor算法，他指出Shor算法可以很容易破解大素?cái)?shù)質(zhì)因子分解，而且Shor算法可以去求解離散對數(shù)問題。至此開創(chuàng)了量子算法對公鑰密碼攻擊的研究，也給后來基于Shor算法求解橢圓曲線離散對數(shù)問題提供了很重要的思路。

其次，是以美國里奇蒙大學(xué)的Jodie Eicher和YawOpoku為代表的研究[9]。在 1997年，他們在首先介紹了橢圓曲線加密系統(tǒng)和量子計(jì)算的基礎(chǔ)之上，假設(shè)一個(gè)量子可以運(yùn)行Shor算法的量子計(jì)算機(jī)已經(jīng)存在，詳細(xì)的分析了Shor算法求解離散對數(shù)問題的過程并給出理論上的實(shí)現(xiàn)操作步驟。因?yàn)?，橢圓曲線離散對數(shù)問題與離散對數(shù)問題具有一定的相關(guān)性，他們做了類似于Shor算法求解離散對數(shù)問題的用Shor算法求解橢圓曲線離散對數(shù)問題的研究。令人欣喜的是，按著他們的思想和方法，他們在理論上成功分析了一個(gè)具體的用Shor算法求解橢圓曲線離散對數(shù)問題的例子。但是該舉例實(shí)現(xiàn)起來相當(dāng)困難。

另外一個(gè)具有代表性的是在2003年加拿大的滑鐵盧大學(xué)做的關(guān)于用Shor算法求解橢圓曲線離散對數(shù)問題的研究。滑鐵盧大學(xué)最開始是從數(shù)學(xué)和Shor算法兩個(gè)方面進(jìn)行著手分析：首先，分析有限域下各種橢圓曲線的特性并選擇了一條特殊的橢圓曲線進(jìn)行分析；然后，從實(shí)現(xiàn)Shor算法的模冪運(yùn)算與量子傅里葉變換的兩個(gè)模塊本身出發(fā)，進(jìn)行對Shor算法進(jìn)行優(yōu)化。在此基礎(chǔ)上，逐步分析Shor算法求解IFP、DLP、ECDLP問題，理論上做了一個(gè)很完整的Shor算法求解橢圓曲線離散對數(shù)問題的研究，并指出對于Shor算法攻擊n位比特的ECC，需要的量子比特?cái)?shù)為6n Qubits。但是，僅限于理論分析沒有給出實(shí)驗(yàn)?zāi)M的過程。

此外，國內(nèi)有關(guān)Shor算法求解橢圓曲線離散對數(shù)問題的研究也在逐步開展，這里面例如解放軍信息工程大學(xué)等[9][10]都有這方面的研究。

3 物理硬件上的實(shí)現(xiàn)

量子計(jì)算機(jī)上的物理硬件的實(shí)現(xiàn)能力決定著Shor算法分解攻擊的能力，對量子計(jì)算機(jī)上的物理硬件實(shí)現(xiàn)情況做相關(guān)分析總結(jié)。

在較新研究中，2012年，美國斯坦福大學(xué)愛德華.L.金茲頓實(shí)驗(yàn)室的N.Cody Jones等人提出了一個(gè)基于光控量子點(diǎn)的量子計(jì)算機(jī)分層結(jié)構(gòu)[11]，通過將功能劃分為層，可以獨(dú)立設(shè)計(jì)和分析子系統(tǒng)，并在該硬件平臺(tái)上執(zhí)行分析了分解算法。

3.1 實(shí)現(xiàn)量子計(jì)算機(jī)的幾種物理方法

（1）光子法（原子和光腔相互作用）：如用光子法進(jìn)行量子密鑰的分發(fā)。光晶格中的中性原子和光學(xué)級聯(lián)腔中的原子進(jìn)行量子模擬，光學(xué)腔可以任意的幾何方式排列，每個(gè)腔和一個(gè)原子系統(tǒng)相互作用，同時(shí)可以加入外光場來驅(qū)動(dòng)原子系統(tǒng)，腔中的原子和腔場一起構(gòu)成了極化子，這個(gè)系統(tǒng)可以用于模擬Bose-Hubbard模型。

（2）捕獲原子法（離子阱）：光腔（介質(zhì)波導(dǎo)）中相干光子做Qubit；微波腔中相干電磁波做Qubit。例如利用Pauli電磁勢阱來束縛離子，離子在勢阱中呈軸向排布，量子比特編碼在離子的內(nèi)態(tài)上。優(yōu)勢在于存在高精度的門操作和量子探測方案，但是集成性不是特別好，離子較多時(shí)，為使庫倫勢能最低，離子不在呈現(xiàn)規(guī)則的軸向排布，而是會(huì)形成“之”字型或者其他更復(fù)雜的圖樣。

（3）核磁共振實(shí)驗(yàn)較簡單，可在室溫下進(jìn)行，缺點(diǎn)：需做re-focds等，需要一定花費(fèi)，使信號隨量子比特?cái)?shù)增加而指數(shù)下降，要找具備很多有效量子比特的特定分子也不容易，所以NMR的QC最高只達(dá)到10Qubit左右。有實(shí)驗(yàn)執(zhí)行了基于7個(gè)量子位元的液態(tài)磁振量子電腦的Shor算法，對15做因式分解為3和5的示范，有寫到對7個(gè)量子比特算法分解15為3和5有實(shí)現(xiàn)了99.94%的性能改進(jìn)。

（4）量子點(diǎn)和滲雜物固體，在二維電子氣中通過疊加兩維的網(wǎng)格門，實(shí)現(xiàn)了一個(gè)半導(dǎo)體量子點(diǎn)鏈，只有量子點(diǎn)和超導(dǎo)約瑟夫森結(jié)方案更適合集成化和小型化。

（5）超導(dǎo)量子計(jì)算機(jī)，Qubits-SQUID中的庫伯對或磁通量子，Access與操作—定位德爾電容，電感耦合（約瑟夫森結(jié)量子系統(tǒng)）。

（6）硅固態(tài)量子計(jì)算機(jī)，優(yōu)勢在于：有希望大規(guī)模擴(kuò)展；固態(tài)；與硅技術(shù)可兼容。

3.2 FPGA模擬

王伶俐的FPGA模擬方法可以分解任意n量子比特門為m量子比特門和各種對角線門，即數(shù)學(xué)上n量子比特門U(2n) =U(2m)矩陣和對角矩陣。跟FPGA的結(jié)構(gòu)類似，該量子結(jié)構(gòu)由量子路由通道（QRC，用來量子路由資源和實(shí)現(xiàn)幺正變換，控制量子邏輯輸入輸出）和量子邏輯塊（QLB，執(zhí)行一個(gè)通用兩量子比特門）組成。

4 總結(jié)

本文分析Shor量子計(jì)算對公鑰密碼的攻擊的國內(nèi)外研究及物理實(shí)現(xiàn)現(xiàn)狀，得出：

Shor量子計(jì)算對公鑰密碼的攻擊目前的研究還處于起步階段，能分解的大數(shù)和求解橢圓曲線離散對數(shù)的能力還很有限。

采用傳統(tǒng)方法來實(shí)現(xiàn)量子Shor量子計(jì)算攻擊更具有可行性。這也有助于降低對通用量子計(jì)算機(jī)的要求，實(shí)現(xiàn)Shor量子計(jì)算破譯公鑰密碼攻擊現(xiàn)實(shí)性。

目前的物理實(shí)現(xiàn)還只能控制小規(guī)模的量子比特實(shí)現(xiàn)量子算法Shor的運(yùn)行，尚不能實(shí)現(xiàn)對現(xiàn)今使用的1024位RSA和163位的ECC的完全攻擊。所以要想能夠在多項(xiàng)式時(shí)間規(guī)模內(nèi)實(shí)現(xiàn)Shor算法對公鑰密碼的攻擊，則必須依賴于千位以上的通用量子計(jì)算機(jī)。

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Analysis of Shor quantum computer algorithm attacks to public key cryptography

Yin Bao1, Wang Keda2, Wang Xiao2, Wang Chao1
(1.Shanghai University Key Lab of Specialty Fiber Optics and Optical Access Network, Shanghai 200072, China; 2.China research institute of information security, Beijing 102200, China)

At present, e-government and e-commerce CA center use public key cryptography mainly containing RSA and ECC the security infrastructures of which are large integer factorization (IFP) and the elliptic curve discrete logarithm (ECDLP). In 1994，Peter W.Shor proposed Shor algorithm which could solvethe problems the of prime factorsof large numbers and elliptic curve discrete logarithm in polynomial time. It takes up the research of attackingpublic key cryptographywith Shor quantum algorithm. Referring to a lot of related research literatures, this paper makes analysis of the currently research on attacking public with key cryptography with Shor quantum algorithm and the realization of it in the physical hardware.

PublicKeyCryptography; Shor Algorithm; RSAAlgorithm; ECC Algorithm; Attacking

TN915

A

2015.04.01）

1007-757X(2015)05-0009-03

國家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目（61332019）；國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（61272096，60970006）；上海市教委創(chuàng)新基金重點(diǎn)項(xiàng)目（14ZZ089）

尹 寶（1990-），男，河南信陽人，上海大學(xué)，碩士研究生，研究方向：量子計(jì)算與量子攻擊密碼分析，上海，200072王克達(dá)（1976-），男，中國信息安全研究院，高級工程師，本科，研究方向：信息安全，北京，102200王 嘯（1985-），男，中國信息安全研究院，工程師，本科，研究方向：信息技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)化和信息安全北京，102200王 潮（1971-），男，江蘇鎮(zhèn)江人，上海大學(xué)，教授，博士生導(dǎo)師，博士，研究方向：無線傳感器網(wǎng)絡(luò)、網(wǎng)絡(luò)信息安全與橢圓曲線密碼學(xué)，量子計(jì)算與量子攻擊密碼分析，上海，200072