張邦健，苗峰**，張傳武

（西南民族大學(xué)電信學(xué)院，四川成都610000）

對柳比莫夫擺運(yùn)動(dòng)規(guī)律的探討*

張邦健，苗峰**，張傳武

（西南民族大學(xué)電信學(xué)院，四川成都610000）

推出了柳比莫夫擺的動(dòng)力學(xué)特征方程，通過對動(dòng)力學(xué)方程的分析證明了柳比莫夫擺并非擺動(dòng)而是做圓周運(yùn)動(dòng)，得出了小球運(yùn)動(dòng)的特征橢圓，并利用特征橢圓分析小球運(yùn)動(dòng)的規(guī)律并給出了周期公式。

柳比莫夫擺；特征方程；特征橢圓；周期

1 問題的提出

柳比莫夫擺是研究熱對流問題的一個(gè)簡化模型[1-3]。圖1所示為柳比莫夫擺模型圖，框架上懸掛小球，小球質(zhì)量為m，框架質(zhì)量為M。將小球移開平衡位置并給其一切向速度，同時(shí)釋放框架。當(dāng)時(shí)，小球會(huì)繞框做勻速圓周運(yùn)動(dòng)[4]。如果m與 M可比擬時(shí)，小球又將做怎樣的運(yùn)動(dòng)呢？文獻(xiàn)[5]已對這個(gè)問題有了一定的探討，本文將進(jìn)一步分析小球的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

圖1 柳比莫夫擺裝置圖

2 小球運(yùn)動(dòng)規(guī)律的特征方程

關(guān)于θ的大小，作如下規(guī)定：從y軸負(fù)半軸開始逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度與擺線重合，這個(gè)角度就稱為θ。筆者采用隔離法來建立方程，首先以框?yàn)檠芯繉ο?，該物體受到三個(gè)力的作用，即重力，繩對框的拉力，桿對框的作用力，如圖2所示

圖2 框的受力示意圖

圖3 小球的受力示意圖

利用x、y方向的分速度與夾角的關(guān)系可知

3 證明小球做圓周運(yùn)動(dòng)

3.1 細(xì)繩始終是繃直的

圖4 繩彎曲時(shí)球的運(yùn)動(dòng)情況

3.2 小球的運(yùn)動(dòng)永不反向

從（14）可以看出：小球相對于框的速度永不為零也不趨近于零，否則，與（14）矛盾。由于小球的速度不能突變，所以小球的運(yùn)動(dòng)將不會(huì)反向。

3.3 小球的位移沒有極限

現(xiàn)假設(shè)A點(diǎn)是小球的極限位置，可以分兩種情況：①小球相對于框靜止在A點(diǎn)；②小球相對于框無限逼近A點(diǎn)。對于①，顯然有小球相對于框的速度為零。對于②，前面已經(jīng)論述了小球的運(yùn)動(dòng)永不反向，而小球又無限逼近A點(diǎn)，故必然有小球相對于框的極限速度也為零，同樣與（14）矛盾?？梢娦∏虻奈灰茮]有極限。

綜上所述，由于繩在任意時(shí)刻都是繃直的，且小球的運(yùn)動(dòng)永不反向，小球的位移又沒有極限，則相對于框，小球必然做圓周運(yùn)動(dòng)。

4 小球運(yùn)動(dòng)的特征橢圓

4.1關(guān)系

其圖像如圖5所示

圖5 特征橢圓1（關(guān)系）

下面再進(jìn)一步地討論這個(gè)橢圓與小球運(yùn)動(dòng)規(guī)律之間更深層次的聯(lián)系。從圖5中可以得出

4.2關(guān)系

若將圖5中的橢圓做這樣的變換：保持各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮瑒t將原來的橢圓拉成了一個(gè)半徑為的圓，如圖6(a)所示。

圖6 位速變換圖

5 柳比莫夫擺的性質(zhì)

根據(jù)特征橢圓，可以發(fā)現(xiàn)一些柳比莫夫擺的性質(zhì)：

5.1 小球速度的變化規(guī)律

根據(jù)特征橢圓1，有小球與懸點(diǎn)相平時(shí)速度最大，在最高和最低位置時(shí)速度最小。從水平位置經(jīng)過最低（高）點(diǎn)到水平位置時(shí)，水平分速度從零到最大再變?yōu)榱悖Q直分速度從最大變?yōu)榱阍僮兊阶畲蟆?/p>

5.2 小球運(yùn)動(dòng)的周期

5.3 小球的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

5.4時(shí)小球的周期及周期公式的檢驗(yàn)

下面由以上所求周期公式計(jì)算該情形下的周期：

即小球質(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于框的質(zhì)量時(shí)的周期公式可作為柳比莫夫擺周期公式的特例給出，同時(shí)也說明了柳比莫夫擺周期公式的正確性。

6 結(jié)論

本文利用經(jīng)典力學(xué)理論推出了柳比莫夫擺的動(dòng)力學(xué)特征方程及特征橢圓，并通過特征橢圓進(jìn)行分析得出了及之間的關(guān)系。證明了柳比莫夫擺做非勻速圓周運(yùn)動(dòng)，并得到了柳比莫夫擺運(yùn)動(dòng)的周期公式。本文結(jié)果研究表明，時(shí)的柳比莫夫擺周期公式可作為柳比莫夫擺運(yùn)動(dòng)周期公式的特例給出。

注釋及參考文獻(xiàn)：

[1]Pavan K．Shukla,R．Narayanan．The effect of time-dependent gravity with multiple frequencies on the thermal convective stability of a fluid layer[J]．International Journal of Heat and Mass Transfer,2002(45):4011-4020．

[2]D．Lyubimov,A．Cherepanov,T．Lyubimova．Behavior of a drop(bubble)in a non-uniform pulsating flow[J]．Advances in Space Research,2002,4(29):667-672．

[3]Mark I．Shliomis．Nonlinear Dynamics of a Ferrofluid pendulum[J]．Physical Review Letters,2004,7(23)．

[4]漆安慎，杜嬋英．普通物理教程-力學(xué)[M]．北京：高等教育出版社,2005:112，477．

[5]張邦健，黎昌金，陳永強(qiáng),等．對柳比莫夫擺運(yùn)動(dòng)規(guī)律的研究[J]．西部教育研究,2010,4:108-110．．

[6]《現(xiàn)代數(shù)學(xué)手冊》編纂委員會(huì)．現(xiàn)代數(shù)學(xué)手冊-經(jīng)典數(shù)學(xué)卷[M]．武漢：華中科技大學(xué)出版社，1999:372-377．

The Discussion of the Lyubimov Pendulum’s Law of Movement

ZHANG Bang-jian，MIAO Feng，ZHANG Chuan-wu
(School of Electronic and Information Engineering，Southwest University for Nationalities，Chengdu，Sichuan 610000)

In this paper,we have derived the kinetic characteristic equation of the Lyubimov Pendulum’s and have proved that it will circle.It is concluded eigenellipse of the small ball movement.Making use of the eigenellipse,it has also solved the Period’s analytical expressions of the Pendulum’s movement and provided its cycle formula.

Lyubimov Pendulum’s;characteristic equation;eigenellipse;period

O314

A

1673-1891（2015）03-0017-03

2015-03-27

西南民族大學(xué)2014年教育教學(xué)改革青年項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：2014QN05）。

張邦?。?990-），男，四川成都人，碩士，研究方向：材料物理。**為通信作者苗峰博士。