楊志宏， 屈雙惠， 王 清

(1.石家莊學院 物理與電氣信息工程學院， 石家莊 050035;2.邢臺職業(yè)技術學院 電氣工程系， 河北 邢臺 054000)

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一個四翼超混沌系統(tǒng)的多翼效應及其控制電路實現(xiàn)

楊志宏1*， 屈雙惠1， 王 清2

(1.石家莊學院 物理與電氣信息工程學院， 石家莊 050035;2.邢臺職業(yè)技術學院 電氣工程系， 河北 邢臺 054000)

設計了一種新的分段線性函數(shù). 通過將分段函數(shù)替代四翼混沌系統(tǒng)中的狀態(tài)變量， 構造出一個新系統(tǒng)， 實現(xiàn)了原四翼系統(tǒng)的多翼效應. 對新系統(tǒng)的相圖、Lyapunov指數(shù)譜、分岔圖和Poincaré 截面等進行了分析， 并設計了新系統(tǒng)的模擬電路， 利用該方法設計的電路形式簡單易于實現(xiàn)， Multisim模擬結果與Matlab數(shù)值仿真結論相一致， 表明了該方法的可行性．

分段線性函數(shù); 多翼效應; 四翼混沌系統(tǒng)

上世紀90年代發(fā)展起來的混沌控制和混沌同步理論開拓了非線性在現(xiàn)代通信領域中的新應用， 非線性系統(tǒng)行為的長期不可預測性是保密通信安全的根本保證， 因此它在保密通信、信號處理等領域有著廣闊的應用前景. 而多翼混沌吸引子較一般的兩翼、四翼混沌吸引子的動力學行為更復雜， 因此在保密通信中具有更廣闊的應用價值.

目前， 人們已能較容易地構造出兩翼、四翼混沌吸引子， 對多翼混沌吸引子的構造也有所研究. 但在構造多翼混沌吸引子時， 有的構造方法復雜， 構造出的多翼混沌系統(tǒng)數(shù)學形式復雜， 電路實現(xiàn)困難， 有的則需要增加系統(tǒng)狀態(tài)方程的維數(shù)才能獲得[1-4]．

本文選用的四翼系統(tǒng)含有多個參數(shù)， 系統(tǒng)的每個方程中都含有一個三次非線性交叉乘積項， 具有真正的四翼混沌吸引子. 四翼混沌吸引子的系統(tǒng)信號具有較寬的頻譜帶寬， 這在信息加密技術中本就具有重要價值[2]， 在此基礎上， 通過將分段線性函數(shù)替代四翼混沌系統(tǒng)中的狀態(tài)變量， 構造了一個能夠產(chǎn)生多翼吸引子的新系統(tǒng)， 這在保密通信領域?qū)⒕哂懈蟮膽脙r值. 新設計的分段線性函數(shù)數(shù)學形式簡單， 電路易于實現(xiàn). 對新系統(tǒng)的相圖、Lyapunov指數(shù)譜、分岔圖等進行了數(shù)值仿真， 并對新系統(tǒng)進行了電路模擬. 數(shù)值仿真與電路模擬結果相一致， 證明了該方法的有效性．

1 多翼混沌吸引子的系統(tǒng)模型

本文選用的四翼混沌系統(tǒng)的數(shù)學模型為

(1)

式中a，b，c，d，e，h1，h2，h3是實常數(shù). 當參數(shù)a=50，b=7，c=13，d=12，e=8，h1=10，h2=10，h3=10 時， 系統(tǒng)存在一個真正的能穿越上下吸引域界限的四翼混沌吸引子， 如圖1所示．

圖1 四翼混沌系統(tǒng)吸引子Fig.1 Chaotic attractor of the four-winged system

為了實現(xiàn)該系統(tǒng)的多翼效應， 本文設計了一個新的分段線性函數(shù):

(2)

其中，N、M∈{0，1，2，……}，tn為實現(xiàn)多翼效應時各吸引子之間的間距，ε(x+tn*n-tn/2) 為單位階躍函數(shù)， 其波形圖如圖2所示.

圖2 單位階躍函數(shù)Fig.2 The unit step function

保持系統(tǒng)參數(shù)不變， 用分段線性函數(shù)f(x)替

代四翼混沌系統(tǒng)中的狀態(tài)變量x， 得到新系統(tǒng)為:

(3)

系統(tǒng)(3)能產(chǎn)生 (M+N+2) 個混沌吸引子， 每個吸引子均為能夠穿越上下吸引域界限的對角四翼混沌吸引子， 即系統(tǒng)(3)能產(chǎn)生4(M+N+2) 翼混沌吸引子. 取tn=8，當M=N=0時， 系統(tǒng)產(chǎn)生8翼混沌吸引子， 如圖 3(a) 所示; 當M=1，N=0時， 系統(tǒng)產(chǎn)生12翼混沌吸引子， 如圖 3(b) 所示; 當M=N=1時， 系統(tǒng)產(chǎn)生16翼混沌吸引子， 如圖 3(c) 所示; 當M=2，N=1時， 系統(tǒng)產(chǎn)生20翼混沌吸引子， 如圖 3(d) 所示．

圖3 系統(tǒng)(3)的多翼混沌吸引子Fig.3 Multi-winged chaotic attractors of system(3)

2 多翼混沌吸引子的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖

Lyapunov指數(shù) (LE) 能夠定量地描述混沌吸引子相鄰軌線之間彼此排斥的趨勢， 從系統(tǒng)的LE譜可以很直觀的分析出各參數(shù)變化時， 系統(tǒng)的變化情況. 對于周期軌有LE1=0 ，LE4 0，LE2≤ 0，LE4LE2> 0，LE3≤0，LE4< 0，LE1+LE2+LE3+LE4< 0. 圖 4 給出了在h3=[4，16] 時， 多翼混沌系統(tǒng)的 Lyapunov 指數(shù)隨參數(shù)h3的變化情況. 從圖中可以看出， 當h3=[5.2，6.8] 時， 系統(tǒng) (1) 的 Lyapunov指數(shù)中只有LE1=0， 其余各量均小于零， 表明此時系統(tǒng)進入周期狀態(tài); 而在其他區(qū)域有LE1> 0， 表明此時系統(tǒng)進入混沌或超混沌狀態(tài)[5-7].

圖5給出了M=1，N=0時變量x隨系統(tǒng)參數(shù)h3變化時的分岔圖， 從圖中可以看出， 分岔圖與 Lyapunov 指數(shù)隨h3的變化情況相一致， 并且在圖中能夠清楚地觀察到有3個混沌吸引子分布于變量x的不同區(qū)間內(nèi). 選取y=0 的截面， 得到系統(tǒng) (3) 的Poincaré截面如圖 6 所示. 從圖中可以看出， Poincaré截面圖上出現(xiàn)3個成片的密集點分布于變量x的不同區(qū)間內(nèi)， 每片密集點都具有一定的分形結構， 一些葉片被反復折疊， 這些葉片都能夠穿越上下吸引域界限.

圖4 參數(shù)h3變化時的Lyapunov指數(shù)譜Fig.4 Lyapunov exponential spectrum of parameter h3

圖5 x變量隨參數(shù)h3變化時的分岔圖Fig.5 Birfurcation diagram of parameter h3versus variable x

圖6 y=0時的Poincaré映射圖Fig.6 Poincaré map on x-z plane(y=0)

3 系統(tǒng)的電路實現(xiàn)

根據(jù)(3)式和(2)式， 設計了實現(xiàn)四翼系統(tǒng)多翼效應的電路圖， 如圖 7 所示， 其中u1，u2，u3，u4，u5分別對應系統(tǒng)狀態(tài)變量x，y，z，w和分段函數(shù)f(x). 該電路由五路模擬運算電路所組成， 分別實現(xiàn)系統(tǒng)(3)中各狀態(tài)變量的運算以及新型分段線性函數(shù)的運算. 采用的運算放大器型號為LF353D，其電源電壓E=±24 V， 輸出飽和值Vsat≈±22.455 V， 模擬乘法器的型號為AD633， 其增益為0.1. 此外， 積分電容器用以實現(xiàn)對各狀態(tài)變量的積分運算， 其他電路用以實現(xiàn)加減和反相運算[8-11]. 根據(jù)圖 7 得電路方程為:

(4)

為了能觀察到清晰的輸出波形， 對t進行時間尺度變換， 即t=10-3τ， 則方程(4)變?yōu)?/p>

(5)

取R=10 kΩ，R0=R02=R03=10 kΩ，R01=1 kΩ，C=10 nF， 根據(jù)系統(tǒng)(3)和式(5)得R1=8.33 kΩ，R2=2 kΩ，R3=2 kΩ，R4=1 kΩ，R5=8.33 kΩ，R6=14.29 kΩ，R7=14.29 kΩ，R8=1 kΩ，R9=7.69 kΩ，R10=12.5 kΩ，R11=1 kΩ，R12=8.33 kΩ，R13=8.33 kΩ，R14=1 kΩ. 在圖 7 實現(xiàn)新型分段線性函數(shù)f(x)的電路中， 取R15=R16=20 kΩ，R04=R05=4 kΩ，Rv=22.455 kΩ， 可以得到

(6)

(7)

當M=N=0時，k2閉合，k1，k3打開， 則有

(8)

此時， 電路產(chǎn)生8翼混沌吸引子， 如圖 8 (a)所示.

圖8 電路仿真結果Fig.8 Multisim experimental results

當M=1，N=0時，k1，k2，k3閉合， 取R17=30kΩ， 則有

(9)

此時， 電路產(chǎn)生12翼混沌吸引子， 如圖8(b)所示.

4 結論

本文設計了一種新的分段線性函數(shù)實現(xiàn)了四翼混沌系統(tǒng)的多翼效應， 新系統(tǒng)中的每個吸引子均為能夠穿越上下吸引域界限的對角四翼混沌吸引子. 該分段函數(shù)數(shù)學形式簡單， 電路易于實現(xiàn)， 容易調(diào)試， 系統(tǒng)的電路模擬與數(shù)值仿真結論符合得很好. 由于多翼混沌吸引子的動力學行為比兩翼、四翼混沌吸引子的更復雜， 因此， 利用該方法構造多翼混沌系統(tǒng)在保密通信中具有更大的應用價值．

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The multi-winged effect of the four-winged hyperchaotic system and its control circuit implementation

YANG Zhihong1， QU Shuanghui1， WANG Qing2

(1.Department of Physics and Electrical Information Engineering， Shijiazhuang University， Shijiazhuang 050035;2.Department of Electrical Engineering， Xingtai Polytechnic College， Xingtai， Hebei 054000)

A novel piecewise linear function is designed in this paper. It is used to replace the state variable in the four-winged chaotic system to generate the multi-winged effect from the previous four-winged system. Dynamic properties of the new system are investigated via phase diagram, Lyapunov exponent, bifurcation and Poincaré diagrams. An analog circuit is designed for the new system, which is simple and easy to implement. Matlab numerical simulation results are consistent with Multisim experimental results, which shows the feasibility of the proposed method.

piecewise linear function; multi-winged effect; four-winged chaotic system

2015-01-27.

河北省自然科學基金項目(F2013106079)；石家莊市科技計劃指導項目(141131561)；石家莊學院科研平臺建設成果(XJPT002)．

1000-1190(2015)05-0696-05

O415

A

*E-mail: yangzhihon_g@163.com.