☉浙江省寧波海曙外國語學(xué)校 張雪挺

☉浙江省舟山第一初級中學(xué) 張宏政

變式教學(xué)，應(yīng)以揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)為核心認(rèn)知活動(dòng)
——對一節(jié)初三專題復(fù)習(xí)課的思考與建議

☉浙江省寧波海曙外國語學(xué)校 張雪挺

☉浙江省舟山第一初級中學(xué) 張宏政

4月初，筆者主持的名師工作室到學(xué)員所在學(xué)校組織初三復(fù)習(xí)教學(xué)研討活動(dòng)，期間聽了幾堂課，其中一節(jié)“再認(rèn)全等三角形”引起了大家的關(guān)注.這位上課的z教師教齡已近20年，應(yīng)該積累了較豐富的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，看得出她對教學(xué)內(nèi)容也進(jìn)行過精心準(zhǔn)備，并且這個(gè)班級學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與思維能力也很不錯(cuò)，按說教學(xué)效果不會(huì)太差.但一堂課下來，大家整體感覺課的效果不太好，她本人也感到與預(yù)設(shè)的課堂有較大落差.那么到底是什么原因?qū)е铝诉@種反差，因此，有必要對這節(jié)課進(jìn)行深層次的解剖與反思.為客觀分析情況，筆者盡量還原課的原貌.

一、教學(xué)大致流程

z老師采用了時(shí)下比較流行的導(dǎo)學(xué)單上課，課的進(jìn)程如下.

1.開門見山，提出本課的復(fù)習(xí)目標(biāo)

（1）復(fù)習(xí)三角形全等的基本模型；

（2）在圖形旋轉(zhuǎn)過程中發(fā)現(xiàn)全等三角形，并善于在復(fù)雜圖形中分離基本圖形；

（3）利用基本圖形構(gòu)造全等三角形解決問題.

2.再認(rèn)三角形全等的基本模型

在呈現(xiàn)了經(jīng)分類后的全等三角形的基本模型后（如圖1），請學(xué)生填空并回答.

圖1

我們發(fā)現(xiàn)兩個(gè)全等三角形組成的圖形都可以看成由一個(gè)三角形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等變換得到.掌握這些基本圖形可為尋找和構(gòu)建兩個(gè)全等三角形，并進(jìn)一步解決幾何問題打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

圖2

3.發(fā)現(xiàn)與探究

問題1：如圖2，△ABC與△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，D為BC上一點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)哪些結(jié)論？

過程描述：學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)了如△ABD≌△ACE，BD=CE，∠BAD=∠CAE等結(jié)論，教師請一名學(xué)生闡述產(chǎn)生這些結(jié)論的理由后，立即呈現(xiàn)了下面的變式.

圖3

變式1：如圖3，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)C、D、E在同一條直線上時(shí)，連接BD、BE，則下列給出的四個(gè)結(jié)論中，其中正確的是_________.

①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE2=2（AD2+AB2）.

過程描述：經(jīng)過不到2分鐘的思考，老師開始叫學(xué)生回答.一名學(xué)生利用△ABD≌△ACE得到BD=CE，∠ACE=∠ABD，進(jìn)而推得，∠ACE+∠DBC=∠ABC=45°，∠CDB=∠BAD=90°，即BD⊥CE，下面的同學(xué)也都表示贊同.但對于結(jié)論④一時(shí)無法下斷言，這時(shí)老師介入，引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)有：BE2=BD2+DE2=2AD2+BD2，這時(shí)學(xué)生注意到BC2=2AB2≠BD2.故此結(jié)論錯(cuò)誤.

圖4

變式2：如圖4，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，且當(dāng)四邊形ACDE是平行四邊形時(shí)，連接CE交AD于點(diǎn)F，連接BD交CE于點(diǎn)G，連接BE.則變式1中的結(jié)論還成立嗎？你能證明CD·AE= EF·CG嗎？

過程描述：學(xué)生經(jīng)過幾分鐘的思考后發(fā)言，變式1中的結(jié)論①②③仍成立，結(jié)論④仍不成立.由BD⊥CE，得∠EAD=∠CGD.又AE∥CD，可得∠AEF=∠GCD.故有△EAF∽△CGD，于是得到即有CD·AE=EF·CG.

變式3：如圖5所示，△ABC與△ADE都是等腰三角形，且AB=AC，AD=AE，當(dāng)點(diǎn)D落在BC邊所在的直線上時(shí)，連接CE.若∠BAC=∠DAE=α，∠DCE=β，你能發(fā)現(xiàn)α、β之間的數(shù)量關(guān)系嗎？

圖5

過程描述：當(dāng)學(xué)生利用△ADB≌△ACE得到∠ACE=∠B，故∠DCE=2∠ACB，進(jìn)而得到α+β=180°時(shí)，老師并沒有讓學(xué)生再仔細(xì)審視一下題中的條件.而是指著“點(diǎn)D落在BC邊所在的直線上”這個(gè)條件說，老師以為你們肯定會(huì)分三種情況討論才對啊，接著她在PPT上呈現(xiàn)了如圖6、7所示的圖形，接著學(xué)生用近5分鐘的時(shí)間發(fā)現(xiàn)了這兩種情形下都有α=β.

圖6

圖7

教師提問：通過上面問題的解答，大家學(xué)會(huì)了什么？

一名學(xué)生說：都可以利用全等的知識來解決……

老師補(bǔ)充道：解題中要注意分類的條件，對于復(fù)雜的圖形，可以先分離出基本圖形…….剛才是三角形在作旋轉(zhuǎn)變換，下面讓我們來看看直線旋轉(zhuǎn)的情況吧.

問題2：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥MN于點(diǎn)D，BE⊥MN于點(diǎn)E.

（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖8的位置時(shí)，你發(fā)現(xiàn)了什么？這時(shí)線段DE、AD、BE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

圖8

過程描述：這個(gè)一線三等角模型學(xué)生大概很熟悉，故此，直接說出△ADC≌△CEB，進(jìn)而得到DE=DC+CE= AD+BE.

（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖9與圖10的位置時(shí)，這時(shí)線段DE、AD、BE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？

圖9

圖10

過程描述：學(xué)生還是通過△ADC≌△CEB很快推得DE=CD-CE=BE-AD與DE=CE-CD=AD-BE.這時(shí)老師說：剛才直線是繞著直角頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，若把直線繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，又會(huì)怎樣呢？

變式：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)A，且BD⊥MN于點(diǎn)D.

（2）探究：當(dāng)MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖12、13所示的位置時(shí)，線段BD、AD、CD之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？試寫出你的猜想，并選擇其中一種情況進(jìn)行證明.

圖11

圖12

圖13

過程描述：對于第（1）問，幾分鐘過后，學(xué)生仍不得要領(lǐng).這時(shí)教師是這樣啟發(fā)的：從結(jié)論中的你能聯(lián)想到什么？

又過了幾分鐘，終于有一位學(xué)生站起來回答：過點(diǎn)C作CE⊥CD，且使CE=CD，連接BE（如圖14），這樣CD就是DE，這時(shí)只要證明BE= AD.而AC=BC，CD=CE，∠ACD=∠BCE=90°-∠DCB，于是△ACD≌△BCE，也就有BE=AD.

圖14

還沒等他說完，下面同學(xué)就已經(jīng)議論紛紛，一個(gè)同學(xué)大聲說：你怎么知道B、D、E在同一條直線上？剛才這位同學(xué)大概也意識到了需要證明存在問題，不好意思地坐下了.

這時(shí)教師說：那就過C作CD的垂線并交DB的延長線于E吧.下面持不同意見的同學(xué)馬上說：但這樣證明△ACD≌△BCE又缺少CD=CE這個(gè)條件了呀？

正當(dāng)下面同學(xué)一籌莫展時(shí)，一名學(xué)生興奮地說：用四點(diǎn)共圓啊，因∠ACB=∠ADB=90°，所以A、C、B、D四點(diǎn)共圓.所以∠CDE=∠CAB=45°，于是易知CD=CE.

大概涉及四點(diǎn)共圓這個(gè)超綱的知識，部分學(xué)生還有一些模糊，于是老師進(jìn)行了一番解釋，因∠ACB=∠ADB=90°，故若以AB為直徑畫圓，可知C、D兩點(diǎn)都在圓上，所以，利用同弧的圓周角相等可以得到∠CDE=∠CAB=45°.下面的同學(xué)好像聽懂了，老師接著說，還有其他方法嗎？話音未落，下課鈴聲已然響起，后面的兩個(gè)變式題已來不及探究，老師只得草草自行總結(jié)了幾句便結(jié)束了本課…….

二、思考與建議

細(xì)細(xì)回想課堂中的場景，最深的印象就是老師急.急在拋題、解題、講題，好像不如此，自己精心預(yù)設(shè)的大餐學(xué)生就難以全部享用.在這種情緒影響下，教師方面希望題目一給出，學(xué)生方面就最好有條件反射似的回應(yīng).于是乎，課堂已然退化成模式識別、方法回憶、快速解題的舞臺，在此情形下，學(xué)生沒有從容思考的時(shí)間，當(dāng)然也很難有精彩的課堂生成.那么從課堂教學(xué)的本原出發(fā)，我們或許應(yīng)該思考這樣幾個(gè)問題，即為什么而教（學(xué)情分析與復(fù)習(xí)目標(biāo)的確立），教什么（教學(xué)內(nèi)容的選擇與設(shè)計(jì)），怎么教（課堂組織及有效啟發(fā)）的問題.

1.專題復(fù)習(xí)的復(fù)習(xí)目標(biāo)是什么

筆者剛到學(xué)?？吹桨才疟砩系恼n題時(shí)，原以為是一節(jié)對全等三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行全面梳理與應(yīng)用的復(fù)習(xí)課.等到上課前拿到學(xué)案，才知道是專門研究旋轉(zhuǎn)變換下的三角形全等.既然是專題復(fù)習(xí)，筆者想本課的復(fù)習(xí)目標(biāo)定位與變式設(shè)計(jì)方面就有一些問題.在筆者看來，對于這些基礎(chǔ)與能力都不錯(cuò)的初三學(xué)生而言，本課的任務(wù)并不在于多解決一些數(shù)學(xué)問題（事實(shí)上學(xué)生的題目解得夠多了，但對數(shù)學(xué)的認(rèn)識卻可能還是零散的、孤立的），而是要讓他們站在系統(tǒng)的高度上體驗(yàn)問題之間的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的規(guī)律.因此，本課的重點(diǎn)應(yīng)是在圖形的旋轉(zhuǎn)過程中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)哪些幾何結(jié)論（數(shù)量關(guān)系，位置關(guān)系，圖形關(guān)系）是不變的，為什么不變.因此，本課的復(fù)習(xí)目標(biāo)可以界定為：（1）能善于在圖形的旋轉(zhuǎn)變換中發(fā)現(xiàn)全等三角形的幾何結(jié)論，并體會(huì)不變的本質(zhì)源于圖形的旋轉(zhuǎn)；（2）在正確分析已知信息的基礎(chǔ)上，能較自然地通過旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造全等三角形來解決問題；（3）在體驗(yàn)變與不變的辯證關(guān)系中，進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)基本方法，不斷積累數(shù)學(xué)問題解決的基本經(jīng)驗(yàn).

2.教學(xué)設(shè)計(jì)，怎樣圍繞目標(biāo)展開

從復(fù)習(xí)目標(biāo)的調(diào)整再來審視本課的教學(xué)設(shè)計(jì)，筆者認(rèn)為問題在于：其一，本課開始的兩個(gè)環(huán)節(jié)無此必要.這是因?yàn)?，?dāng)學(xué)生對本課的學(xué)習(xí)內(nèi)容還沒有全面清晰地體驗(yàn)時(shí)，這時(shí)提出復(fù)習(xí)目標(biāo)無非是用老師的認(rèn)識來代替學(xué)生的思考；而環(huán)節(jié)2對全等三角形基本模型的分類，也不是本課的最主要任務(wù).其二，設(shè)計(jì)問題1系列變式的意圖應(yīng)放在讓學(xué)生充分體驗(yàn)到圖形在變而規(guī)律不變的數(shù)學(xué)本質(zhì).從這個(gè)意義上看，變式1、2的設(shè)計(jì)方式與問題1之間前后脫節(jié)，有另起爐灶之嫌.容易使學(xué)生的認(rèn)知停留在孤立的一個(gè)個(gè)問題解決之中，難以揭示問題的本質(zhì).因此，這兩個(gè)變式不如舍棄.不妨對設(shè)計(jì)進(jìn)行這樣的改造：直接呈現(xiàn)問題1，讓學(xué)生在從容思考后盡可能地發(fā)現(xiàn)結(jié)論，如△ABD≌△ACE，BD=CE，BD⊥CE，DE2=DC2+BD2……，然后請學(xué)生思考，當(dāng)點(diǎn)D在BC（或CB）的延長線上時(shí)，這些結(jié)論是否仍然成立？為什么？從而讓學(xué)生在揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，體驗(yàn)變與不變辯證關(guān)系的同時(shí)，為下面變式3的解決提供恰當(dāng)?shù)乃季S方向.其三，更深刻的還在于，若學(xué)生在分類解決變式3的過程中，發(fā)現(xiàn)存在α+β=180°與α=β兩種答案，而與前面的認(rèn)識產(chǎn)生一定的困惑時(shí)，老師可以引導(dǎo)學(xué)生觀察圖5中的∠DCE若看成是從D到E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的話，而圖6、7中的∠DCE則顯然是由D到E經(jīng)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)而成，于是，若同樣換成順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則兩者的結(jié)果是高度一致的（如圖15）.從而使學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握產(chǎn)生質(zhì)的飛躍.

圖15

3.啟發(fā)思考，如何讓方法更有效

問題2的變式因涉及構(gòu)造輔助線，顯然是本課的難點(diǎn)所在.在這里如何進(jìn)行有效的啟發(fā)，并能合理生成方法.這樣既能體現(xiàn)一名教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，也能反映出教師的課堂教學(xué)機(jī)智.遺憾的是，課堂上老師似乎有些準(zhǔn)備不足.第一，當(dāng)學(xué)生按照教師的啟發(fā)構(gòu)造出圖14的輔助線，進(jìn)而證明△ACD≌△BCE并受到同學(xué)質(zhì)疑時(shí)，此時(shí)若教師引導(dǎo)學(xué)生注意觀察這兩個(gè)三角形的關(guān)系，容易發(fā)現(xiàn)△BCE就是由△ACD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)90°而來，這樣自然就能引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)∠CBE+∠CBD=∠CAD+∠CBD=360°-∠ACB-∠ADB=180°，即B、D、E三點(diǎn)共線，而不需要就四點(diǎn)共圓解釋半天.第二，對于a+b=c型的幾何結(jié)論，問題2事實(shí)上已進(jìn)行了很好的鋪墊（否則這個(gè)設(shè)計(jì)就失去了應(yīng)有的價(jià)值），即運(yùn)用截長補(bǔ)短法思考，這是幾何證明的一般性思考方法，學(xué)生應(yīng)該也積累了這方面的經(jīng)驗(yàn).所以可否這樣啟發(fā)，能否通過某種方式把AD與BD拼成一條線段，學(xué)生自然容易想到把△ACD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°或把△BCE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°這兩種基本的證明思路，甚至于若有學(xué)生提出在DN上截取DE=DB時(shí)（如圖16），還能相機(jī)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)△ABE∽△CBD，進(jìn)而有即BD+而上述方法又能很好地遷移到另外兩個(gè)變式的證明之中.這樣既使本課的教學(xué)圍繞復(fù)習(xí)目標(biāo)連貫一致，也能更好地凸顯旋轉(zhuǎn)變換中變與不變的數(shù)學(xué)本質(zhì).

圖16

三、結(jié)束語

筆者一直認(rèn)為，近年來風(fēng)起云涌的課堂教學(xué)模式變革，對提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與自學(xué)能力等方面固然起到了一定的積極意義，但更重要的是，數(shù)學(xué)教師必須在數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)理解與專業(yè)素養(yǎng)的提高方面下功夫.唯如此，才能有效促進(jìn)學(xué)生的思維能力發(fā)展，并且使學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生積極的情感體驗(yàn)，從而更好地實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教育的育人價(jià)值.H