陳棽棽，韋迎旭

(河南省電力勘測(cè)設(shè)計(jì)院，河南 鄭州 450007)

1 概述

目前由于工程優(yōu)化及降低造價(jià)的要求，在火力發(fā)電廠煤倉(cāng)間內(nèi)煤斗儲(chǔ)煤量滿足鍋爐最大連續(xù)蒸發(fā)量工況耗煤小時(shí)數(shù)符合相關(guān)規(guī)程的前提下，力爭(zhēng)降低煤倉(cāng)間輸煤皮帶層的標(biāo)高以及提高煤斗的充滿系數(shù)，這樣煤斗的形狀除了傳統(tǒng)的平壁型(圖1)、圓錐型(圖2)、雙曲線漸縮型(圖3)等以外，還出現(xiàn)了如方變圓(也稱方圓節(jié))型和褲衩腿型等異形煤斗；為了方便、準(zhǔn)確地計(jì)算這些異形煤斗的幾何容積(體積)，有必要明確其理論計(jì)算公式。

圖1 平壁型

圖2 圓錐型

圖3 雙曲線漸縮型

而方變圓形狀幾何體的體積在大多數(shù)書(shū)籍和資料中未列出過(guò)其通用的計(jì)算公式，本文試圖采用數(shù)學(xué)積分的方法進(jìn)行推導(dǎo)，從而得出其通用公式。

另外，關(guān)于方變圓形狀幾何體的表面積計(jì)算，也是我們所關(guān)心的內(nèi)容。但由于這牽涉到更加復(fù)雜的推導(dǎo)和計(jì)算，甚至不能用解析式表達(dá)出來(lái)(涉及橢圓積分)，需要通過(guò)計(jì)算機(jī)數(shù)值算法才能得出，筆者將在另文中加以討論，本文中不再贅述。

2 方變圓幾何體的主要尺寸特征值

典型的方變圓幾何體見(jiàn)圖4。

其矩形端所在的平面與圓形端所在的平面是平行的。

將矩形端的兩邊長(zhǎng)分別用a和b表示，圓形端的半徑用R表示，方形端平面與圓形端平面間的距離用h表示。矩形中心與圓形圓心在水平方向上的偏差，即偏心距分別用c和d表示。

圖4 方變圓幾何體的主要尺寸特征值

3 積分求解方變圓的體積公式推導(dǎo)

首先建立一個(gè)三維直角坐標(biāo)系，為了計(jì)算方便，將原點(diǎn)定于圓形端的圓心上，見(jiàn)圖5。

圖5 三維直角坐標(biāo)系中的方變圓

設(shè)想在Z坐標(biāo)方向的一定高度z上平行于方變圓上下兩端平面截取一個(gè)截面s，可以推導(dǎo)出s的形狀見(jiàn)圖6。

圖6 截面s的形狀

截面s的截面積S的計(jì)算公式見(jiàn)式(1)：

則方變圓的體積V的計(jì)算公式為：

式(2)即為方變圓幾何體體積的通用理論計(jì)算公式，從式中可以看出其體積僅與矩形端和圓形端的幾何尺寸以及兩端間的距離(即h，也可稱為高)有關(guān)，而與兩端中心的偏心距無(wú)關(guān)。

4 運(yùn)用拆解變形方法驗(yàn)證體積公式

祖暅?zhǔn)俏覈?guó)南北朝時(shí)期著名數(shù)學(xué)家祖沖之之子，也是一名杰出的數(shù)學(xué)家，提出了著名的“祖暅原理”。

祖暅原理，又名等冪等積定理，原文為“冪勢(shì)既同，則積不容異。”，內(nèi)容是：夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平行平面的任何平面所截，如果截得兩個(gè)截面的面積總是相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等。

圖7 方變圓拆解變形示意圖

從祖暅原理的表述中可以看出，其本質(zhì)也是與數(shù)學(xué)積分相同的；這就為我們采用拆解變形的方法來(lái)驗(yàn)證方變圓體積的計(jì)算公式提供了依據(jù)。

從圖7中可以看出原先的方變圓可拆解為四個(gè)部分：(a)、(b)、(c)、(d)，而將其中的(a)、(b)、(c)繼續(xù)等體積分別變形為(a’)、(b’)、(c’)，則(a’)可形成一個(gè)正圓錐，(b’)和(c’)均形成一個(gè)三棱錐，而(d)是一個(gè)四棱錐。

可以簡(jiǎn)單地看出，(a’)的體積為πR2h/3，(b’)的體積為bRh/3，(c’)的體積為aRh/3，而(d)的體積為abh/3；而原先的方變圓體積是(a’)、(b’)、(c’)和(d)四部分的總和，這樣就與式(2)的結(jié)果是完全一致的。

5 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)公式推導(dǎo)，可以得出方變圓幾何體的體積公式為：

這也從拆解變形法中得到了驗(yàn)證，從而證明了該式的正確性。

[1]DL/T5145－2002，火力發(fā)電廠制粉系統(tǒng)設(shè)計(jì)計(jì)算技術(shù)規(guī)定[S]．

[2]原北京礦業(yè)學(xué)院高等數(shù)學(xué)教研組．?dāng)?shù)學(xué)手冊(cè)[M]北京：煤炭工業(yè)出版社，1976．