陳江麗

（臨滄師范高等?？茖W(xué)校信息科學(xué)與技術(shù)系，云南臨滄 677000）

Ward 系統(tǒng)聚類法是一種聚類分析方法。聚類分析是根據(jù)分類樣本數(shù)據(jù)特征的相似性，按照一定的規(guī)則將樣本分成若干類，使同一類中的樣本之間具有高相似度，而不同類的樣本間高度相異〔1〕。聚類分析已經(jīng)廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)分析、模式識別和圖像處理等許多領(lǐng)域。

聚類分析中主要通過距離來度量樣本間的相似性，可利用系統(tǒng)聚類法對樣本進(jìn)行聚類。聚類開始時將n 個樣本各自作為一類，并計(jì)算樣本間的距離、類與類之間的距離。然后將距離最近的兩類合并為一個新類，計(jì)算新類與其它類間的距離。重復(fù)將距離最近的兩類進(jìn)行合并，直至所有的樣本合并為一類。其中類與類間距離的定義可采用7 種不同的方法，分別是最短距離法（single）、最長距離法（complete）、中間距離法（median）、重心法（centroid）、類平均法（average）、可變類平均法（weighted）和離差平方和法（ward）〔2〕。文中主要研究Ward 系統(tǒng)聚類法及其在農(nóng)村居民收入情況分析中的應(yīng)用。

1 Ward系統(tǒng)聚類法

Ward 系統(tǒng)聚類法是指利用離差平方和法計(jì)算距離的一種聚類方法，類中各元素到類重心（即類均值）的平方歐式距離之和稱為類內(nèi)離差平方和。假設(shè)類GK與GL聚成一個新類GM，則GK、GL和GM的類內(nèi)離差平方和分別為公式（1）、（2）、（3）〔3〕。

當(dāng) GK和 GL合并成新類 GM時，WM＞ WK+WL，即類內(nèi)離差平方和增大。若GK和GL距離較近，則離差平方和增加的值應(yīng)該較小。因此GK和GL的平方距離根據(jù)公式（4）計(jì)算。

因此，離差平方和法是將方差分析的思想應(yīng)用于分類中，使同一類中的離差平方和小，表示樣本間的相似度高；而不同類間的離差平方和大，則樣本間的相似度低〔4〕。通過離差平方和的大小來度量樣本間的相似性，符合聚類分析的要求。

2 Ward系統(tǒng)聚類法的Matlab實(shí)現(xiàn)

利用Matlab 相關(guān)的系統(tǒng)聚類函數(shù)進(jìn)行聚類分析，主要分為以下4個步驟。

2.1 樣本預(yù)處理為了保證分析結(jié)果的準(zhǔn)確性，需要對樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行一些預(yù)處理，如平滑處理、標(biāo)準(zhǔn)化變換和極差歸一化變換等。在實(shí)際應(yīng)用中，可根據(jù)數(shù)據(jù)特征進(jìn)行選擇處理。一般較常用進(jìn)行數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化變換，主要針對多元數(shù)據(jù)中各元間的量綱和數(shù)量級不一致的情況。Matlab提供了常用的zsocre函數(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化處理。

2.2 計(jì)算樣本間距離聚類開始時，需要計(jì)算n個樣本間的距離，距離的計(jì)算方法包括明氏距離、蘭氏距離、馬哈拉諾比斯距離和斜交空間距離等。其中最常用的是明氏距離中的歐式距離。第i個樣本Xi和第j 個樣本Xj之間的歐式距離計(jì)算如公式（5）所示。

Matlab 中使用pdist 函數(shù)計(jì)算樣本間的歐式距離，調(diào)用格式為y=pdis（tX）。其中X 為輸入的樣本矩陣，每一行對應(yīng)一個樣本，每一列對應(yīng)樣本的一個分量。輸出y 是一個包含n(n-1) 2 個元素的行向量，分別對應(yīng)第i 個（其中i=2，3，…，n）和第j 個（其中j=1，2，…，n-1）樣本間的距離。

2.3 利用Ward 系統(tǒng)聚類法創(chuàng)建聚類樹通過Ward 系統(tǒng)聚類法進(jìn)行聚類是聚類分析中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。通過創(chuàng)建系統(tǒng)聚類樹可以完整地反映聚類的過程。Matlab工具箱中提供了linkage函數(shù)創(chuàng)建系統(tǒng)聚類樹，調(diào)用格式為Z=linkage（y，‘ward’）。其中輸入?yún)?shù)y是上一步計(jì)算的樣本間距離，‘ward’表示使用離差平方和法進(jìn)行系統(tǒng)聚類。輸出參數(shù)Z是創(chuàng)建的系統(tǒng)聚類樹，包含(n-1)×3 個元素的矩陣，它的每一行對應(yīng)一次聚類，其中前兩個元素為聚類的兩個類編號（初始類編號為1～n，每聚成一個新類，類編號依次增加1），第3個元素為聚類時的距離。

創(chuàng)建好的系統(tǒng)聚類樹可利用Matlab工具箱中的dendrogram 函數(shù)生成系統(tǒng)聚類樹形圖，使聚類過程和結(jié)果更加清晰直觀。聚類樹形圖由許多連接聚類對象的倒U形線組成，線的高度表示聚類距離。樹形圖中的葉節(jié)點(diǎn)對應(yīng)原始聚類樣本。

2.4 計(jì)算系統(tǒng)聚類樹的不一致系數(shù)系統(tǒng)聚類樹的不一致系數(shù)可用來確定最終的分類個數(shù)。在保證最終聚類個數(shù)盡量少的前提下，可通過不一致系數(shù)的變化確定最終的分類個數(shù)。若不一致系數(shù)較上次的變化越大，則聚類效果越差。

系統(tǒng)聚類樹的不一致系統(tǒng)可使用Matlab 工具箱中的inconsistent 函數(shù)進(jìn)行計(jì)算。調(diào)用格式為Y=inconsistent（Z），輸入?yún)?shù)Z是由linkage函數(shù)創(chuàng)建的系統(tǒng)聚類樹，輸出參數(shù)Y 是一個包含(n-1)×4 個元素的矩陣，其中的第4 列為每一次聚類的不一致系數(shù)。

2.5 創(chuàng)建聚類結(jié)果根據(jù)創(chuàng)建好的系統(tǒng)聚類樹，以及由不一致系數(shù)確定的聚類個數(shù)，創(chuàng)建聚類，并輸出聚類結(jié)果，完成聚類過程。

創(chuàng)建聚類可利用Matlab工具箱中的cluster函數(shù)實(shí)現(xiàn)，其調(diào)用格式為T=cluster（Z，‘maxclust’，n），輸入?yún)?shù)Z是由linkage函數(shù)創(chuàng)建的系統(tǒng)聚類樹，創(chuàng)建一個最大聚類數(shù)為n 的聚類，輸出參數(shù)T 為每一個樣本的所屬的類序號。

3 利用Ward系統(tǒng)聚類法分析農(nóng)村居民收入情況

中國作為一個農(nóng)業(yè)人口和農(nóng)民經(jīng)濟(jì)占主體的國家，農(nóng)民收入水平及其分配狀況直接關(guān)系擴(kuò)大內(nèi)需政策的落實(shí)，關(guān)系國民經(jīng)濟(jì)持續(xù)快速增長，關(guān)系國民經(jīng)濟(jì)發(fā)展戰(zhàn)略目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。由于地域差異和經(jīng)濟(jì)基礎(chǔ)等因素的影響，農(nóng)民人均純收入在地區(qū)間形成顯著的差異。根據(jù)各地區(qū)農(nóng)村居民人均純收入的構(gòu)成情況，包括工資性收入、經(jīng)營性收入、財(cái)產(chǎn)性收入、轉(zhuǎn)移性收入等部分，如表1 中列出2012年全國31個省、市、自治區(qū)和直轄市的農(nóng)村居民人均純收入數(shù)據(jù)，利用Ward 系統(tǒng)聚類法進(jìn)行聚類分析，將地區(qū)按收入情況劃分為不同的類，根據(jù)同一類地區(qū)間農(nóng)村居民收入情況的相似性，不同類地區(qū)間收入情況的差異性，為地區(qū)經(jīng)濟(jì)分析與研究提供重要依據(jù)，對經(jīng)濟(jì)政策和扶持的制定提供科學(xué)的指導(dǎo)。

表1 2012年各地區(qū)農(nóng)村居民人均純收入

3.1分析步驟及結(jié)果

1）讀取表1 中的工資性收入、家庭經(jīng)營純收入、財(cái)產(chǎn)性收入和轉(zhuǎn)移性收入4 個主要變量數(shù)據(jù)放入矩陣 X 中，X 就是一個 31×4 的矩陣。讀取表 1 中的地區(qū)數(shù)據(jù)放入矩陣city 中，city 是一個包含31 個元素的列向量。

2）X=zscore（X）；%數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化（減去均值，除以標(biāo)準(zhǔn)差）。

3）y=pdist（X）； %計(jì)算樣品間歐氏距離，y為距離向量。

4）Z = linkage（y，‘ward’）； % 利用離差平方和法創(chuàng)建系統(tǒng)聚類樹。

5）H = dendrogram（Z，0，‘orientation’，‘right’，‘labels’，city）；%繪制聚類樹形圖，方向從右至左，顯示所有葉節(jié)點(diǎn)，用城市名作為葉節(jié)點(diǎn)標(biāo)簽，葉節(jié)點(diǎn)標(biāo)簽在左側(cè)，返回線條句柄H。創(chuàng)建的系統(tǒng)聚類樹樹形圖。見圖1。

圖1 2012年各地區(qū)農(nóng)村居民人均純收入聚類樹形圖

6）inconsistent 0=inconsistent（Z）；%計(jì)算不一致系數(shù)，計(jì)算結(jié)果如下所示。

7）inconsistent 0矩陣中的第4列為不一致系數(shù)，通過觀察和比較每次聚類過程的不一致系數(shù)?？紤]倒數(shù)第4 和5 次聚類的不一致系數(shù)的變化，不一致系數(shù)大幅增加1.132 6，說明倒數(shù)第5 次的聚類效果是比較好的，對照圖1的系統(tǒng)聚類樹形圖可看出，此時樣本被劃分為4類。即可認(rèn)為聚為4類是最合適的。

8）T=cluster（Z，‘maxclust’，4）；%由系統(tǒng)聚類樹創(chuàng)建聚類，最終聚為4類。

9）obslabel（T==1）；%查看第1 類所包含的地區(qū)，結(jié)果如下。

第1類地區(qū)為：天津、江蘇、浙江、廣東。

10）obslabel（T==2）；%查看第2 類所包含的地區(qū)，結(jié)果如下。

第2 類地區(qū)為：內(nèi)蒙古、遼寧、吉林、黑龍江、福建、江西、山東、河南、湖北、海南、新疆。

11）obslabel（T==3）；% 查看第 3 類所包含的地區(qū)，結(jié)果如下。

第3 類地區(qū)為：河北、山西、安徽、湖南、廣西、重慶、四川、貴州、云南、西藏、陜西、甘肅、青海、寧夏。

12）obslabel（T==4）；% 查看第 4 類所包含的地區(qū)，結(jié)果如下。

第4類地區(qū)為：北京、上海。

3.2 分析結(jié)論利用Ward 系統(tǒng)聚類法對2012 年全國31 個地區(qū)的農(nóng)村居民人均純收入情況進(jìn)行聚類分析，最終劃分為4類地區(qū)。從結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，不同地區(qū)的農(nóng)村居民收入水平與地理位置、資源、人口、經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平等方面有相應(yīng)的關(guān)系。

第1類中，天津是中國4 個直轄市之一，是首都北京的門戶，中國國家中心城市。江蘇是我國著名經(jīng)濟(jì)大省。浙江是中國經(jīng)濟(jì)比較發(fā)達(dá)的沿海對外開放省份，以民營經(jīng)濟(jì)的發(fā)展帶動經(jīng)濟(jì)的起飛。廣東是中國經(jīng)濟(jì)總量最大和發(fā)展最快的省份。4個省的城鎮(zhèn)企業(yè)、民營企業(yè)較多，政府扶持，發(fā)展良好。故這4個省的農(nóng)村居民家庭人均純收入位居全國前列〔5〕。

第2類中，遼寧、吉林、黑龍江3省土地肥沃，水資源豐富，農(nóng)業(yè)產(chǎn)值和農(nóng)民收入較高。山東、河南是我國的農(nóng)業(yè)大省，交通發(fā)達(dá)，使得經(jīng)濟(jì)迅速發(fā)展，農(nóng)村居民生活水平進(jìn)一步提高。福建、江西、湖北、海南是一個雨量豐沛的地區(qū)，氣候溫和，適合農(nóng)作物生長，農(nóng)業(yè)發(fā)展較快，農(nóng)村居民家庭人均純收入相對較高〔6〕。內(nèi)蒙古和新疆兩省國家扶持力度大，財(cái)政支出持續(xù)向民生傾斜，農(nóng)村居民家庭人均純收入相對較高〔7〕。

第3 類中的14 個地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入較低，且多數(shù)是西部地區(qū)，貴州、云南等屬于丘陵地帶〔8〕。陜西、甘肅的土地資源中旱地占主要部分〔9-10〕。青海、西藏屬高原地帶，由于受地理位置和氣候條件的影響，農(nóng)業(yè)產(chǎn)值較低，農(nóng)村居民家庭人均純收入較低。

第4 類中，北京是中國的首都，也是中國的政治、文化、科教和國際交往中心，中國經(jīng)濟(jì)、金融的決策和管理中心〔11〕。上海是中國的經(jīng)濟(jì)、交通、科技、工業(yè)、金融、貿(mào)易、會展和航運(yùn)中心〔12〕。不僅如此，旅游業(yè)等副業(yè)的繁榮也是農(nóng)村農(nóng)民高收入的原因，因而農(nóng)村居民家庭人均純收入位于全國最前列。

因此，分析結(jié)果可以為進(jìn)一步研究影響收入水平的因素和提高不同地區(qū)農(nóng)民收入水平的措施提供科學(xué)合理的依據(jù)。

4 結(jié)語

利用Ward 系統(tǒng)聚類法根據(jù)數(shù)據(jù)特征的相似性進(jìn)行分類的特點(diǎn)，對不同地區(qū)按農(nóng)村居民的人均純收入情況進(jìn)行聚類，劃分為不同的區(qū)類，為深入研究和政策的制定提供決策支持，在現(xiàn)實(shí)環(huán)境中具有較高的應(yīng)用價值。

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