王景宇，戴妍峰

(1. 中國(guó)科學(xué)院國(guó)家天文臺(tái)，北京 100012；2. 中國(guó)科學(xué)院太陽(yáng)活動(dòng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 (國(guó)家天文臺(tái))，北京 100012)

擺鏡平臺(tái)壽命的Bootstrap估計(jì)*

王景宇1,2，戴妍峰1,2

(1. 中國(guó)科學(xué)院國(guó)家天文臺(tái)，北京 100012；2. 中國(guó)科學(xué)院太陽(yáng)活動(dòng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 (國(guó)家天文臺(tái))，北京 100012)

擺鏡平臺(tái)是大口徑空間天文望遠(yuǎn)鏡圖像穩(wěn)定控制系統(tǒng)中的一個(gè)活動(dòng)部件，為評(píng)估其壽命，進(jìn)行了擺鏡平臺(tái)壽命試驗(yàn)。擺鏡平臺(tái)壽命試驗(yàn)為單子樣壽命試驗(yàn)，先驗(yàn)概率信息很少，采用Bayes方法進(jìn)行壽命估計(jì)有一定的困難。Bootstrap方法是一種非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法，它對(duì)未知分布不做任何假設(shè)，僅利用計(jì)算機(jī)對(duì)原始樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行再抽樣模擬未知分布，通過(guò)再生抽樣將小樣本問(wèn)題轉(zhuǎn)化成大樣本問(wèn)題。Bootstrap方法要求子樣數(shù)要大于等于5。采用半經(jīng)驗(yàn)虛擬增廣子樣和Bootstrap相結(jié)合的方法進(jìn)行擺鏡平臺(tái)壽命的區(qū)間估計(jì)。在擺鏡平臺(tái)壽命服從威布爾(Weibull)分布的假定下，通過(guò)以往類似產(chǎn)品壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)推斷出威布爾分布形狀參數(shù)，然后用壽命試驗(yàn)值和威布爾分布形狀參數(shù)推導(dǎo)出擺鏡平臺(tái)壽命的方差，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行子樣虛擬增廣。虛擬增廣子樣需要滿足兩個(gè)條件：(1)增廣子樣的均值等于壽命試驗(yàn)值；(2)虛擬增廣子樣的方差等于類似產(chǎn)品壽命的經(jīng)驗(yàn)方差。根據(jù)這兩個(gè)條件建立一個(gè)方程組，用數(shù)值計(jì)算法求解方程組得到增廣子樣。這些作為Bootstrap區(qū)間估計(jì)原始樣本的增廣子樣用于計(jì)算樣本的經(jīng)驗(yàn)分布和樣本重抽樣。通過(guò)重抽樣得到10 000個(gè)樣本，計(jì)算每個(gè)樣本的均值，然后對(duì)10 000個(gè)均值進(jìn)行排序，得到均值μ1≤μ2≤…≤μ10 000，采用分位數(shù)法計(jì)算置信水平為1-α的Bootstrap置信區(qū)間，得到置信區(qū)間(μk1，μk2)，其中k1=[10 000 ×α/2]，

擺鏡平臺(tái)；Bootstrap方法；增廣子樣；Weibull分布；置信下限

擺鏡平臺(tái)是空間太陽(yáng)望遠(yuǎn)鏡圖像穩(wěn)定控制系統(tǒng)中的一個(gè)部件，為研究擺鏡平臺(tái)在空間環(huán)境下的使用壽命，國(guó)家天文臺(tái)建立了擺鏡平臺(tái)壽命試驗(yàn)系統(tǒng)，并在此系統(tǒng)上進(jìn)行了擺鏡平臺(tái)壽命試驗(yàn)。由于擺鏡平臺(tái)是一種高可靠性且價(jià)格昂貴的產(chǎn)品，因此，在進(jìn)行壽命試驗(yàn)時(shí)只采用一個(gè)擺鏡平臺(tái)作為試件。在這種情況下，擺鏡平臺(tái)壽命評(píng)估屬于單子樣壽命試驗(yàn)評(píng)估問(wèn)題。通常處理小子樣估計(jì)的方法有Bayes方法和Bootstrap方法[1-2]。由于擺鏡平臺(tái)的驗(yàn)前信息極少，采用Bayes方法進(jìn)行壽命評(píng)估有一定的困難。Bootstrap方法是一種非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法，它對(duì)未知分布不做任何假設(shè)，僅利用計(jì)算機(jī)對(duì)原始樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行再抽樣模擬未知分布，通過(guò)再生抽樣將小樣本問(wèn)題轉(zhuǎn)化成大樣本問(wèn)題[3]。Bootstrap方法要求子樣數(shù)n≥5，為使用Bootstrap方法對(duì)擺鏡平臺(tái)壽命進(jìn)行評(píng)估，采用文[2]中的方法對(duì)子樣數(shù)進(jìn)行虛擬擴(kuò)展，將子樣數(shù)由1增加到5以上，然后再利用Bootstrap方法進(jìn)行擺鏡平臺(tái)壽命估計(jì)，給出擺鏡平臺(tái)平均壽命的置信區(qū)間和置信下限。

1 半經(jīng)驗(yàn)虛擬增廣子樣與Bootstrap方法相結(jié)合的極小子樣評(píng)估方法

文[2]給出了極小子樣試驗(yàn)的半經(jīng)驗(yàn)評(píng)估方法，同時(shí)指出這種評(píng)估方法由于試驗(yàn)均值的標(biāo)準(zhǔn)差大導(dǎo)致置信下限下降很大。為克服這一缺點(diǎn)，文[2]的作者提出了一種半經(jīng)驗(yàn)虛擬增廣子樣與Bootstrap方法相結(jié)合的極小子樣評(píng)估方法。

1.1 半經(jīng)驗(yàn)虛擬增廣子樣方法

為使虛擬增廣新子樣所蘊(yùn)含的隨機(jī)特性與原子樣隨機(jī)性的差別在允許范圍之內(nèi)，虛擬增廣子樣應(yīng)滿足下列條件：

(1)虛擬增廣后的子樣均值應(yīng)與原來(lái)的子樣均值相等；

(2)虛擬增廣后的子樣標(biāo)準(zhǔn)差與類似件的子樣標(biāo)準(zhǔn)差相等。

具體增廣方法如下：設(shè)T0為試驗(yàn)值，σ為半經(jīng)驗(yàn)所得的試驗(yàn)值的標(biāo)準(zhǔn)差，由于試驗(yàn)中試件只有一個(gè)，只得到一個(gè)試驗(yàn)值T0，因此，只能以此試驗(yàn)值作為試驗(yàn)均值的估計(jì)值。虛擬增廣子樣為Ti，i=1,2,…,n，其中某一子樣值為T0，滿足下列方程組：

.

(1)

采用數(shù)值計(jì)算的方法解上述方程組得到虛擬增廣子樣。

1.2Bootstrap方法

Bootstrap方法是美國(guó)Stanford大學(xué)教授Efron于1979年提出的一種新的統(tǒng)計(jì)推斷方法，是一種只依賴于給定觀測(cè)信息，而不需要其它假設(shè)的統(tǒng)計(jì)推斷方法。

?Tn，

由觀測(cè)X=(x1,x2, …,xn)估計(jì)R(X,F)分布特征的基本步驟如下[3]：

.

(2)

(2)從Fn中抽取子樣

X*

X*稱為Bootstrap子樣。

利用Rn的分布模擬Tn的分布，可以對(duì)分布參數(shù)θ進(jìn)行區(qū)間估計(jì)。

1.3 單子樣壽命試驗(yàn)的區(qū)間估計(jì)

利用半經(jīng)驗(yàn)虛擬增廣子樣與Bootstrap方法相結(jié)合的極小子樣評(píng)估方法可進(jìn)行單子樣壽命試驗(yàn)的區(qū)間估計(jì)，具體步驟如下：

(1)利用虛擬增廣方法將子樣由1個(gè)增廣到n個(gè)；

(2)將n個(gè)子樣值按從小到大順序排列，然后計(jì)算經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)Fn；

(4)利用上述抽樣集合計(jì)算壽命的Bootstrap置信區(qū)間[4]。

1.4 算例

文[2]給出了一個(gè)用此方法估計(jì)飛行器結(jié)構(gòu)壽命的算例：一飛行器結(jié)構(gòu)做了一次壽命試驗(yàn)，得出其壽命為T0=20 000 h，由經(jīng)驗(yàn)知其壽命為對(duì)數(shù)正態(tài)分布，對(duì)數(shù)壽命的標(biāo)準(zhǔn)差σY=0.17，其中Y=logT，利用(1)式將Y由1個(gè)Y0=logT0=4.301，虛擬增廣到5個(gè){3.801，4.105，4.301，4.497，4.801}，再用Bootstrap方法求出均值估計(jì)密度分布，得到Y(jié)均值90%置信度下限為4.084 76，對(duì)應(yīng)壽命T均值的置信下限為12 153 h。

2 擺鏡平臺(tái)壽命估計(jì)

2.1 擺鏡平臺(tái)壽命的分布

威布爾(Weibull)分布是瑞典物理學(xué)家Weibull在分析材料強(qiáng)度時(shí)推導(dǎo)的一種概率分布類型。由于威布爾分布含有兩個(gè)或三個(gè)參數(shù)，它對(duì)各種類型試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合的能力強(qiáng)，因此，使用廣泛，許多隨機(jī)現(xiàn)象可認(rèn)為近似服從威布爾分布。

(3)

式中，ηi為各部件分布的比例參數(shù)。

壽命試驗(yàn)中的試件為德國(guó)PI公司的S-340型擺鏡平臺(tái)，由兩對(duì)壓電陶瓷觸動(dòng)器推動(dòng)擺鏡平臺(tái)臺(tái)面擺動(dòng)，S-340擺鏡平臺(tái)中的壓電陶瓷促動(dòng)器為PI公司的PICMA(PICeramicco-firedmultilayeractuators)，根據(jù)文[5]PICMA的壽命服從兩參數(shù)威布爾分布，形狀參數(shù)m的平均值為1.4。通過(guò)對(duì)擺鏡平臺(tái)構(gòu)成部件的分析，認(rèn)為擺鏡平臺(tái)壽命主要由PICMA決定。由于擺鏡平臺(tái)中兩對(duì)PICMA的使用環(huán)境和工作條件相同，因此，可以認(rèn)為其壽命分布的形狀參數(shù)相同。假定擺鏡平臺(tái)的壽命為最薄弱的一個(gè)PICMA的壽命，根據(jù)(3)式擺鏡平臺(tái)壽命分布也為威布爾分布，且形狀參數(shù)與PICMA相同為1.4。

2.2 單子樣擺鏡平臺(tái)壽命試驗(yàn)的壽命Bootstrap置信下限計(jì)算

文[6]給出了壽命服從威布爾分布情況下的半經(jīng)驗(yàn)虛擬增廣子樣與Bootstrap結(jié)合的方法，將子樣數(shù)由1虛擬增廣到7，用Bootstrap方法計(jì)算平均壽命的置信下限。用此方法計(jì)算擺鏡平臺(tái)平均壽命置信下限的過(guò)程如下：

擺鏡平臺(tái)壽命T服從兩參數(shù)威布爾分布，概率密度函數(shù)為

(4)

式中，m為形狀參數(shù)；η為比例參數(shù)。擺鏡平臺(tái)壽命T的均值、方差用Γ函數(shù)表示為

(5)

(6)

設(shè)T0為擺鏡平臺(tái)壽命的試驗(yàn)值，根據(jù)威布爾分布將其虛擬擴(kuò)展為7個(gè)子樣，記為T1、T2、T3、T4、T5、T6、T7，由于威布爾分布密度函數(shù)是偏態(tài)的，因此，在進(jìn)行虛擬子樣擴(kuò)展時(shí)，在試驗(yàn)值T0左邊取4個(gè)點(diǎn)，右邊取2個(gè)點(diǎn)，且滿足T1

(7)

化簡(jiǎn)后為

.

(8)

因?yàn)橹挥幸粋€(gè)試驗(yàn)值T0，只能將它作為試驗(yàn)值均值的估值，即E(T)≈T0，由(5)、(6)式及m=1.4得D(T)

(9)

將(9)式代入(8)式得

(10)

令Ti=kiT0，i=1, 2, 3, 4, 6, 7代入(10)式得

(11)

利用數(shù)值計(jì)算方法解(11)式，可給出ki，i=1,2,3,4,6,7，由此得到擴(kuò)展子樣X(jué)：

X=(k1T0，k2T0，k3T0，k4T0，T0，k6T0，k7T0)，

利用X計(jì)算擺鏡平臺(tái)平均壽命的Bootstrap置信區(qū)間，具體步驟如下：

為加快壽命試驗(yàn)的進(jìn)程，在壽命試驗(yàn)中引入了加速過(guò)程，目前加速因子為5.5。擺鏡平臺(tái)壽命試驗(yàn)從2013年1月1日開(kāi)始，到2014年3月18日已進(jìn)行442天，擺鏡平臺(tái)工作正常。因此，可以認(rèn)為壽命試驗(yàn)值T0=442×24×5.5=58 344 h，h表示小時(shí)。利用(11)式選出一組系數(shù)ki,i=1,2,3,4,6,7

與T0相乘得到的增廣子樣為

單位為h。取N=10 000，按上述Bootstrap置信區(qū)間的方法用Matlab編程計(jì)算，得到擺鏡平臺(tái)壽命90%、95%、98%和99%的Bootstrap置信區(qū)間，具體值見(jiàn)表1。

如果擺鏡正常工作2年，壽命試驗(yàn)值T0=730×24×5.5=96 360 h，擺鏡平臺(tái)壽命90%、95%、98%和99%的Bootstrap置信區(qū)間計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2。

表1 擺鏡平臺(tái)正常工作442天情況下壽命 Bootstrap置信區(qū)間計(jì)算結(jié)果

Table 1 Confidence intervals for the lifetime of the tip-tilt platform at the time when it has been working normally for 442 days as calculated using our bootstrap method

置信度/%置信下限/h置信上限/h903576684146953146889163982859896688992680899916

表2 擺鏡平臺(tái)正常工作2年情況下壽命 Bootstrap置信區(qū)間計(jì)算結(jié)果

Table 2 Confidence intervals for the lifetime of the tip-tilt platform at the time when it has been working normally for 2 years as calculated using our bootstrap method

置信度/%置信下限/h置信上限/h9057889138975955197114726098466451573249944277163833

從表1可知95%置信區(qū)間為[31 468 h，89 163 h]，或[3.59年， 10.18年]，置信下限為T0.95=31 468h=3.59年。

從表2可知95%置信區(qū)間為[51 971h，147 260h]，或[5.93年， 16.81年]，置信下限為T0.95=51 971h=5.93年。

3 結(jié) 論

對(duì)單子樣擺鏡平臺(tái)壽命試驗(yàn)，在擺鏡平臺(tái)近似服從威布爾分布的假定下，根據(jù)以往擺鏡平臺(tái)組件壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)推斷威布爾分布的形狀參數(shù)，在此基礎(chǔ)上可以采用半經(jīng)驗(yàn)虛擬增廣子樣與Bootstrap方法相結(jié)合的方法進(jìn)行擺鏡平臺(tái)壽命的Bootstrap區(qū)間估計(jì)，給出擺鏡平臺(tái)壽命的置信區(qū)間和置信下限。

[1] 馮蘊(yùn)雯, 馮元生. 極小子樣高可靠性成敗型產(chǎn)品試驗(yàn)的貝葉斯評(píng)估方法研究[J]. 機(jī)械科學(xué)與技術(shù), 1999, 18(2): 198-200.FengYunwen,FengYuansheng.StudyofBayes’estimationforproducttestofextremesmall-samplehigh-reliabilitysafe-or-failurepattern[J].MechanicalScienceandTechnologyforAerospaceEngineering, 1999, 18(2): 198-200.

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CN 53-1189/P ISSN 1672-7673

Estimation of the Lifetime of a Tip-Tilt Platform Using a Bootstrap Method

Wang Jingyu1,2, Dai Yanfeng1,2

(1. National Astronomical Observatories, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100012, China,Email: wangjingyu@bao.ac.cn; 2. Key Laboratory of Solar Activities, National Astronomical Observatories, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100012, China)

Tip-Tilt Platforms; Bootstrap method; Augmented sample; Weibull distribution; Lower confidence bound

國(guó)家自然科學(xué)基金 (11078018) 資助.

2014-03-18；修定日期：2014-04-24

王景宇，男，研究員. 研究方向：天文儀器與方法. Email: wangjingyu@bao.ac.cn

TP273

A

1672-7673(2015)01-0096-06

上述方法計(jì)算0.95置信水平的Bootstrap置信下限為3.59年，如果正常工作兩年，0.95置信水平的Bootstrap置信區(qū)間為(5.93年，16.81年)。