朱曉東，劉 丹，李 廣

(鄭州大學(xué) 電氣工程學(xué)院，河南 鄭州450001)

0 引言

傳統(tǒng)模糊系統(tǒng)在面臨大量輸入變量時會遭遇維數(shù)災(zāi)問題，從而限制了傳統(tǒng)模糊系統(tǒng)的應(yīng)用．為解決多輸入模糊系統(tǒng)“維數(shù)災(zāi)”問題，1991 年Raju等［1］等提出了一類串聯(lián)型分層模糊系統(tǒng)，這種分層模糊系統(tǒng)在解決維數(shù)災(zāi)問題時也帶來了其他問題，如分層模糊系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)復(fù)雜、待辨識參數(shù)較多、中間變量無物理含義等．筆者前期提出一種新型分層模糊系統(tǒng)結(jié)構(gòu)形式［2］:后件直聯(lián)型分層模糊系統(tǒng)(Consequent-Cascade type of hierarchical fuzzy system，CCHFS)，該系統(tǒng)能夠避免中間變量所帶來的問題，同時不會大量增加辨識參數(shù)．對于后件直聯(lián)型分層模糊系統(tǒng)，在此基礎(chǔ)上，筆者又提出一種基于混合優(yōu)化算法的模糊系統(tǒng)辨識方法，即利用粒子群算法辨識分層模糊模型的前件參數(shù)，采用遞推最小二乘估計算法(RLSE)辨識結(jié)論參數(shù)，利用Mackey-Glass 混沌時間序列及Box-Jenkins 數(shù)據(jù)進行了實驗，通過對比其他優(yōu)化算法，表明該混合優(yōu)化算法能夠提高分層模糊系統(tǒng)模型的逼近精度．

1 后件直聯(lián)型分層模糊系統(tǒng)

筆者前期研究［2］所提出的后件直聯(lián)型分層模糊系統(tǒng)如圖1 所示，該分層模糊系統(tǒng)結(jié)構(gòu)將中間變量作為模糊單元輸出的一個調(diào)整項，不但能避免模糊推理過程中對中間變量的處理，而且能夠大量減少規(guī)則數(shù)目和辨識參數(shù)數(shù)目，同時每層模糊單元只有兩個輸入量．

圖1 后件直聯(lián)型分層模糊系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig．1 The structure of the Consequent-Cascade type of hierarchical fuzzy system

CCHFS 的每一層模糊單元均采用T-S 模糊模型，當(dāng)模糊系統(tǒng)采用高斯隸屬函數(shù)、單點模糊化、乘積推理、加權(quán)平均解模糊方法時，輸入xk=(xk1，xk2)的第k(k = 1，2，…，L)層模糊單元的第i 條規(guī)則為:

第k(k=1，2，…，L)層模糊單元的輸出為

式中:yk-1(y0=0)為第k -1 層模糊單元的輸出;bk(b1=0)是相應(yīng)輸出的系數(shù)(xkj)= exp(- 0．5 (xkj-)2/2)為高斯隸屬函數(shù)(xkj)中相應(yīng)的參數(shù)．

2 后件直聯(lián)型分層模糊系統(tǒng)辨識

后件直聯(lián)型分層模糊系統(tǒng)模型的辨識，主要包括輸入變量的選取，規(guī)則前件參數(shù)辨識，模型輸出后件參數(shù)優(yōu)化．

2．1 輸入變量的選擇

輸入變量選擇是在有限個輸入變量中選取對系統(tǒng)輸出影響較大的變量，主要方法有:貝葉斯法［3］、偏最小二乘法［4］、PMI 指標(biāo)法［5］等，筆者采用一種基于最小二乘法［6］的變量選擇方法，此方法在保證數(shù)據(jù)可靠性的基礎(chǔ)上，可避免利用模型算法進行變量重要性分析時由于模型選擇不當(dāng)所帶來的誤差．

2．2 辨識前件參數(shù)

粒子群優(yōu)化算法(Particle Swarm Optimization，PSO)是Kennedy 等提出的一種智能優(yōu)化算法．該算法占用計算機內(nèi)存少，不依賴于問題的具體領(lǐng)域，尤其適用于求解一些非線性、多參數(shù)復(fù)雜系統(tǒng)的全局優(yōu)化問題．

2．2．1 粒子編碼

采用實數(shù)編碼方式，對于具有L 層模糊單元的后件直聯(lián)型分層模糊模型，粒子xl(l =1，2，…，M)為該模糊模型的輸入變量所對應(yīng)的高斯隸屬度函數(shù)(xkj)參數(shù)的集合，即xl= (ml，σl);ml=;σl=?;粒子種群數(shù)為n;k(k=1，2，…，L)表示第k 層模糊單元;M 為每個輸入變量的模糊子集數(shù)．

2．2．2 適應(yīng)度函數(shù)設(shè)計

適應(yīng)度函數(shù)取分層模糊系統(tǒng)模型輸出與實際輸出值的均方根誤差(RMSE)，即

式中:yi為待辨識對象的實際輸出為分層模糊系統(tǒng)模型的輸出．

2．2．3 速度、位移的更新策略

粒子的速度、位移更新策略決定了算法的收斂速度和精度，更新策略如下

2．2．4 算法步驟

1)初始化參數(shù)，并隨機產(chǎn)生種群的位置和速度;

2)按照式(2)計算初始種群中個體的適應(yīng)值;

3)更新每個粒子的個體最好位置:

5)根據(jù)式(3)、式(4)調(diào)整所有粒子的移動速度及其位置;

6)重復(fù)執(zhí)行步驟2)～5)，直至達到最優(yōu)解對應(yīng)的適應(yīng)度函數(shù)值保持不變，或者迭代次數(shù)已達到設(shè)定的最大值，則算法終止．

2．3 后件參數(shù)的辨識

后件參數(shù)的辨識采用遞推最小二乘法，針對上述的后件直聯(lián)型分層模糊系統(tǒng)，定義

則式(1)可以寫為

一個具有L 層模糊單元的分層模糊系統(tǒng)，設(shè)有n 組輸入輸出數(shù)據(jù)，則第k 層模糊單元的輸入輸出數(shù)據(jù)為，yki)，式中=，則可得到:

式中:ykq(q=1，2，…，n，y0q=0)表示第k 層模糊單元的第q 組輸出;P 為L = (3NK+1)維的列向量，P 的最小二乘估計為P*= (XTX)-1XTY．為了迭代優(yōu)化結(jié)論參數(shù)向量P 及避免矩陣求逆，采用遞推最小二乘算法，公式為

式中:XK+1(K=0，1，2，…，n-1)表示式(10)中X 的第k 個行向量;QK+1表示式(8)中Y 的第k 個元素;P 是結(jié)論參數(shù)向量，P0=0;S 是增益矩陣，S0= CI，C 一般取大于104的實數(shù)，I 為L 維的單位矩陣．

3 辨識算法

綜上所述，對具有L 層模糊單元的后件直聯(lián)型分層模糊系統(tǒng)，其完整辨識算法如下:

(1)對分層模糊系統(tǒng)模型，采用基于最小二乘的變量選擇方法分配每層模糊單元的輸入量;(2)選定隸屬度函數(shù)的形狀，設(shè)置輸入變量的模糊空間劃分個數(shù);(3)以期望輸出為參照，利用粒子群算法優(yōu)化模型的前件參數(shù)，在此基礎(chǔ)上利用遞推最小二乘依次計算每一層模糊單元的后件參數(shù);(4)由前一步所得到的分層模糊模型計算模型輸出，重復(fù)第三步進行迭代優(yōu)化，直至達到結(jié)束條件．

4 仿真

以Mackey-Glass 混沌時間序列及Box-Jenkins煤氣數(shù)據(jù)為仿真對象，驗證建立后件直聯(lián)型分層模糊模型，利用筆者所提混合優(yōu)化算法，進行模型辨識，同時，將雜草優(yōu)化算法以及果蠅優(yōu)化算法作為比較，在這兩種方法中，所有輸入變量模糊子集的隸屬函數(shù)均采用高斯隸屬函數(shù)，且后件參數(shù)的辨識均采用遞推最小二乘法．

方法1 中，采用果蠅優(yōu)化算法［8］優(yōu)化前件參數(shù)，初始化果蠅種群位置X0，Y0，尋找食物方向X=X0+rand(b，2dc);Y=Y0+rand(b，2dc)，其中，b為種群規(guī)模;d 為模糊系統(tǒng)所有輸入變量的個數(shù)．

方法2 中，采用入侵雜草優(yōu)化算法［9］優(yōu)化前件參數(shù)，初始種群中目標(biāo)函數(shù)為r 的雜草產(chǎn)生新種子個數(shù)N = (r-r0)(s1-s0)/(r1-r0)+s0，其中，s0，s1分別為最小、最大種子數(shù)目;r 的變化范圍為［r0，r1］．第t 次迭代的標(biāo)準(zhǔn)差σt=(t1-t)n(σ0-σ1)/t1+σ1，當(dāng)前迭代次數(shù)t 變化范圍為［t0，t1］;σ0，σ1分別為起始、最終標(biāo)準(zhǔn)差;非線性調(diào)和指數(shù)n 取為3．

4．1 Mackey-Glass 混沌時間序列建模與預(yù)測

將筆者提出的建模方法用于Mackey-Glass 混沌時間序列建模與預(yù)測，該時間序列可表示為

x(0)～x(17)賦初值1．2，選取1 000 組數(shù)據(jù)，即t = 124，125，…，1 123．采用最小二乘法確定輸入變量x(i)對輸出變量的影響imp(x(i))，結(jié)果如表1 所示．

表1 輸入變量的重要性排序Tab．1 The importance ranking of the input variables

利用筆者提出的方法，采用表2(所有模型的輸出變量均取為x(t+1))中的4 個輸入變量的后件直聯(lián)型分層模糊系統(tǒng)模型，輸入變量均取3 個模糊子集，將前500 對當(dāng)作訓(xùn)練數(shù)據(jù)，其余500 對作為測試數(shù)據(jù)以驗證模糊模型的有效性，對混沌時間序列進行建模與預(yù)測．取誤差e=f*-y，f*為模糊模型的輸出，y 為混沌時間序列的實際輸出，圖2 給出了檢驗數(shù)據(jù)的仿真實驗結(jié)果．

仿真結(jié)果表明，筆者提出的辨識方法辨識精度較其他兩種的精度高．

4．2 Box-Jenkins 煤氣爐數(shù)據(jù)建模與預(yù)測

選用著名的Box-Jenkins 煤氣爐數(shù)據(jù)來辨識燃燒爐的分層模糊系統(tǒng)模型，輸入數(shù)據(jù)u(t)是甲烷的流量，輸出數(shù)據(jù)y(t)是CO2含量的百分比．取t = 5 ～296，即292 組數(shù)據(jù)，將u(t)與y(t)的歷史值作為輸入變量x(i)，計算輸入變量x(i)對輸出變量y(t)的影響imp(x(i))，結(jié)果如表3所示．

根據(jù)筆者所述的辨識算法，采用表4(所有模型的輸出變量均取y(t))中有3 個模糊單元的后件直聯(lián)型分層模糊系統(tǒng)模型，且變量均取3 個模糊子集，仿真結(jié)果如圖3 所示．

實驗結(jié)果表明，筆者提出的基于混合優(yōu)化算法的辨識精度要高于其他兩種算法，是一種較為有效的模糊模型辨識方法．

表2 3 種模糊辨識方法比較(M-G 混沌數(shù)據(jù))Tab．2 Comparison of three kinds of fuzzy identification methods (M-G chaos data)

圖2 仿真實驗結(jié)果Fig．2 The simulation results

圖3 仿真實驗結(jié)果Fig．3 The simulation results

表3 輸入變量的重要性排序Tab．3 The importance ranking of the input variables

表4 3 種模糊辨識方法比較(Box-Jenkins 數(shù)據(jù))Tab． 4 Comparison of three kinds of fuzzy identification methods (Box-Jenkins data)

5 結(jié)論

筆者針對一種新型結(jié)構(gòu)的分層模糊系統(tǒng)，提出了一種混合優(yōu)化算法進行模型優(yōu)化，并將該混合優(yōu)化算法與果蠅優(yōu)化算法、入侵雜草優(yōu)化算法分別對Mackey-Glass 混沌時間序列及Box-Jenkins數(shù)據(jù)進行仿真實驗，實驗結(jié)果表明，筆者所提出的混合優(yōu)化算法能夠獲得較高的逼近精度，是一種有效的辨識優(yōu)化算法．

［1］ RAJU G V S，ZHOU Jun，KISNER R A． Hierarchical fuzzy control［J］． International Journal of Control，1991，54(5):1201 -1216．

［2］ 朱曉東，王杰． 一種新型分層模糊系統(tǒng)及其逼近性能［J］． 控制與決策，2013，28(10):1559 -1563，1567．

［3］ O'HARA R B，SILLANP M J． A review of Bayesian variable selection methods:what，how and which［J］．Bayesian Analysis，2009，4(1):85 -117．

［4］ MEHMOOD T，LILAND K H，SNIPEN L，et al． A review of variable selection methods in partial least squares regression［J］． Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems，2012，118:62 -69．

［5］ GRADISAR D，GLAVAN M． Input variable selection algorithms for HPC［C］∥Proceedings of 2012 IEEE International Conference on Industrial Technology (ICIT)． Athens:IEEE Service Center，2012:66 -71．

［6］ CHUNG Fu-lai，DUAN Ji-cheng． On multistage fuzzy neural network modeling［J］． IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2000，8(2):125 -142．

［7］ 徐龍琴，劉雙印． 基于PSO-WSVR 的短期水質(zhì)預(yù)測模型研究［J］． 鄭州大學(xué)學(xué)報:工學(xué)版，2013，34(3):112 -116．

［8］ 劉成忠，黃高寶，張仁陟，等． 局部深度搜索的混合果蠅優(yōu)化算法［J］． 計算機應(yīng)用，2014，34(4):1060 -1064．

［9］ 左旭坤，蘇守寶． 多子群入侵雜草優(yōu)化算法研究及應(yīng)用［J］． 計算機工程，2014，40(2):184 -188．