吳 煥，趙潤(rùn)生，唐 勇

（中認(rèn)英泰檢測(cè)技術(shù)有限公司，蘇州 215104）

引言

隨機(jī)振動(dòng)是未來(lái)任何一給定時(shí)刻的瞬時(shí)值都不可預(yù)先確定的一種機(jī)械振動(dòng)。它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律 無(wú)法用確定函數(shù)，只能用概率與統(tǒng)計(jì)方法描述。隨機(jī)振動(dòng)從振動(dòng)單次現(xiàn)象觀察來(lái)看存在不確定性，但根據(jù)相同的條件下多次測(cè)試結(jié)果的總體分析，其統(tǒng)計(jì)特征為確定的。通常隨機(jī)振動(dòng)探討的問題有：確定系統(tǒng)響應(yīng)統(tǒng)計(jì)特性之“預(yù)測(cè)”問題，估計(jì)系統(tǒng)性能之“識(shí)別”問題以及尋找外部的激勵(lì)信息之“測(cè)量”問題[1]。

工程上用隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)來(lái)確定元器件和設(shè)備經(jīng)受規(guī)定嚴(yán)酷等級(jí)的隨機(jī)振動(dòng)能力，國(guó)內(nèi)目前能進(jìn)行隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)的檢測(cè)機(jī)構(gòu)非常多，但能完成較大量級(jí)隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)的單位較少。

隨著有限元技術(shù)的發(fā)展，隨機(jī)振動(dòng)也可以通過計(jì)算機(jī)進(jìn)行有限元仿真。經(jīng)過試驗(yàn)驗(yàn)證的有限元分析方法可以用來(lái)分析結(jié)構(gòu)在隨機(jī)激勵(lì)下的響應(yīng)，研究結(jié)構(gòu)在承受一定嚴(yán)酷等級(jí)隨機(jī)振動(dòng)后的失效模式，在此基礎(chǔ)上對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，縮短了結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)周期，降低了設(shè)計(jì)成本。

1 隨機(jī)振動(dòng)的描述

隨機(jī)振動(dòng)和確定性振動(dòng)有本質(zhì)的不同，不能用時(shí)間的確定性函數(shù)來(lái)描述。在幅域上，隨機(jī)振動(dòng)通過概率分布函數(shù)、概率密度函數(shù)、均值、均方值、方差等來(lái)描述；在時(shí)差域上用相關(guān)函數(shù)、相關(guān)系數(shù)來(lái)描述；在頻域上則通過功率譜密度函數(shù)來(lái)描述[2]。

1.1 隨機(jī)振動(dòng)的幅域描述

1）概率密度函數(shù)

如圖1所示的隨機(jī)信號(hào)，描述的是信號(hào)幅值隨時(shí)間的變化，幅值落在 x到x +Δx 區(qū)間內(nèi)的總時(shí)間為：

則幅值落在該區(qū)間內(nèi)的概率為：

定義概率密度函數(shù)為：

由式（2）可以看出，概率密度函數(shù)是概率相對(duì)于振幅的變化率，因此可以從對(duì)概率密度函數(shù)積分而得到概率，即：

式（2）亦表明概率密度函數(shù)是概率分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，它給出了隨機(jī)信號(hào)沿幅值域分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。不同隨機(jī)信號(hào)有不同的概率密度函數(shù)圖形，工程上最常見的也是應(yīng)用最多的是正態(tài)分布的概率密度函數(shù)圖形，如圖2所示。

2）均值

隨機(jī)信號(hào){ Xn}的均值定義為其隨機(jī)變量Xn的數(shù)學(xué)期望：

均值是隨機(jī)變量的一階矩，可理解為信號(hào)的直流分量。

3）均方值

隨機(jī)信號(hào){ Xn}的均方值定義為其隨機(jī)變量Xn模的平方的數(shù)學(xué)期望：

均方值是隨機(jī)變量的二階矩，可理解為信號(hào)的平均功率，表達(dá)了信號(hào)的強(qiáng)度。

1.2 隨機(jī)振動(dòng)的頻域描述

信號(hào)頻域描述的目的是判斷一個(gè)信號(hào)過程由哪些頻率成分構(gòu)成。對(duì)于確定性信號(hào)，若信號(hào)為周期信號(hào)，可用傅里葉級(jí)數(shù)展開來(lái)分析周期信號(hào)的頻率成分；若為非周期信號(hào)，可用信號(hào)本身的傅里葉變換來(lái)對(duì)信號(hào)進(jìn)行頻域分析。而對(duì)于隨機(jī)信號(hào)，不能直接對(duì)其進(jìn)行傅里葉變換，采用功率譜密度函數(shù)進(jìn)行頻域描述。

圖1 隨機(jī)信號(hào)示意圖

根據(jù)巴塞法爾定理，在時(shí)域中計(jì)算的信號(hào)總能量等于在頻域中計(jì)算的信號(hào)總能量，即：

對(duì)于上式等號(hào)左邊的積分，均值不為零的隨機(jī)信號(hào)不是平方可積的，在這種情況下就沒有傅里葉變換。維納-辛欽定理（Wiener-Khinchin theorem）提供了一個(gè)簡(jiǎn)單的替換方法，如果信號(hào)可以看作是平穩(wěn)隨機(jī)過程，那么功率譜密度就是信號(hào)自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換，記為Sx(f)，結(jié)合自相關(guān)函數(shù)的定義，進(jìn)一步推導(dǎo)得：

2 隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)

2.1 試驗(yàn)簡(jiǎn)介

圖2 正態(tài)分布概率密度函數(shù)示意圖

隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)適用于使用中可能受到隨機(jī)性振動(dòng)條件影響的元器件和設(shè)備。試驗(yàn)?zāi)康脑谟诖_定機(jī)械弱點(diǎn)和（或）規(guī)定性能是否下降，并結(jié)合有關(guān)規(guī)范使用這些信息來(lái)決定試驗(yàn)樣品是否接收。工程上隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)采用振動(dòng)臺(tái)實(shí)現(xiàn)，樣品通過夾具固定在振動(dòng)臺(tái)臺(tái)面上，隨機(jī)振動(dòng)信號(hào)由振動(dòng)控制儀給出，經(jīng)過功率放大器傳遞至振動(dòng)臺(tái)，實(shí)現(xiàn)振動(dòng)激勵(lì)，加速度計(jì)將振動(dòng)信號(hào)反饋至控制系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)閉環(huán)控制，如圖3所示為隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)示意圖。

隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)方法已列入國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB/T 2423，以擴(kuò)大現(xiàn)行的正弦振動(dòng)試驗(yàn)GB/T 2423.10。隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)是一種比較接近于實(shí)際環(huán)境中存在的振動(dòng)類型的試驗(yàn)方法，并且在試驗(yàn)樣品中產(chǎn)生的效應(yīng)比較接近于使用中可能發(fā)生的效應(yīng)。當(dāng)實(shí)際環(huán)境大致為隨機(jī)振動(dòng)時(shí)，只要經(jīng)濟(jì)上合理就應(yīng)采用隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)，因?yàn)檎艺駝?dòng)和隨機(jī)振動(dòng)對(duì)樣品失效機(jī)理的影響方式并不相同[3-4]。

2.2 試驗(yàn)條件和相關(guān)試驗(yàn)參數(shù)計(jì)算

隨機(jī)振動(dòng)的試驗(yàn)條件包含試驗(yàn)頻率區(qū)間、試驗(yàn)譜形和量級(jí)、試驗(yàn)時(shí)間以及試驗(yàn)方向。試驗(yàn)譜形和試驗(yàn)量級(jí)經(jīng)常用表格的形式或者加速度功率譜密度曲線的形式給出。圖4為用功率譜密度曲線表示的典型隨機(jī)振動(dòng)的試驗(yàn)條件：

2）加速度功率譜密度斜率（dB/oct） 按照下式計(jì)算：

圖3 隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)示意圖

3）加速度均方根值（grms）的計(jì)算

由功率譜密度的定義可知，功率譜密度曲線下的總面積即為隨機(jī)信號(hào)的總功率，再求其算數(shù)平方根，即可得到加速度均方根值。面積A1、A2、A3計(jì)算如下：

式中m=N/3，若N=3則m=1時(shí)，必須采用以下降譜計(jì)算公式：

則加速度總均方根值為加速度功率譜密度曲線下總面積的算術(shù)平方根，即：

加速度總均方根值是隨機(jī)振動(dòng)量級(jí)的衡量。

2.3 試驗(yàn)再現(xiàn)性

在所有環(huán)境試驗(yàn)方法國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)中，特別是對(duì)鑒定試驗(yàn)或驗(yàn)收試驗(yàn)，以及有關(guān)方面（例如電子元器件的供方和需方）打算對(duì)同型號(hào)試驗(yàn)樣品進(jìn)行的試驗(yàn)，都要求有一定等級(jí)的再現(xiàn)性。

一是研究制訂更加有效的政策，扶持“金屬表面無(wú)磷處理”“中水回用”“再生水、雨水綜合利用”等項(xiàng)目，以發(fā)揮示范項(xiàng)目的作用；二是通過 “多水源、多用戶的優(yōu)化配置”等方面研究，進(jìn)一步加強(qiáng)水資源管理能力；三是繼續(xù)加大農(nóng)村供水管網(wǎng)改造力度，2014年將完成城區(qū)及鄉(xiāng)鎮(zhèn)26個(gè)村的老舊供水設(shè)施的改造,將農(nóng)村供水管網(wǎng)漏損率降低到22%；四是加快實(shí)施居民自來(lái)水階梯水價(jià)制度，創(chuàng)建一批節(jié)水型示范機(jī)關(guān)、學(xué)校、企業(yè)、醫(yī)院、居民小區(qū)；五是加快新建、擴(kuò)建4個(gè)集鎮(zhèn)污水處理廠，將全市的污水日處理能力從現(xiàn)在的9.5萬(wàn)t提高到22萬(wàn)t。

圖4 功率譜密度曲線圖

隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)的再現(xiàn)性不是指試驗(yàn)與實(shí)際環(huán)境之間的再現(xiàn)性，而是指由不同的人在不同場(chǎng)合下進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)所得結(jié)果的一致性。隨機(jī)振動(dòng)的再現(xiàn)性分為高、中、低三個(gè)等級(jí)，不同等級(jí)對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)容差不同。

低再現(xiàn)性試驗(yàn)方法可能比其他方法要簡(jiǎn)單和便宜。高再現(xiàn)性試驗(yàn)給出相對(duì)高的再現(xiàn)性，但一般都比較復(fù)雜，可能需要更貴重和更先進(jìn)的試驗(yàn)設(shè)備，還由于要求附加的測(cè)試而使試驗(yàn)的時(shí)間較長(zhǎng)。只有當(dāng)絕對(duì)必要時(shí)才要求采用高再現(xiàn)性試驗(yàn)。

再現(xiàn)性的選取不應(yīng)高于試驗(yàn)樣品推薦應(yīng)用時(shí)所必要的再現(xiàn)性。

3 隨機(jī)振動(dòng)的有限元仿真

圖5 隨機(jī)振動(dòng)有限元分析流程

隨著社會(huì)工業(yè)發(fā)展以及經(jīng)濟(jì)水平逐漸提高，對(duì)各種結(jié)構(gòu)的可靠性、安全性要求也越來(lái)越高，其中結(jié)構(gòu)的振動(dòng)問題為影響結(jié)構(gòu)可靠性、安全性的重要因素。機(jī)械設(shè)備、橋梁、建筑物、輸電鐵塔等各種結(jié)構(gòu)在實(shí)際應(yīng)用中，難免受到地震、沖擊、波浪、風(fēng)載等外界的隨機(jī)激勵(lì)，確保結(jié)構(gòu)在振動(dòng)激勵(lì)下的可靠性、安全性十分必要。

通過隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)，在實(shí)驗(yàn)室中就能模擬結(jié)構(gòu)經(jīng)受外界隨機(jī)激勵(lì)，得到結(jié)構(gòu)的響應(yīng)或失效模式。但對(duì)于大型結(jié)構(gòu)、建筑、橋梁等，需在設(shè)計(jì)階段就對(duì)其抗振能力進(jìn)行評(píng)估，確保結(jié)構(gòu)具有足夠的安全性才投入生產(chǎn)和建造，利用隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)無(wú)法實(shí)現(xiàn)。采用有限元技術(shù)，在計(jì)算機(jī)中就能模擬結(jié)構(gòu)經(jīng)受隨機(jī)振動(dòng)激勵(lì)時(shí)的響應(yīng)，如圖5所示，結(jié)合材料的疲勞特性，還能預(yù)估結(jié)構(gòu)的使用壽命[5]。

如圖6所示為某輸電鐵塔的隨機(jī)振動(dòng)有限元分析過程。在軟件ANSYS Workbench中建立輸電鐵塔的有限元模型（圖6a），對(duì)其進(jìn)行模態(tài)分析，得到其固有頻率和振型，即輸電鐵塔自身的振動(dòng)特性（圖6b）；輸入隨機(jī)振動(dòng)功率譜密度曲線（圖6c），通過模態(tài)合并，計(jì)算出結(jié)構(gòu)在給定隨機(jī)激勵(lì)下的響應(yīng)（圖6d）。

隨機(jī)振動(dòng)有限元分析流程簡(jiǎn)單，軟件操作便捷，分析結(jié)果可靠性高。大批有限元軟件的問世使各種非線性問題、耦合場(chǎng)問題的分析成為可能，有限元技術(shù)在工程中應(yīng)用愈來(lái)愈廣泛。

圖6 輸電鐵塔隨機(jī)振動(dòng)有限元分析

4 結(jié)論

隨機(jī)振動(dòng)只能通過概率和統(tǒng)計(jì)方法來(lái)描述。嚴(yán)格來(lái)說，實(shí)際工程中遇到的振動(dòng)一般都是隨機(jī)振動(dòng)。利用隨機(jī)振動(dòng)來(lái)考核產(chǎn)品才能更真實(shí)地反映產(chǎn)品對(duì)振動(dòng)環(huán)境的適應(yīng)性和考核其結(jié)構(gòu)的完好性。

過去，實(shí)驗(yàn)室模擬隨機(jī)振動(dòng)絕大部分均是采用正弦掃頻試驗(yàn)代替，近階段隨著快速傅利葉變換算法的推出與電子計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，也出現(xiàn)了各種型號(hào)的隨機(jī)振動(dòng)數(shù)字式控制系統(tǒng)，使得隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)被廣泛采用。但國(guó)內(nèi)的隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)?zāi)芰ο啾葒?guó)外仍落后較多，相應(yīng)的隨機(jī)振動(dòng)嚴(yán)酷等級(jí)也低于國(guó)外。

有限元技術(shù)的發(fā)展給隨機(jī)振動(dòng)的仿真帶來(lái)了便捷。一些大型結(jié)構(gòu)難以用隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)進(jìn)行可靠性考察的，可以通過有限元技術(shù)進(jìn)行振動(dòng)響應(yīng)分析，在此基礎(chǔ)上對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，估算結(jié)構(gòu)的疲勞壽命。目前有限元技術(shù)在工程上已廣泛應(yīng)用，在結(jié)構(gòu)的振動(dòng)分析中也發(fā)揮了巨大作用。

[1]李杰,陳建兵. 隨機(jī)振動(dòng)理論與應(yīng)用新進(jìn)展[M]. 上海:同濟(jì)大學(xué)出版社, 2009, 4.

[2]賈民平，張洪婷，周劍英. 測(cè)試技術(shù)[M]. 北京:高等教育出版社，2007, 12.

[3]GB/T 2423.56-2006, 寬帶隨機(jī)振動(dòng)（數(shù)字控制）和導(dǎo)則[S].

[4]GB/T 2423.10-2008, 振動(dòng)（正弦）[S].

[5]李范春. ANSYS Workbench 設(shè)計(jì)建模與虛擬仿真[M]. 北京:電子工業(yè)出版社, 2011, 8.