胡春華,胡倩

(長江大學 信息與數(shù)學學院,湖北 荊州,434025)

高等數(shù)學中關于含有多個ξ關系式命題的證明問題,往往利用拉格朗日中值定理[1]證明。本文利用介值定理[1]和拉格朗日中值定理先證明一個命題,之后對命題進行了推廣。在命題及其推廣結論的證明過程中,充分體現(xiàn)了點選取的重要性,如本文結論6中ki的選取。

1 命題

根據(jù)文獻[2–3]給出命題:設函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù),在(0,1)內可導,且f(x′)0 ＞,(0)0f=,f(1)=1,則存在使

2 命題的證明

由f(x′)0＞,(0)=0f,(1)=1f,知f(x)[0,1]∈。因在[0,1]上連續(xù),由介值定理知,存在而()f x在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理條件,故存使得

3 主要結論

在上述命題的證明過程中,在區(qū)間(0,1)中找到合適的點x1,且滿足是很重要的一步,該是函數(shù) f(x)值域的中點?？紤]取值域的n等分點,令2,…,n),(這里取 x0=0,xn=1)上分別運用拉格朗日中值定理,得到如下結論。

事實上,在命題的基礎上(條件同命題),可進一步作如下推廣。

結論4 ? n ∈ N+,存在

下面證明結論4～6,證明思路和方法可參考文獻[4–10]。

結論4的證明 當 1n=時,結論顯然成立。下證 1n＞時結論也成立。

注意到上述命題與結論中i和λi的取值均有限制,存在局限性,因此推廣到如下更一般的結論。

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