李冬輝

(河南教育學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 鄭州 450046)

關(guān)于積分型Cauchy中值定理的一個(gè)結(jié)論

李冬輝

(河南教育學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 鄭州 450046)

研究當(dāng)積分區(qū)間長(zhǎng)度趨于無窮時(shí)，積分型Cauchy中值定理中間點(diǎn)的漸近性質(zhì)，同時(shí)得到Lagrange中值定理中間點(diǎn)的漸近性質(zhì).

積分型Cauchy中值定理；Lagrange中值定理；中間點(diǎn)；漸近性

0 引言

當(dāng)區(qū)間長(zhǎng)度趨于零時(shí)，對(duì)于中值定理中間點(diǎn)的漸近性質(zhì)，有學(xué)者進(jìn)行了研究并得出了一些有意義的結(jié)論[1-4].文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[2]研究了在積分區(qū)間長(zhǎng)度趨零時(shí)，積分型Cauchy中值定理中間點(diǎn)的漸近性.本文用另一種方法討論當(dāng)積分區(qū)間長(zhǎng)度趨于無窮時(shí)，積分型Cauchy中值定理中間點(diǎn)的漸近性質(zhì)，在弱于文獻(xiàn)[1]定理3的條件下，得出了具有一般形式的結(jié)果.作為此結(jié)果的一個(gè)特例，又得出當(dāng)區(qū)間長(zhǎng)度趨于無窮時(shí)，Lagrange中值定理中間點(diǎn)漸近性具有的一般形式的結(jié)果.

首先引述積分型Cauchy中值定理和Lagrange中值定理.

積分型Cauchy中值定理 若①f(t),g(t)在[a,x]上連續(xù)；②g(t)≠0,t∈[a,x]，則在(a,x)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得

(1)

其中ξ稱為積分型Cauchy中值定理的中間點(diǎn).

Lagrange中值定理 設(shè)函數(shù)F(t)在[a,x]上連續(xù)，在(a,x)內(nèi)可導(dǎo)，則在(a,x)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得

F(x)-F(a)=F′(ξ)·(x-a)，

(2)

其中ξ稱為L(zhǎng)agrange中值定理的中間點(diǎn).

1 主要定理

進(jìn)而有

所以

(3)

同理

(4)

由(1)，(3)，(4)式得

一方面，由(3)，(4)式得

(5)

另一方面，由(1)式得

由定理1條件及L’Hospital法則，得

(6)

從而，由(5)，(6)式得

即有

所以

推論1 設(shè)F′(x)在[a,+∞)內(nèi)連續(xù)，若存在α>0，使

則對(duì)于Lagrange中值定理確定的中間點(diǎn)ξ，有

(7)

證明在(1)式中，取f(t)=F′(t),g(t)=1，得

即

F(x)-F(a)=F′(ξ)·(x-a).

從而，(1)式中的積分型Cauchy中值定理確定的中間點(diǎn)ξ，即為(2)式中的Lagrange中值定理確定的中間點(diǎn)ξ.再取β=0，根據(jù)推論的條件，由定理1知(7)式成立.

[1] 劉文武，嚴(yán)忠權(quán)．積分型Cauchy中值定理中間點(diǎn)的漸近性[J]．?dāng)?shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2010，40(11)：228-231．

[2] 戴立輝，劉龍章．積分型Cauchy中值定理中間點(diǎn)的漸近性[J]．大學(xué)數(shù)學(xué)，2009，25(3)：168-172.

[3] 高國(guó)成.微分中值定理“中間點(diǎn)”的漸近性[J].工科數(shù)學(xué)，2001,17(5):102-104.

[4] 張廣梵.關(guān)于微分中值定理的一個(gè)注記[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，1988，18(1)：87-89.

A Conclusion on Integral Type of Cauchy Mean Value Theorem

LI Dong-hui

(SchoolofMathematicsandStatistics,HenanInstituteofEducation,Zhengzhou450046,China)

The asymptotic properties for median point of integral Cauchy mean-value theorem with infinite integration interval were studied, and a conclusion about the asymptotic property for median point of Lagrange mean-value theorem is given.

integral Cauchy mean-value theorem; Lagrange mean-value theorem; median point; asymptotic property

2014-09-28

河南省教育廳科學(xué)技術(shù)研究重點(diǎn)項(xiàng)目(13A140224)

李冬輝(1963—)，男，河南許昌人，河南教育學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院副教授，主要研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學(xué).

10.3969/j.issn.1007-0834.2015.01.006

O172.2

1007-0834(2015)01-0018-03