張來(lái)亮， 劉曉妍

(山東科技大學(xué) 公共課部，山東 濟(jì)南 250031)

利用留數(shù)計(jì)算實(shí)反常積分的反思

張來(lái)亮， 劉曉妍

(山東科技大學(xué) 公共課部，山東 濟(jì)南 250031)

反常積分；收斂；P.V收斂；孤立奇點(diǎn)；留數(shù)

1 國(guó)內(nèi)教材關(guān)于利用留數(shù)定理計(jì)算反常積分的分類

在積分主值意義下有

其中，z1,z2,…,zn是R(z)在上半平面內(nèi)的孤立奇點(diǎn)，b1,b2,…,bm是R(z)在實(shí)軸上的簡(jiǎn)單孤立極點(diǎn).

情形3 在文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[5]中，對(duì)實(shí)軸上的奇點(diǎn)類型未加限制，表述為“只是在實(shí)軸上有奇點(diǎn)”、“在實(shí)軸上有有限個(gè)極點(diǎn)”.在這種情形下仍有類似情形2的結(jié)論.

2 關(guān)于利用留數(shù)定理計(jì)算反常積分的思考

1)情形1是利用留數(shù)計(jì)算反常積分的主流，這時(shí)的收斂是普通意義下的收斂，自然也是積分主值意義下收斂，結(jié)論的證明是利用積分主值意義下收斂導(dǎo)出來(lái)的，這時(shí)應(yīng)加以說(shuō)明.

通觀已有文獻(xiàn)，凡是在實(shí)軸上有極點(diǎn)的反常積分的例子，無(wú)一例外的是只有簡(jiǎn)單極點(diǎn)而無(wú)二級(jí)以上的極點(diǎn)情形.

[1] 西安交通大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室.復(fù)變函數(shù)[M].4版.北京：高等教育出版社，1996:164-167.

[2] 張錦豪.邱維元.復(fù)變函數(shù)論:上冊(cè)[M].6版.北京：高等教育出版社，施普林格出版社,2001:274-275.

[3] 梁昌洪.復(fù)變函數(shù)札記[M].北京：科學(xué)出版社,2011:134-138.

[4] 華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)系.復(fù)變函數(shù)與積分變換[M].3版. 北京：高等教育出版社,2008:121-126.

[5] 博亞爾丘克A K.高等數(shù)學(xué)例題與習(xí)題集(三):復(fù)變函數(shù)[M].高理策,鄭元祿,譯.北京：清華大學(xué)出版社，2008:312-323.

Reflection on Calculation of Real Improper Integral by the Residue

ZHANG Lai-liang， LIU Xiao-yan

(DepartmentofPublicCourse,ShandongUniversityofScienceandTechnology,Jinan250031,China)

improper integral; convergence; P.V convergence; isolated singularity; residue

2014-09-22

山東科技大學(xué)教育教學(xué)研究“群星計(jì)劃”重點(diǎn)資助項(xiàng)目(QX2013145)

張來(lái)亮(1956—)，男，山東臨朐人，山東科技大學(xué)公共課部教授，主要研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué).

10.3969/j.issn.1007-0834.2015.01.015

O174

1007-0834(2015)01-0051-02