馬 強(qiáng)

（紹興市柯橋區(qū)土地測繪大隊(duì)，浙江 紹興312000）

由于受井下巷道條件的限制，井下平面控制測量為基于支導(dǎo)線的形式沿巷道布設(shè)的導(dǎo)線測量。井下導(dǎo)線邊長一般較短，通常為直伸形。一般先以低等級的工作控制導(dǎo)線指示巷道掘進(jìn)，當(dāng)巷道掘進(jìn)300～500 m后，再布設(shè)高等級的基本控制導(dǎo)線，用來檢查前面已布設(shè)的工作控制導(dǎo)線是否正確，如此不斷分段施測，直到井巷工程相繼施工貫通后才形成閉（附）合導(dǎo)線或?qū)Ь€網(wǎng)。

特別是礦山重大井巷貫通工程測量的內(nèi)容往往是專用支導(dǎo)線的施測，經(jīng)貫通測量誤差預(yù)計后，發(fā)現(xiàn)支導(dǎo)線精度滿足不了貫通允許偏差時，必須研究井下支導(dǎo)線的升級改造，以達(dá)到貫通允許偏差要求。

1 井下支導(dǎo)線升級改造

1．1 井下支導(dǎo)線

按規(guī)定，井下支導(dǎo)線（見圖1）必須是復(fù)測支導(dǎo)線的形式。

如圖1所示，當(dāng)導(dǎo)線復(fù)測T次，且每次復(fù)測時導(dǎo)線各轉(zhuǎn)折角為等精度觀測，則支導(dǎo)線終點(diǎn)k的點(diǎn)位中誤差

式中：MB為導(dǎo)線起始點(diǎn)B點(diǎn)位中誤差；mα0為導(dǎo)線起始邊AB坐標(biāo)方位角中誤差；Ri為導(dǎo)線第i點(diǎn)與終點(diǎn)k連線的長度（i＝1，2，…，n）；mli為導(dǎo)線各邊（單程）測距中誤差；li為導(dǎo)線各邊水平邊長；mβ為導(dǎo)線等精度測角時的（單程）測角中誤差。

圖1 井下支導(dǎo)線

為分析研究方便，假設(shè)導(dǎo)線曲折度不大，βi近于180°，導(dǎo)線邊長li大致相等，即為近于等邊直伸形的復(fù)測支導(dǎo)線時［1］，則有

導(dǎo)線全長L＝l1＋l2＋…＋ln≈nl．

k點(diǎn)橫向誤差

k點(diǎn)縱向誤差

設(shè)想一近于等邊直伸形的往返復(fù)測支導(dǎo)線，各邊長l，按光電測距儀的標(biāo)稱精度mD＝±（0．005＋5×10－6D），求得邊長l單程測距中誤差ml＝±（0．005＋5×10－6l），取 mβ＝±7″，mα0＝±9″，T＝2。當(dāng)導(dǎo)線按3種不同邊長（50 m，100 m，150 m）分別施測時，終點(diǎn)k的縱橫向誤差由式（1）、式（2）算得的結(jié)果列于表1中。

表1 等邊直伸形支導(dǎo)線縱橫向誤差計算

表1中，全長L的導(dǎo)線：nl為邊長l時的導(dǎo)線邊數(shù)；μl為邊長l時的導(dǎo)線橫向誤差；tl為邊長l時的導(dǎo)線縱向誤差。

由式（1）、式（2）和表1結(jié)果表明，必須設(shè)法控制橫向誤差的迅速擴(kuò)大。首先應(yīng)注意提高測角精度，增大導(dǎo)線邊長有利于達(dá)到或提高導(dǎo)線水平角觀測精度；同時，適當(dāng)增大導(dǎo)線邊長，意味著導(dǎo)線邊數(shù)（測站數(shù)）的減少，體現(xiàn)在測量外業(yè)工作量的大幅度減少和導(dǎo)線精度的提高；其次可以在導(dǎo)線中加測陀螺定向邊［2］（方向附合導(dǎo)線）來控制。

1．2 加測一條陀螺定向邊及其最佳加測位置

如圖2所示，由起始點(diǎn)B和起始邊AB（坐標(biāo)方位角為α0）開始測設(shè)了往返復(fù)測的支導(dǎo)線至終點(diǎn)k。如果僅在第nI條導(dǎo)線邊上加測陀螺定向邊，其坐標(biāo)方位角為αI，這樣便形成了兩段導(dǎo)線：第1段，有nI條導(dǎo)線邊構(gòu)成方向附合導(dǎo)線，其重心為OI；第2段，有m條導(dǎo)線邊構(gòu)成支導(dǎo)線；導(dǎo)線總邊數(shù)n＝nI＋m。

第1段導(dǎo)線按方向附合導(dǎo)線平差［3－4］后，終點(diǎn)k的點(diǎn)位中誤差

式中：εi為第1段方向附合導(dǎo)線中各導(dǎo)線點(diǎn)與其重心OI連線長度（i＝1，2，…，nI）；Rj為第2段支導(dǎo)線中各導(dǎo)線點(diǎn)與終點(diǎn)k連線的長度（j＝1，2，…，m）；ROI為重心OI與終點(diǎn)k連線的長度；mαI為加測的陀螺定向邊坐標(biāo)方位角中誤差；其余符號意義同上。

為了便于研究，設(shè)想導(dǎo)線為一近于等邊直伸形的往返復(fù)測支導(dǎo)線，mα0＝mαI＝mα，導(dǎo)線各點(diǎn)（左）轉(zhuǎn)折角作等精度觀測，導(dǎo)線各邊長li≈l，則導(dǎo)線終點(diǎn)k的點(diǎn)位中誤差

式中：mβ為導(dǎo)線等精度測角時的（單程）測角中誤差；ml為導(dǎo)線各邊（單程）測距中誤差。

由上式可知：如何選擇nI與m，在滿足nI＋m＝n的條件下，使M2k有極小值［5］，這樣就存在著陀螺定向邊最佳加測位置的確定。

現(xiàn)設(shè) f（nI，m）＝M2k，

則拉格朗日輔助函數(shù)

其中λ為某一常數(shù)。

根據(jù)多元函數(shù)條件極值的拉格朗日乘數(shù)法，則有

由式（3）、式（4）得

由式（5）nI＝n－m ，代入式（6），經(jīng)整理后得

根據(jù)一元二次方程的實(shí)數(shù)解—求根公式法，則有

這里n為確定的值，取mβ＝±7″，mα＝±9″，由式（7）來計算m，nI＝n－m計算nI，結(jié)果列于表2中。

為研究方便，可忽略導(dǎo)線起始點(diǎn)B誤差的影響，按陀螺定向邊加測位置的最優(yōu)解所確定的nI和m值（取整數(shù)）來計算，則導(dǎo)線終點(diǎn)k的最小點(diǎn)位中誤差

取l＝150 m，ml＝±（0．005＋5×10－6l）＝±0．005 8 m，由上式計算 Mkmin，結(jié)果也列于表2中。

從表2和表1可知：導(dǎo)線總邊數(shù)n≤5時，陀螺定向邊加測在末邊上；否則，定向邊隨總邊數(shù)的增加由末邊開始上移，直到1／3總邊數(shù)的位置；導(dǎo)線終點(diǎn)點(diǎn)位中誤差可減小0．5～1．5倍。

表2 陀螺定向邊加測位置的最優(yōu)解與導(dǎo)線終點(diǎn)中誤差計算

1．3 加測多條陀螺定向邊成為多節(jié)導(dǎo)線

導(dǎo)線或?qū)Ь€網(wǎng)中最基本的單元是導(dǎo)線節(jié)，所謂導(dǎo)線節(jié)就是兩端都有坐標(biāo)方位角控制的一節(jié)導(dǎo)線。

如圖2所示，由起始點(diǎn)B和起始邊AB開始已測設(shè)了往返復(fù)測的支導(dǎo)線至終點(diǎn)k，并在導(dǎo)線中每隔一定距離加測陀螺定向邊，共加測了N條陀螺定向邊，其坐標(biāo)方位角分別為αIαIIαN從而形成（N節(jié)）多節(jié)導(dǎo)線。各導(dǎo)線節(jié)的重心分別為OI，OII，…，ON，則當(dāng)角度按多節(jié)導(dǎo)線（方向附合導(dǎo)線）平差后，導(dǎo)線終點(diǎn)k的點(diǎn)位中誤差［6］

式中：mαi為各條陀螺定向邊坐標(biāo)方位角中誤差；Ri－j為i點(diǎn)與j點(diǎn)連線長度；ε為各導(dǎo)線點(diǎn)與本節(jié)導(dǎo)線重心O連線長度，詳見圖2中虛線所示；其余符號意義同上。

圖2 加測多條陀螺定向邊的多節(jié)導(dǎo)線

井下導(dǎo)線起始邊AB坐標(biāo)方位角α0和各條陀螺定向邊坐標(biāo)方位角均采用JT15陀螺經(jīng)緯儀獨(dú)立定向兩次取其平均值而得到。陀螺經(jīng)緯儀定向遵循以下規(guī)則：3—2—3，即地面（下井前）測定儀器常數(shù)3次—井下定向邊測定陀螺方位角2次—地面（上井后）測定儀器常數(shù)3次。

地面測定儀器常數(shù)和傳遞坐標(biāo)的地面連接測量都共用同一近井點(diǎn)后視邊（已知邊）時，可忽略MB和不考慮近井點(diǎn)后視邊的坐標(biāo)方位角誤差影響，則陀螺定向邊坐標(biāo)方位角中誤差

式中：nΔ為地面測定儀器常數(shù)次數(shù)，取6；n下為井下定向邊測定陀螺方位角次數(shù)，取2；mΔ為地面一次測定儀器常數(shù)中誤差；mT為井下一次測定陀螺方位角中誤差，取±15″。

由于起始邊和各定向邊的坐標(biāo)方位角都為同一臺陀螺經(jīng)緯儀采用一樣的定向方法而求得，則有mα0＝mαI＝ … ＝mαN＝mα。

為了便于說明問題，設(shè)想一近于等邊直伸形的往返復(fù)測支導(dǎo)線改造成為多節(jié)導(dǎo)線，等距離間隔加測陀螺定向邊［7］，共加測了N條，限于篇幅，不經(jīng)推導(dǎo)而直接給出終點(diǎn)k的縱橫向誤差計算公式［8－9］如下：

橫向誤差

縱向誤差

終點(diǎn)k的點(diǎn)位中誤差

這里n為多節(jié)導(dǎo)線總邊數(shù)，n＝nI＋nII＋…＋nN；導(dǎo)線各邊長li≈l；導(dǎo)線全長L≈nl；mli≈ml。

進(jìn)一步用數(shù)據(jù)說明加測陀螺定向邊對減少橫向誤差μ的作用，并與縱向誤差t作對比，設(shè)有多條（2條）近于等邊直伸形多節(jié)導(dǎo)線（第1條：li≈l＝150 m，n＝28，L≈nl＝4 200 m；第2條：li≈l＝150 m，n＝48，L≈nl＝7 200 m ），mβ＝±7″，mα＝±9″，ml＝±0．005 8 m。用μβ和μα表示由mβ和mα引起的橫向誤差，于是按加測陀螺定向邊數(shù)N ＝2～6，根據(jù)式（8）、式（9）、式（10）來計算各項(xiàng)誤差，計算結(jié)果見表3和表4。

表3 等邊直伸形N節(jié)導(dǎo)線終點(diǎn)誤差計算（L＝4 200 m）

表4 等邊直伸形N節(jié)導(dǎo)線終點(diǎn)誤差計算（L＝7 200 m）

從表3和表4中可看出：測角誤差影響項(xiàng)μβ隨N的增大而迅速減少，但坐標(biāo)方位角誤差影響項(xiàng)μα的減小顯得緩慢些；當(dāng)N＝3和N＝4時，μ減小明顯，其后就不太顯著了，因此，在加測的陀螺定向邊坐標(biāo)方位角精度不能提高的條件下，過多地加測陀螺定向邊收益并不太大，而加測陀螺定向邊所增多的工作量很大；結(jié)合表1可看出，多節(jié)導(dǎo)線的縱向誤差與支導(dǎo)線的一樣，而點(diǎn)位中誤差總比相應(yīng)的支導(dǎo)線小許多，終點(diǎn)精度一般可提高1．6～4．5倍。

1．4 陀螺定向—光電測距導(dǎo)線

該導(dǎo)線采用陀螺經(jīng)緯儀測定每條邊的坐標(biāo)方位角，再利用支導(dǎo)線往返復(fù)測時由光電測距儀測定的每條導(dǎo)線邊長。為了檢查陀螺經(jīng)緯儀是否處于正常狀態(tài)和提高測定儀器常數(shù)的精度，需要在每天下井前和上井后測定儀器常數(shù)。然后求出儀器常數(shù)的平均值，用來計算當(dāng)天所測的井下一組邊（或稱為“分段”各邊）的坐標(biāo)方位角。

陀螺經(jīng)緯儀定向仍遵循前面的規(guī)則，即3—2—3。各組（段）導(dǎo)線邊坐標(biāo)方位角均采用同一陀螺經(jīng)緯儀獨(dú)立定向兩次取其平均值而得到。

如圖3所示，測量了各邊的坐標(biāo)方位角αji及邊長lji，j表示采用同一儀器常數(shù)的段號，j＝1，2，…，N ；i表示每段中導(dǎo)線的邊號，i＝1，2，…，nj。

圖3 陀螺定向—光電測距導(dǎo)線

在地面和井下的一次陀螺方位角測定均采用同一陀螺經(jīng)緯儀和相同的作業(yè)方法，則導(dǎo)線終點(diǎn)k的點(diǎn)位中誤差

式中：mlji為各導(dǎo)線邊單程光電測距中誤差；mα0上為地面測定儀器常數(shù)時所用的同一已知邊（近井點(diǎn)后視邊）坐標(biāo)方位角中誤差；RBk為導(dǎo)線起點(diǎn)B到終點(diǎn)k點(diǎn)連線長度；Rj為各段導(dǎo)線的起點(diǎn)到該段的終點(diǎn)連線長度；其余符號意義同上。

設(shè)有一近于等邊直伸形陀螺定向—光電測距導(dǎo)線，各邊長lji≈l＝150 m，總邊數(shù)n＝28，全長L≈nl＝4 200 m，mT＝±15″，ml＝±0．005 8，nΔ＝6，n下＝2。

地面測定儀器常數(shù)和傳遞坐標(biāo)的地面連接測量都共用同一近井點(diǎn)后視邊時，可忽略MB和不考慮近井點(diǎn)后視邊的坐標(biāo)方位角誤差影響，則終點(diǎn)k誤差如下：

橫向誤差

縱向誤差

點(diǎn)位中誤差

當(dāng)導(dǎo)線等分為N段施測時，由式（12）、式（13）、式（14）來計算，結(jié)果見表5。

表5 等邊直伸形陀螺定向—光電測距導(dǎo)線終點(diǎn)誤差計算

根據(jù)Rj優(yōu)化選擇（Rj＝）和表5可知：橫向誤差都不太大了，隨著等分段數(shù)N增大而緩慢減??；縱向誤差不隨N變化；過多的等分段數(shù)（增大N）實(shí)際意義不大，N可在2～4中選取，也可酌情任意選擇；等分段數(shù)N確定后，各段導(dǎo)線長度（或邊數(shù)）應(yīng)大致相等。

由表5和表1可知，采用陀螺定向—光電測距導(dǎo)線的點(diǎn)位精度總比支導(dǎo)線的高許多，一般能提高3～8倍。

2 結(jié) 論

1）井下支導(dǎo)線中加測一條陀螺定向邊的最佳加測位置：導(dǎo)線邊數(shù)較少（n≤5）時，加測在末邊上；否則，定向邊由末邊開始上移至導(dǎo)線總邊數(shù)1／3的位置。導(dǎo)線終點(diǎn)點(diǎn)位精度可提高0．5～1．5倍。

2）加測多條陀螺定向邊時，可等距離間隔加測陀螺定向邊而改造成為多節(jié)導(dǎo)線，一般能提高終點(diǎn)精度1．6～4．5倍。但過多地加測陀螺定向邊收益不大，以加測3～4條定向邊為宜。

3）對于井下支導(dǎo)線中加測每條邊的陀螺方位角而成為陀螺定向—光電測距導(dǎo)線，其終點(diǎn)誤差顯得很小了，較支導(dǎo)線的點(diǎn)位精度一般能提高3～8倍，僅在超長距離或超高精度的礦山貫通工程測量中應(yīng)用。同時應(yīng)當(dāng)盡量采用地面連接測量中的近井點(diǎn)后視邊（已知邊）來測定儀器常數(shù)，便于消除地面起始方位角誤差對貫通的影響。

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［2］ 張正祿．工程測量學(xué)［M］．2版．武漢：武漢大學(xué)出版社，2013：321－331．

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