張靈敏，鄭國萍，邸聰娜

(河北科技師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科技學(xué)院, 河北 秦皇島，066004)

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點(diǎn)集拓?fù)渲懈鞣N緊致空間之間的相互蘊(yùn)含關(guān)系

張靈敏，鄭國萍，邸聰娜

(河北科技師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科技學(xué)院, 河北 秦皇島，066004)

介紹了緊致空間、可數(shù)緊致空間、列緊致空間、序列緊致空間、局部緊致空間、仿緊致空間的基本概念，討論了上述幾種緊致空間之間的相互蘊(yùn)涵關(guān)系。對(duì)于緊致空間之間具有的蘊(yùn)含關(guān)系，先給出了相應(yīng)的結(jié)論，然后從理論上進(jìn)行了詳細(xì)的驗(yàn)證；對(duì)于緊致空間之間不具有的蘊(yùn)含關(guān)系，給出了具體的反例。

緊致空間；可數(shù)緊致空間；列緊致空間；序列緊致空間；局部緊致空間；仿緊致空間；相互蘊(yùn)含關(guān)系

緊致空間是拓?fù)鋵W(xué)中應(yīng)用極為廣泛的一類空間，有著重要的理論和實(shí)際意義[1]。緊致性是拓?fù)淇臻g的重要性質(zhì)之一，是一種拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)，又是對(duì)閉子空間可遺傳的性質(zhì)，且具有有限可積性。另外，把分離性公理放在緊致空間中考察，將會(huì)發(fā)現(xiàn)在緊致空間中分離性公理變得十分簡單了[2]。常見的幾種緊致空間之間有一定的蘊(yùn)含關(guān)系，但有些蘊(yùn)含關(guān)系是在滿足一些特定的條件下成立的，把各種緊致性放在一起來討論，容易產(chǎn)生混淆。但現(xiàn)有文獻(xiàn)對(duì)這一問題的討論過于簡單，相互之間的蘊(yùn)含關(guān)系敘述不夠清晰和詳細(xì)。比如，趙秀恒等[3]僅從定義方面分析了各種緊致性之間的關(guān)系，沒有給出明確的結(jié)論；趙樹魁等[4]僅給出了緊致性與可數(shù)緊致性的一種刻畫方式，沒有具體的討論其相互蘊(yùn)含關(guān)系；文獻(xiàn)[2]中這部分內(nèi)容也比較簡單。由此導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中很容易產(chǎn)生困惑，混淆這幾種空間，對(duì)其性質(zhì)模糊不清。針對(duì)這一問題，筆者對(duì)幾種常見的緊致空間進(jìn)行了深入的研究，討論了各種緊致空間的相互蘊(yùn)含關(guān)系，給出了相關(guān)結(jié)論，并進(jìn)行了詳細(xì)的論證。

1 各種緊致空間的概念

定義1.1[2]設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果X的每一個(gè)開覆蓋都有一個(gè)有限子覆蓋，則稱拓空間X是一個(gè)緊致空間。

定義1.2[2]設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果X的每一個(gè)可數(shù)開覆蓋都有有限子覆蓋，則稱拓?fù)淇臻gX是一個(gè)可數(shù)緊致空間。

定義1.3[2]設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果X的每一個(gè)無限子集都有凝聚點(diǎn)，則稱拓?fù)淇臻gX是一個(gè)列緊致空間。

定義1.4[2]設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果X中的每一個(gè)序列都有一個(gè)收斂的子序列，則稱拓?fù)淇臻gX是一個(gè)序列緊致空間。

定義1.5[5]設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果X中的每一個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)緊致的鄰域，則稱拓?fù)淇臻gX是一個(gè)局部緊致空間。

定義1.6[6]設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果X中的每一個(gè)開覆蓋都有一個(gè)局部有限的開覆蓋是它的加細(xì)，則稱拓?fù)淇臻gX是一個(gè)仿緊致空間。

2 各種緊致空間之間的相互蘊(yùn)涵關(guān)系

2.1 緊致空間與可數(shù)緊致空間之間的相互蘊(yùn)涵關(guān)系

定理2.1.1 每一個(gè)緊致空間都是可數(shù)緊致空間。

證明 因?yàn)閄是一個(gè)緊致空間，所以X的每一個(gè)開覆蓋都有有限子覆蓋，因而每一個(gè)可數(shù)開覆蓋都有有限子覆蓋，所以X是一個(gè)可數(shù)緊致空間。

定理2.1.2 每一個(gè)Lindel?ff的可數(shù)緊致空間都是緊致空間。

證明 設(shè)X是一個(gè)可數(shù)緊致空間，則X的每一個(gè)可數(shù)開覆蓋都有有限子覆蓋，又因?yàn)閄是一個(gè)Lindel?ff空間，X的每一個(gè)開覆蓋都有一個(gè)可數(shù)子覆蓋，所以X的每一個(gè)開覆蓋都有有限子覆蓋，因此X是緊致空間。

定理2.1.3 存在可數(shù)緊致而不緊致的拓?fù)淇臻g。

例[7]設(shè)w1為第一個(gè)不可數(shù)序數(shù)，X=[0,w1]為所有小于或等于w1的序數(shù)組成的集合，Y=[0,w1)是所有小于w1的序數(shù)組成的集和。在X和Y上都取區(qū)間拓?fù)?，則X=[0,w1]是緊致的，從而[0,w1]也是可數(shù)緊致的。這就是說，在[0,w1]中每個(gè)序列都有聚點(diǎn)x∈[0,w1]。因w1是集合(a1,w1)的聚點(diǎn)，但它不是(a1,w1)中某個(gè)序列的聚點(diǎn)，故x≠w1，從而x∈[0，w1)?？梢奫0,w1)是可數(shù)緊致的但不是緊致的，因?yàn)閧[0,a)|a

這說明可數(shù)緊致空間是Lindel?ff空間時(shí)，它才是緊致空間。

2.2 可數(shù)緊致空間與列緊致空間之間的相互蘊(yùn)涵關(guān)系

定理2.2.1 每一個(gè)可數(shù)緊致空間都是列緊致空間。

證明 設(shè)X是一個(gè)可數(shù)緊致空間。為了證明它是一個(gè)列緊致空間，只要證明它的每一個(gè)可數(shù)的無限子集都有凝聚點(diǎn)。在此，筆者用反證法來證明這一點(diǎn)。假設(shè)X有一個(gè)可數(shù)無限子集A沒有凝聚點(diǎn)。首先這蘊(yùn)涵A是一個(gè)閉集，此外對(duì)于每一個(gè)a∈A，由于a不是A的凝聚點(diǎn)，所以存在a的一個(gè)開鄰域Ua使得Ua∩A={a}。于是集族{Ua|a∈A}∪{A′}是X的一個(gè)開覆蓋。由于X是可數(shù)緊致空間，它有一個(gè)有限子覆蓋，不妨設(shè)為{Ua1,Ua2,…,Uan,A′}，因?yàn)锳∩A′=Φ,所以{Ua1,Ua2,…,Uan}必定覆蓋A。因此，A={Ua1,Ua2,…,Uan}∩A={a1,a2,…,an}是一個(gè)有限集。這是一個(gè)矛盾。因此假設(shè)不成立，即X是一個(gè)可數(shù)緊致空間。

定理2.2.2 每一個(gè)列緊致的T1空間都是可數(shù)緊致空間。

所以，X是一個(gè)可數(shù)緊致空間。

定理2.2.3 存在列緊致而不可數(shù)緊致的拓?fù)淇臻g。

例 令X=N,N為自然數(shù)集，T為以B={{2n-1,2n}:n∈N}為基的X的拓?fù)?，設(shè)a∈A?X，若a=2k,k∈N，則2k-1為A的聚點(diǎn)；若a=2k+1,k∈N，則2k+2為A的聚點(diǎn)，所以X為列緊致空間，因B為X的兩兩無交的開覆蓋，且B為無限集，所以X不是可數(shù)緊致空間。

2.3 序列緊致空間與可數(shù)緊致空間之間的相互蘊(yùn)涵關(guān)系

定理2.3.1 每一個(gè)序列緊致空間都是可數(shù)緊致空間。

定理2.3.2 每一個(gè)滿足第一可數(shù)性公理的可數(shù)緊致空間都是序列緊致空間。

N1=min{j∈Z+|xj∈U1∩E1}

對(duì)于每一個(gè)i>1，令

Ni=min{j∈Z+|xj∈Ui∩ENi-1+1}

于是N1,N2,…是一個(gè)嚴(yán)格遞增的正整數(shù)序列，并且xNi∈Ui對(duì)于每一個(gè)i∈Z+成立。

下面證明序列{xi}的子序列{xNi}收斂于x：設(shè)U是y的一個(gè)鄰域，存在某一個(gè)k∈Z+使得UNk?U,于是當(dāng)i>K時(shí)有xNi∈Ui?Uk?U。因此，X是一個(gè)可數(shù)緊致空間。

定理2.3.3 存在可數(shù)緊致而不序列緊致的拓?fù)淇臻g。

例[8]因?yàn)榫o致空間都是可數(shù)緊致空間，所以只需說明存在緊致而不序列緊致的拓?fù)淇臻g即可。

設(shè)I為單位閉區(qū)間，并在I上取通常拓?fù)?，X為乘積空間II。據(jù)Tychonoff定理[1]，X是緊致的。往證X不是序列緊致的。為此，定義函數(shù)序列an∈X(n=1,2,…)如下：an(x)代表x∈I的二進(jìn)位表示式中的第n個(gè)數(shù)字。為證X不是序列緊致的，只要證明an(x)中不存在收斂子列即可。反證，設(shè){an}有子列{ank}收斂于a∈X。因乘積空間中的收斂性等價(jià)于依坐標(biāo)收斂，故對(duì)每一個(gè)x∈I，ank(x)在I內(nèi)收斂于a(x)，取x∈I，使其在二進(jìn)位表示式中奇數(shù)位置上的數(shù)字為0，偶數(shù)位置上的數(shù)字為1，則據(jù)函數(shù)ank(x)的定義，當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)ank(x)=0，而當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)ank(x)=1。也就是說，序列{ank(x)}是0,1,0,1,…它并不收斂。因此，X不是序列緊致的。這說明只有在第一可數(shù)性公理下可數(shù)緊致空間才是序列緊致空間。

2.4 局部緊致空間與仿緊致空間之間的相互蘊(yùn)涵關(guān)系

定理2.4.1 每一個(gè)滿足第二可數(shù)性公理的局部緊致的Hausdorff空間都是仿緊致空間。

[1] 段彥峰，陳國龍，武成偉.緊致性定理在近世代數(shù)中的應(yīng)用[J].長江大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版·理工，2012,9(5):9-10.

[2] 熊金城．點(diǎn)集拓?fù)渲v義[M].第三版．北京：高等教育出版社，2003．

[3] 趙秀恒,白占立.關(guān)于拓?fù)淇臻g緊性的研究[J].河北師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,1999,23(1):27-29，32.

[4] 趙樹魁，周景新.緊致性與可數(shù)緊致性的一種刻畫[J].河北科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，28(1):11-13.

[5] 梁基華，蔣繼光．拓?fù)鋵W(xué)基礎(chǔ)[M]．北京：高等教育出版社，2000．

[6] 兒玉之宏,永見啟應(yīng).拓?fù)淇臻g論[M].北京:科學(xué)出版社,2001.

[7] 汪林，楊富春．拓?fù)淇臻g中的反例[M].北京：科學(xué)出版社，2000．

[8] 李雨生．與一拓?fù)渚o性反例相關(guān)的結(jié)果[J]．?dāng)?shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2000，30(4)：491-492．

(責(zé)任編輯：朱寶昌)

Relationships Among Compact Spaces in Point Set Topology

ZHANG Ling-min,ZHENG Guo-ping,DI Cong-na

(School of Mathematics and Information Science & Technology, Hebei Normal University of Science & Technology, Qinhuangdao Hebei,066004,China)

In this paper, many concepts were introduced such as compact space, countable compact space, sequentially compact space, sequences of the tight space, local compact space and paracompact space, and the relationship among these spaces was discussed. The conclusion was put forward and demonstrated theoretically in detail, and concrete counterexamples were given.

compact space; countable compact space；sequentially compact space；sequences of the tight space；local compact space；paracompact space; relationships

10.3969/J.ISSN.1672-7983.2015.01.015

張靈敏(1981-),女，講師，碩士。主要研究方向：圖論，拓?fù)洹?/p>

河北科技師范學(xué)院教學(xué)研究項(xiàng)目(項(xiàng)目編號(hào)：JYYB201202)。

2014-08-27; 修改稿收到日期: 2014-10-10

O152

A

1672-7983(2015)01-0077-04