摘要：根據(jù)空間解析幾何知識(shí)，利用計(jì)算軟件Maple研究創(chuàng)意折疊桌設(shè)計(jì)。探討在設(shè)定平板尺寸及邊緣線(xiàn)形狀的條件下，平板折疊桌加工設(shè)計(jì)問(wèn)題，如編寫(xiě)設(shè)計(jì)、加工參數(shù)計(jì)算程序，可方便地計(jì)算出開(kāi)槽長(zhǎng)度和桌腳邊緣線(xiàn)方程。

關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞：Maple；創(chuàng)意折疊桌；計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)；開(kāi)槽長(zhǎng)度；邊緣線(xiàn)

DOIDOI：10.11907/rjdk.143773

中圖分類(lèi)號(hào)：TP303

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)文章編號(hào)：16727800（2015）002002803

基金項(xiàng)目基金項(xiàng)目：安徽省教育廳自然科學(xué)基金項(xiàng)目（2013kb236）

作者簡(jiǎn)介作者簡(jiǎn)介：杜源（1990-），女，安徽巢湖人，安徽理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院碩士研究生，研究方向?yàn)橹悄苡?jì)算；許峰（1963-），男，安徽淮南人，安徽理工大學(xué)理學(xué)院教授，研究方向?yàn)橹悄苡?jì)算。

0引言

2011年，荷蘭設(shè)計(jì)師Robert van Embricqs 設(shè)計(jì)出了一種創(chuàng)意折疊桌，桌子外形由直紋曲面構(gòu)成，造型美觀，如圖1所示。這種折疊桌的桌面呈圓、橢圓、矩形和三角形等，桌腿隨著鉸鏈的活動(dòng)可以平攤成一張平板，如圖2所示。桌腿由若干根木條組成，分成兩組，每組各用一根鋼筋將木條連接，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側(cè)的兩根木條上，并且沿木條有空槽以保證滑動(dòng)的自由度，如圖3所示。

本文利用解析計(jì)算軟件Maple編寫(xiě)設(shè)計(jì)、加工參數(shù)計(jì)算程序，研究折疊桌平板尺寸設(shè)定、邊緣線(xiàn)加工設(shè)計(jì)問(wèn)題，并計(jì)算圓形折疊桌加工設(shè)計(jì)參數(shù)。

1問(wèn)題及分析

給定長(zhǎng)方形平板尺寸為120cm×50cm×3cm，每根木條寬2.5cm，連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置，折疊后桌子的高度為53cm。桌子形狀及邊緣線(xiàn)、開(kāi)槽情況、折疊過(guò)程如圖1—圖3。

給定平板尺寸、木條寬、桌高、鋼筋位置后，木條的開(kāi)槽長(zhǎng)度及桌腳邊緣線(xiàn)可用空間解析幾何知識(shí)計(jì)算、確定。

由于圓桌面邊緣點(diǎn)、開(kāi)槽的上下端點(diǎn)、桌腳邊緣點(diǎn)均在同一條木條上，所以問(wèn)題解決的關(guān)鍵在于確定每個(gè)木條所在直線(xiàn)的方程。

2開(kāi)槽長(zhǎng)度計(jì)算

2.1坐標(biāo)系建立

以圓桌面圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，以鋼筋方向?yàn)閤軸，垂直于鋼筋的方向?yàn)閥軸，豎直方向?yàn)閦軸，建立三維空間直角坐標(biāo)系，如圖4所示。

設(shè)第i根木條在圓上點(diǎn)的坐標(biāo)為（x0i，y0i，z0i）（i=1，2，…，n），第i根木條穿鋼筋位置點(diǎn)的坐標(biāo)為（x1i，y1i，z1i）（i=1，2，…，n），第i根木條開(kāi)槽上端點(diǎn)的坐標(biāo)為（x2i，y2i，z2i）（i=2，3，…，n-1），第i根木條桌腳邊緣點(diǎn)的坐標(biāo)為（x3i，y3i，z3i）（i=1，2，…，n）。

2.2圓桌面木條長(zhǎng)度計(jì)算

由于圓桌面由鋸齒型木條拼接而成，所以構(gòu)成圓桌面的鋸齒型木條的長(zhǎng)度只能近似計(jì)算。

構(gòu)成圓桌面的第1根木條的長(zhǎng)度決定了桌面的高度，為了節(jié)省木料，應(yīng)使第1根木條的長(zhǎng)度盡可能短。

設(shè)圓周與第1根木條垂邊的交點(diǎn)坐標(biāo)為（L1，y1），則應(yīng)使y1足夠大。本文選取的y1使得交點(diǎn)上方垂邊的長(zhǎng)度為交點(diǎn)下方垂邊長(zhǎng)度的18。此比例僅對(duì)前幾個(gè)木條長(zhǎng)度有一定影響，對(duì)后續(xù)結(jié)果影響不大。

經(jīng)計(jì)算，構(gòu)成圓桌面的鋸齒型木條的長(zhǎng)度如表1所示。

另10根木條與上述10根對(duì)稱(chēng)，長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)相等。

2.3木條直線(xiàn)方程、開(kāi)槽上端點(diǎn)和邊緣點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)槽長(zhǎng)度計(jì)算

描述折疊桌動(dòng)態(tài)變化過(guò)程問(wèn)題的基礎(chǔ)是求取每根木條所在的直線(xiàn)方程。

計(jì)算直線(xiàn)方程的過(guò)程如下（見(jiàn)圖4）：

（1） 根據(jù)圓的方程及木條的長(zhǎng)度求出坐標(biāo)（x0i，y0i，z0i）（i=1，2，…，n）；

（2） 由于鋼筋平行于x軸，所以：

x1i=x0i，y1i=y0i+r12sinθ，z1i=-r12cosθ；（1）

（3） 根據(jù)（x0i，y0i，z0i），（x1i，y1i，z1i）得出每根木條所在的直線(xiàn)方程的對(duì)稱(chēng)式和參數(shù)方程[3]。

根據(jù)每根木條所在的直線(xiàn)方程，利用長(zhǎng)度Li，可進(jìn)一步求出每根木條開(kāi)槽上端點(diǎn)坐標(biāo)（x2i，y2i，z2i）和桌腳邊緣點(diǎn)坐標(biāo)（x3i，y3i，z3i）。

求出（x1i，y1i，z1i）和（x2i，y2i，z2i）間的距離，即得中間n-2根木條的開(kāi)槽長(zhǎng)度，如表2所示。

表2開(kāi)槽長(zhǎng)度數(shù)據(jù)

序號(hào)[]1[]2[]3[]4[]5[]6[]7[]8[]9[]10

開(kāi)槽長(zhǎng)度[]0[]5.06[]8.47[]11.23[]13.52[]15.40[]16.89[]18.03[]18.82[]19.27

另10根木條與上述10根對(duì)稱(chēng)，開(kāi)槽長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)相等。

3桌腳邊緣線(xiàn)數(shù)學(xué)描述

根據(jù)程序求出桌腳邊緣點(diǎn)的坐標(biāo)：

x=＼[25，22.5，20，17.5，15，12.5，10，7.5，5，2.5，0，-2.5，-5，-7.5，-10，-12.5，-15，-17.5，-20，-22.5＼]；

y=＼[29.29，21.20，17.56，15.58，14.54，14.04，13.84，13.80，13.83，13.86，13.86，13.83，13.80，13.84，14.04，14.54，15.58，17.56，21.20，29.29＼]；

z=＼[-50.00，-47.50，-44.54，-41.77，-39.36，-37.37，-35.79，-34.60，-33.78，-33.31，-33.31，-33.78，-34.60，-35.79，-37.37，-39.36，-41.77，-44.54，-47.50，-50.00＼]。

考慮到描述空間曲線(xiàn)的最佳形式為參數(shù)方程，采用下列方法進(jìn)行邊緣線(xiàn)的數(shù)學(xué)描述：

分別將x，y，z坐標(biāo)對(duì)序號(hào)（記為t）進(jìn)行擬合[4]，得到x，y，z關(guān)于t的近似表達(dá)式，從而獲得邊緣線(xiàn)的近似參數(shù)方程。

分別選擇直線(xiàn)，6次多項(xiàng)式和2次多項(xiàng)式對(duì)x，y，z圖形進(jìn)行擬合，擬合結(jié)果如圖5-圖7所示。

x（t）=27.5-2.5t，調(diào)整R2=1（2）

圖5桌腳邊緣點(diǎn)x坐標(biāo)擬合結(jié)果

圖6桌腳邊緣點(diǎn)y坐標(biāo)擬合結(jié)果

y（t）=0.000 026 67t6-0.001 68t5+0.043 31t4-0.584 3t3+4.365 4t2-17.298 1t+42.666 5，調(diào)整R2=0.998 7（3）

z（t）=-0.189 9t2+3.987 5t-54.422 7，調(diào)整R2=0.997 3（4）

圖7桌腳邊緣點(diǎn)z坐標(biāo)擬合結(jié)果

桌腳邊緣線(xiàn)的近似參數(shù)方程為：

x（t）=27.5-2.5ty（t）=0.000 026 67t6-0.001 68t5+0.043 31t4-0.584 3t3+4.365 4t2-17.298 1t+42.666 5z（t）=-0.189 9t2+3.987 5t-54.422 7，（5）

上述曲線(xiàn)與桌腳邊緣點(diǎn)對(duì)照如圖8所示。

圖8桌腳邊緣曲線(xiàn)與邊緣點(diǎn)對(duì)照

從調(diào)整R2和圖8可以看出，方程（5）非常精確地描述了桌腳邊緣線(xiàn)。

4折疊桌動(dòng)態(tài)變化過(guò)程描述

由于折疊桌在折疊過(guò)程中高度逐漸增加，而桌腳的邊緣線(xiàn)隨之發(fā)生變化，所以描述折疊桌動(dòng)態(tài)變化過(guò)程的合理方式是描述桌腳的邊緣線(xiàn)隨桌子高度的變化過(guò)程。

利用計(jì)算軟件Maple編程，將桌子高度h從1依次增加到50（以步長(zhǎng)1），50條邊緣線(xiàn)即描述了折疊桌從開(kāi)始折疊到最終成型的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，如圖9所示。

最后得出此時(shí)桌子的仿真效果如圖10所示。

圖9桌腳邊緣曲線(xiàn)隨高度的動(dòng)態(tài)變化

圖10折疊桌仿真

5結(jié)語(yǔ)

創(chuàng)意折疊桌自2011年問(wèn)世以來(lái)，日益受到設(shè)計(jì)人員的重視，已有越來(lái)越多的設(shè)計(jì)人員開(kāi)始研究創(chuàng)意折疊桌的計(jì)算機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。本文根據(jù)空間解析幾何知識(shí)，利用計(jì)算軟件Maple編寫(xiě)了設(shè)計(jì)及加工參數(shù)計(jì)算程序，研究設(shè)定平板尺寸及邊緣線(xiàn)形狀條件下平板折疊桌的加工設(shè)計(jì)問(wèn)題，并用程序計(jì)算了圓形折疊桌的加工設(shè)計(jì)參數(shù)，可供創(chuàng)意折疊桌設(shè)計(jì)人員借鑒。

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責(zé)任編輯（責(zé)任編輯：陳福時(shí)）