☉江蘇省鹽城中學(xué)教育集團(tuán) 張衛(wèi)明

數(shù)學(xué)解題研究的三維策略*

☉江蘇省鹽城中學(xué)教育集團(tuán) 張衛(wèi)明

美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯（P.Raloms）指出，問題是數(shù)學(xué)的心臟.美國全國數(shù)學(xué)管理者大會(huì)（NCSM）在《21世紀(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》中認(rèn)為：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要目的在于問題解決.”我國《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）也明確要求數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)應(yīng)注重發(fā)展能力，包括解決問題的能力.因而學(xué)習(xí)怎樣解決問題就成為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的根本原因，培養(yǎng)和提高學(xué)生分析、解決問題的能力是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù).

現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)理論認(rèn)為，學(xué)生應(yīng)用知識(shí)解決問題能力的高低不僅與貯存知識(shí)的數(shù)量有關(guān)，還與貯存知識(shí)的概括程度、索引方式、相互關(guān)聯(lián)度等可有效利用的屬性有關(guān).出現(xiàn)上述問題的主要原因在于數(shù)學(xué)解題沒有講究方法，囫圇吞棗，過于追求數(shù)量而忽視答題的質(zhì)量.筆者經(jīng)過多年的解題研究和實(shí)踐，認(rèn)為數(shù)學(xué)解題只要掌握策略，一定能攻克難關(guān).

一、宏觀上，數(shù)學(xué)解題應(yīng)先識(shí)別問題的類型，尋覓適當(dāng)?shù)那腥朦c(diǎn)

一般而言，我們解決一道數(shù)學(xué)題，第一件事應(yīng)該了解這是道什么題，它是什么形式，屬于何種類型.解題中要充分理清條件的指向性和結(jié)論的隱藏性、迷惑性，在紛繁復(fù)雜的信息中，看條件特殊、看轉(zhuǎn)化結(jié)論、看過程溝通，以尋求最有用、最有價(jià)值的信息.即我們應(yīng)先根據(jù)題目的條件和結(jié)論進(jìn)行類型識(shí)別，再通過差異分析和題目信息的轉(zhuǎn)換、活用等思維活動(dòng)，結(jié)合相應(yīng)類型的數(shù)學(xué)題解決模式，就容易得到解決問題的切入點(diǎn).

案例1：定義：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）滿足a+b+c=0，那么我們稱這個(gè)方程為“鳳凰”方程.已知ax2+bx+c=0（a≠0）是“鳳凰”方程，且有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則下列結(jié)論正確的是（）.

A．a(chǎn)=cB．a(chǎn)=bC．b=cD．a(chǎn)=b=c

思路1：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常數(shù)，且a≠0）的根的情況可由b2-4ac來判定.b2-4ac＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；b2-4ac=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；b2-4ac＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根.

解析：由原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，得b2-4ac=0①.

由a+b+c=0，得b=-a-c②.

把②代入①，得（-a-c）2-4ac=0，整理得（a-c）2=0.

則a=c，故選A．

解題感悟：利用“根的判別式”知識(shí)為切入點(diǎn)，是解決與一元二次方程的兩根有關(guān)的問題的常規(guī)思路.

思路2：方程的解是使方程兩邊相等的未知數(shù)的值.若一個(gè)值是方程的解，那么用這個(gè)值代替方程中的未知數(shù)，則方程的兩邊是相等的.

解析：由a+b+c=0，得“鳳凰”方程必有一根為1.若兩根相等，則兩根均為1.

這樣的方程的一般形式為（x-1）2=0，含有系數(shù)的一般形式為a（x-1）2=0（a≠0），即ax2-2ax+a=0（a≠0）.

與“鳳凰”方程的一般形式對照系數(shù)，可知a=c，故選A．

解題感悟：利用“方程根的意義”知識(shí)為切入點(diǎn)，以退為進(jìn)，清新質(zhì)樸.

思路3：結(jié)合一元二次方程的解法，求出方程的解.

解析：由ax2+bx+c=0，a+b+c=0，得a（x2-1）+b（x-1）=0.

則（x-1）（ax+a+b）=0.

則x1-1=0，ax2+a+b=0.

解題感悟：巧妙利用一元二次方程的解法知識(shí)為切入點(diǎn)，另辟蹊徑，打破思維定勢．

有條件限制說原則上認(rèn)可原審原告在上訴審中能夠申請撤回起訴，但是其同樣認(rèn)為與一審撤回起訴相比，原審原告在上訴審中的撤訴應(yīng)當(dāng)面臨著較多特殊性障礙條件。

以上解題的切入點(diǎn)清楚地表明：由于一個(gè)概念或一個(gè)問題在同一個(gè)體、不同個(gè)體中完全可能有不同的心理表征，它們分別突出了對象的某些類型性質(zhì)，在不同的時(shí)刻或場合，針對某種類型性質(zhì)，在直覺選擇的基礎(chǔ)上，確定破題的切入點(diǎn)，尋求解題策略．

二、中觀上，數(shù)學(xué)解題應(yīng)注重運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法

現(xiàn)代解題理論指出：數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，數(shù)學(xué)解題的過程是數(shù)學(xué)思想方法得以運(yùn)用的過程．可以這樣說，抓住了數(shù)學(xué)思想方法就是主宰了數(shù)學(xué)教育的生命.數(shù)學(xué)思想的形成與否，關(guān)鍵不是會(huì)解某道題，而是會(huì)解決某類題，關(guān)鍵是在舉一反三、觸類旁通的基礎(chǔ)上能形成解決不同知識(shí)點(diǎn)、不同題型的思維規(guī)律.這需要解題者在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方面不僅學(xué)好概念、公式、法則等內(nèi)容，而且要能領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)思想方法，并通過不斷積累，逐漸內(nèi)化為自身的解題經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)結(jié)構(gòu)，提高解決問題的能力．

案例2：兩個(gè)不相等的正數(shù)滿足a+b=2，ab=t-1，設(shè)S=（a-b）2，則S關(guān)于t的函數(shù)圖像是（）.

A．射線（不含端點(diǎn)）B．線段（不含端點(diǎn)）

C．直線D．拋物線的一部分

思路點(diǎn)撥：題中出現(xiàn)了a、b、t、S四個(gè)字母表示的變量，由于題中最后要求的是S關(guān)于t的函數(shù)，所以需要消去a、b兩個(gè)元，即可以化歸為只含有t、S兩個(gè)變量.

解析：S=（a-b）2=（a+b）2-4ab=4-4（t-1）=8-4t．根據(jù)其表達(dá)式為一次函數(shù)，首先可以排除選項(xiàng)D．按題中條件，要求存在兩個(gè)不相等的正數(shù)滿足a+b=2，ab=t-1，又0≤得到1＜t＜2，從而答案為B．

解題感悟：本題蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想，在求S與t的函數(shù)關(guān)系式的過程中，體現(xiàn)了消參變量中的化歸思想；排除選項(xiàng)D的解題過程中，包含了轉(zhuǎn)換中的函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想；最后確定選項(xiàng)B，展示了隱含中的等價(jià)轉(zhuǎn)化思想．

解這道題難點(diǎn)之一是字母太多，怎樣才能減少未知數(shù)呢？這對解題者來講是一種考驗(yàn)，解題者最終能否成功地建構(gòu)出關(guān)于所面臨問題的一個(gè)合適的內(nèi)在表征，能否學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思想方法對解題的調(diào)節(jié)點(diǎn)先進(jìn)行分析和監(jiān)控便顯得尤為重要．在解題分析中，將不熟悉的類型轉(zhuǎn)化為熟悉的類型，將費(fèi)解的類型“肢解”成一個(gè)個(gè)熟悉的小問題或不斷地揭示問題的深層結(jié)構(gòu)，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法調(diào)節(jié)．如本例中消參變量中的轉(zhuǎn)化思想時(shí)刻，題目中的某些條件與其本人已有的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)發(fā)生聯(lián)系和碰撞，從而此刻“問題空間”向著成功的方向轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了解題者知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)之間的相互溝通能力．

三、微觀上，數(shù)學(xué)解題應(yīng)注重解題后的反思

解題者解決完數(shù)學(xué)問題，若到此就心滿意足，拋卻腦后，就可能錯(cuò)過提高的機(jī)會(huì)，往往會(huì)導(dǎo)致獲得的知識(shí)系統(tǒng)性減弱、結(jié)構(gòu)性不強(qiáng)等問題.因此解題后的反思是提高數(shù)學(xué)解題能力的重要環(huán)節(jié)．為了提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率，必須加強(qiáng)正確的解題思想，養(yǎng)成反思的習(xí)慣．

案例3：如圖1，四邊形ABCD是正方形，E是邊BC的中點(diǎn)．∠AEF=90°，且EF交正方形的外角∠DCG的平分線CF于點(diǎn)F，求證：AE=EF．

圖1

圖2

1.反思解題方法，開拓解題思路

因每位解題者的思維角度、方式、水平等方面的差異，所以解題者的解答往往呈現(xiàn)多樣性，而一題多解是培養(yǎng)解題者思維力的一種有效手段，因此探討解法的多樣性，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)，培養(yǎng)思維的發(fā)射性，是解題反思力的重要內(nèi)涵．李政道教授指出：“真正的學(xué)習(xí)是要沒有路牌子也能走路，最后能走出來，并且從捷徑中走出來，這才是學(xué)習(xí)的本質(zhì).”這生動(dòng)說明解題者不僅要學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，而且要有獨(dú)創(chuàng)精神.

例如，案例2中若取AB的中點(diǎn)M，連接ME，則AM= EC，易證△AME≌△ECF，從而得到AE=EF．這種方法簡單快捷，不是人云亦云，而是跳出常規(guī)思維模式，標(biāo)新立異，這正是我們所提倡的創(chuàng)新精神.

2.反思問題變式，激活創(chuàng)新思維

變式訓(xùn)練，不僅可以培養(yǎng)解題者的邏輯思維能力，也可以培養(yǎng)解題者思維的靈活性和創(chuàng)新性．將課本中例、習(xí)題或一些中考題的條件、結(jié)論作一些改變，既可防止靜止、孤立地看問題，還可促進(jìn)解題者對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)，增強(qiáng)探究能力．

變式1：如圖3，如果把“E是邊BC的中點(diǎn)”改為“E是邊BC上（除點(diǎn)B、C外）的任意一點(diǎn)”，其他條件不變，那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立．你認(rèn)為該觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，試說明理由．

圖3

圖4

變式2：如圖4，E是BC的延長線上（除點(diǎn)C外）的任意一點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論“AE=EF”仍然成立．你認(rèn)為該觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，試說明理由．

變式3：如圖5，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BC=2AB=2AD．

（1）求證：∠DCB=45°.

（2）小麗現(xiàn)將一把三角尺的直角頂點(diǎn)M在射線AD上滑動(dòng)，直角的一邊始終經(jīng)過點(diǎn)B，另一邊與腰CD所在的直線交于N．試問：

①如圖5-1，當(dāng)M為AD的中點(diǎn)時(shí)，BM與MN有怎樣的大小關(guān)系？請給予證明．

②如圖5-2，當(dāng)M在AD的延長線上時(shí)，BM與MN又有怎樣的大小關(guān)系？請證明你觀察得到的結(jié)論．

圖5-1

圖5-2

從特殊到一般，及時(shí)有機(jī)地進(jìn)行圖形演變，但全等三角形不變，做到“潤物細(xì)無聲，形變而神不變”.需要解題者注重對數(shù)學(xué)問題研究的深入性，不能淺嘗輒止，要知其然，還要知其所以然，對數(shù)學(xué)問題的內(nèi)涵與外延進(jìn)行深入探索，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力，練好解題的內(nèi)功！

3.反思問題結(jié)構(gòu)，學(xué)會(huì)編擬問題

有位數(shù)學(xué)家曾這樣說：一道好的數(shù)學(xué)試題，就是一部好的教材.因此，能夠自我命制數(shù)學(xué)試題，就是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最高境界，它要求命題者具有先進(jìn)的理念和扎實(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)功底．編擬結(jié)構(gòu)良好新穎的數(shù)學(xué)問題不只是簡單的變式，應(yīng)包括立意、情境和設(shè)問三個(gè)方面．所謂“立意”，是指考查的目的，即考查什么知識(shí)、能力，體現(xiàn)什么數(shù)學(xué)思想方法；所謂“情境”，是指考查的載體；所謂“設(shè)問，”是指問題的呈現(xiàn)方式，如探索性、開放性試題，問題的設(shè)問一般都是逐步深入、層層遞進(jìn)的．

案例4：聰明好學(xué)的小敏查閱有關(guān)資料發(fā)現(xiàn)：用不過圓錐頂點(diǎn)且平行于一條母線的平面截圓錐所得的截面為拋物面，即圖6中曲線CFD為拋物線的一部分．如圖6，圓錐體SAB的母線長為10，側(cè)面積為50π，圓錐的截面CFD交母線SB于F，交底面圓P于C、D，AB⊥CD于O，OF∥SA且OF⊥CD，OP=4．

（1）求底面圓的半徑AP的長及圓錐側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù).

（2）以CD所在直線為x軸，OF所在的直線為y軸，建立如圖7所示的直角坐標(biāo)系．求過C、F、D三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)關(guān)系式.

（3）在拋物面CFD中能否截取長為5.6、寬為2.2的矩形？請說明理由．

圖6

圖7

命題的主要目的是讓考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，通過呈現(xiàn)圓錐的直觀圖形，將圓、拋物線、圓錐等知識(shí)有機(jī)結(jié)合在一起，有效地體驗(yàn)數(shù)學(xué)推理的力量和證明的意義，發(fā)展空間觀念和自主創(chuàng)新的意識(shí).但通過閱卷分析，發(fā)現(xiàn)許多考生由于理解能力不強(qiáng)，不能綜合問題的條件和結(jié)論之間的聯(lián)系，從而不能順利地不間斷地分析和解決問題．其實(shí)，數(shù)學(xué)解題就是一個(gè)編擬問題的過程，試題編制要體現(xiàn)新課標(biāo)改革的方向與理念，要根據(jù)知識(shí)技能目標(biāo)、過程性目標(biāo)及使用目的和使用對象來決定題目的形式、綜合程度、知識(shí)覆蓋面，同時(shí)還要注意試題背景公平，避免出現(xiàn)陳題．

四、結(jié)束語

數(shù)學(xué)解題，要善于從思維定勢中解脫出來，養(yǎng)成從多角度、多側(cè)面分析問題的習(xí)慣，以培養(yǎng)思維的廣闊性、縝密性和創(chuàng)新性.對例題、習(xí)題、練習(xí)題、復(fù)習(xí)題等，不能就題做題，要以題論法，以題為載體，闡述試題的條件加強(qiáng)、條件弱化、結(jié)論開放、變換結(jié)論、多種解法、與其他試題的聯(lián)系與區(qū)別、其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法等，將試題的知識(shí)價(jià)值、教育價(jià)值一一解剖，達(dá)到“做一題，會(huì)一片，懂一法，長一智”.

1.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

*本文是江蘇省中小學(xué)教研室第十批立項(xiàng)課題“蘇科版初中數(shù)學(xué)課標(biāo)（2011版）教材的使用研究”（課題批準(zhǔn)號：2013JK10-L154）和江蘇省十二五教育科學(xué)規(guī)劃立項(xiàng)課題“區(qū)域性初中數(shù)學(xué)高效課堂構(gòu)建策略的研究”（課題批準(zhǔn)號：D/2013/02/632）的階段性成果.