李 苗，何 敏，郭 魁

（湖南城市學(xué)院，湖南 益陽 413000）

結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測作為一門交叉學(xué)科，涉及結(jié)構(gòu)、材料、計算機(jī)、通信、信息和傳感器等眾多學(xué)科。其思路是利用各類傳感器對結(jié)構(gòu)響應(yīng)進(jìn)行采集，通過適當(dāng)?shù)乃惴▽Σ杉脭?shù)據(jù)進(jìn)行處理，提取對結(jié)構(gòu)損傷較敏感的特征指標(biāo)，形成一種適合結(jié)構(gòu)安全運營與評定的監(jiān)測系統(tǒng)。Housner[1]等人將結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測系統(tǒng)定義為從運營狀態(tài)的結(jié)構(gòu)中獲取、處理數(shù)據(jù)，評估結(jié)構(gòu)主要性能指標(biāo)（可靠度、耐久性等）的有效方法。健康監(jiān)測的主要研究內(nèi)容之一就是尋找結(jié)構(gòu)損傷指標(biāo)。結(jié)構(gòu)發(fā)生損傷時，其剛度和質(zhì)量會隨之變化，從而引起動力特征參數(shù)的變化。Cawley[2]等最早利用結(jié)構(gòu)固有頻率的變化進(jìn)行損傷識別。模態(tài)振型包括位移模態(tài)振型和應(yīng)變模態(tài)振型，可以提供損傷位置所需的空間信息。Dong[3]等指出，相比位移模態(tài)振型，應(yīng)變模態(tài)振型對結(jié)構(gòu)損傷更敏感。Pandey提出了模態(tài)柔度[4]，其本質(zhì)是固有頻率和模態(tài)振型的綜合量。有學(xué)者利用頻響函數(shù)進(jìn)行損傷識別，Sampaio等的研究表明[5]，基于頻響函數(shù)的曲率的損傷識別方法不需要模態(tài)分析確定損傷位置和損傷程度。目前，模態(tài)頻率、振型、阻尼、頻響函數(shù)及導(dǎo)出量（柔度矩陣、振型曲率等）在內(nèi)的頻域參數(shù)是最常見的損傷特征參數(shù)。在時域通過響應(yīng)信號直接構(gòu)造損傷特征參數(shù)是另一種思路。Sohn和Farrar[6]將響應(yīng)信號的AR模型系數(shù)作為損傷敏感指標(biāo)。Ruotolo[7]等采用奇異值分解得到響應(yīng)信號矩陣的秩，通過秩的變化進(jìn)行損傷識別。陳曉強(qiáng)[8]等基于響應(yīng)信號構(gòu)造了統(tǒng)計矩曲率、動能密度和偽比能三種損傷指標(biāo)。本文考慮在時域構(gòu)造應(yīng)變損傷指標(biāo)。推導(dǎo)結(jié)構(gòu)在白噪聲激勵下，應(yīng)變時程的相關(guān)函數(shù)幅值向量與結(jié)構(gòu)固有頻率、模態(tài)振型和阻尼比的關(guān)系。通過鋼梁的振動試驗證明動應(yīng)變相關(guān)函數(shù)幅值向量作為損傷敏感特征參數(shù)的有效性。

1 動應(yīng)變相關(guān)函數(shù)

1.1 基本原理

相關(guān)函數(shù)可簡單描述成隨機(jī)振動波形隨時間坐標(biāo)移動時與別的波形的相似程度[9]。在隨機(jī)振動下，得到其n個測點的響應(yīng)信號，不同測點的響應(yīng)xp(t)與xl(t)(l= 1 ,2,3,… ,n)之間的互相關(guān)函數(shù)Rpl(τ)定義為

對于離散的時間序列（響應(yīng)），上式可表示成：

N個自由度系統(tǒng)的隨機(jī)運動方程表示為，

式中[Ms]、[Cs]、[Ks]分別為N×N的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；｛L｝為N× 1的映射向量，f(t)是外部激勵，｛L｝f(t)是將激勵施加于某自由度。｛xs(t)｝，(t)｝，｛(t)｝分別是N×1的位移、速度和加速度向量。

令｛xe｝i代表第i個單元全部節(jié)點的位移列陣，｛x｝i為第i個單元內(nèi)部某一點的位移列陣，有

式中[P]為位移函數(shù)矩陣，｛a｝i為多項式函數(shù)的系數(shù)列陣，其元素為待定常數(shù)。在有限元的節(jié)點上，每個節(jié)點的位置坐標(biāo)為確定值，有下列關(guān)系，

[A]i應(yīng)為數(shù)值矩陣。將系數(shù)列陣｛a｝i表達(dá)式代入式(4)得

第i個單元內(nèi)一點的應(yīng)變?yōu)椋牛齣，

式中m為單元數(shù)，[D]為微分算子，

即

此處｛ε｝為單元內(nèi)的應(yīng)變，｛x｝為單元節(jié)點位移。將式(8)轉(zhuǎn)換到總體坐標(biāo)中，

式中[β]為坐標(biāo)變換矩陣，｛xs｝為總體坐標(biāo)中節(jié)點位移向量。式(8)可表示為，

將以上應(yīng)變—位移關(guān)系式[10]代入式(3)得到，

式中：

將式(12)代入式(11)得

式中

求得自由度l處應(yīng)變單位脈沖響應(yīng)函數(shù)，

其中ωi，ωdi，ξi分別是第i階無阻尼和有阻尼模態(tài)頻率、阻尼比；為第i階應(yīng)變模態(tài)振型的第l個元素。

在f(t)作用下，自由度l輸出的應(yīng)變響應(yīng)表達(dá)式，

互相關(guān)函數(shù)Rpl(τ)可表示為，

若f(t)為白噪聲，則f(t)的自相關(guān)函數(shù)為，

當(dāng)σ1=σ2時，式中S是一個常數(shù)，為f(t)幅值的平方；δ(t)為單位脈沖函數(shù)，即Dirac函數(shù)。

該函數(shù)具有抽樣的特性，即

將式(17)代入式(16)，得到

將式(14)代入上式，可得

其中，

1.2 損傷指標(biāo)

定義測點p、l間的相關(guān)函數(shù)幅值rpl，將各rpl組成向量，以p為參考點的相關(guān)函數(shù)幅值向量記為Vcf

式(20)表明，白噪聲激勵下，應(yīng)變響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)主要包含頻率，模態(tài)振型和阻尼比這些結(jié)構(gòu)信息。結(jié)構(gòu)在無損狀態(tài)下，向量中各元素比例應(yīng)比較固定。通過式(23)對Vcf進(jìn)行規(guī)范化處理，

結(jié)構(gòu)損傷會使結(jié)構(gòu)參數(shù)值發(fā)生改變，即Vcf中各元素的比例產(chǎn)生變化。以健康狀態(tài)下的rVcf作為基準(zhǔn)，對比結(jié)構(gòu)未知狀態(tài)下的Vcf，若向量曲線形式一致，則結(jié)構(gòu)正常。向量的一致性可通過模態(tài)置信度準(zhǔn)則（Modal Assurance Criterion，MAC）判斷（式24），兩組相關(guān)函數(shù)幅值向量的一致性越強(qiáng)，其值越接近1。

2 試驗介紹

2.1 試驗設(shè)備

鋼梁為閉口方形空心梁，截面高度、寬度均為30 mm，厚度1 mm，面積A=116 mm2。梁體材料彈性模量E=210 GPa。鋼梁兩端固支，凈間距 3.12m。試驗儀器為：信號發(fā)生器 Agilent 33521A、信號放大器東華 DH1301、激振器東華JZQ-50、120歐 2.5伏電阻式應(yīng)變片、信號采集儀HBM-MGC plus AB22A。

2.2 試驗方案

以單跨固支鋼梁作為試驗對象，在鋼梁上布置工作應(yīng)變片（圖1）；將信號發(fā)生器、放大器與激振儀連接起來，通過信號采集儀實時采集動應(yīng)變數(shù)據(jù)（圖 2、3）；生成白噪聲激勵作為結(jié)構(gòu)模型的激振源（激勵時長30分鐘，圖4）。首先在數(shù)個短時間段內(nèi)測試無損狀態(tài)下試驗梁的動應(yīng)變；然后通過在鋼梁上布置質(zhì)量塊模擬固支梁的損傷狀況[11]，測試相應(yīng)試驗工況下梁體的動應(yīng)變信號。試驗工況：（1）無損試驗，結(jié)構(gòu)無損傷，共測試四次（2min/次）；（2）有損試驗 a，1、2節(jié)點間梁段施加質(zhì)量塊（梁體質(zhì)量的4%），測試一次；（3）有損試驗b，2、3節(jié)點間梁段施加質(zhì)量塊（梁體質(zhì)量的8%），測試一次。

圖1 應(yīng)變片布置圖(單位：cm)

圖2 鋼梁與試驗設(shè)備

圖3 激振器與質(zhì)量塊圖

圖4 白噪聲激勵

3 結(jié)果分析

無損梁動應(yīng)變測試共四次（I、II、III和IV），每次時長2分鐘。圖5所示為試驗I的實測數(shù)據(jù)，考慮篇幅有限，未給出其余三次試驗實測數(shù)據(jù)圖。

圖5 無損梁應(yīng)變數(shù)據(jù)

采用公式（2）得到延時τ=4s，無損梁試驗I各測點間的相關(guān)函數(shù)。據(jù)圖6所示，相關(guān)函數(shù)幅值都在τ=0s附近。通過式（21、22）可構(gòu)成動應(yīng)變相關(guān)函數(shù)幅值向量Vcf。

圖6 無損梁各測點相關(guān)函數(shù)

對四次試驗的動應(yīng)變相關(guān)函數(shù)幅值向量Vcf進(jìn)行規(guī)范化處理，得到四條Vcf比例曲線（圖7）。圖形顯示，四次測試的比例曲線形式較為一致，以試驗I的Vcf作為基準(zhǔn)，采用模態(tài)置信度準(zhǔn)則MAC（式24）量化四次試驗相互間的Vcf一致性，MAC值非常接近1（表1）。說明四次試驗固支鋼梁都處于無損狀態(tài)，與實際情況相符。有損試驗 a、b通過在鋼梁上施加質(zhì)量塊模擬結(jié)構(gòu)的損傷，兩次試驗施加的質(zhì)量塊分別為梁體質(zhì)量的4%和8%。實測結(jié)構(gòu)各測點的動應(yīng)變數(shù)據(jù)如圖8、9所示。

表1 無損梁試驗下的MAC值

圖7 無損梁動應(yīng)變相關(guān)函數(shù)幅值向量

圖8 有損試驗a應(yīng)變數(shù)據(jù)

圖9 有損試驗b應(yīng)變數(shù)據(jù)

基于兩組有損試驗的動應(yīng)變數(shù)據(jù)，得到規(guī)范后的相關(guān)函數(shù)幅值向量Vcf（圖10、11）。與之對比的曲線為四次無損試驗所得的相關(guān)函數(shù)幅值向量均值。兩組圖顯示，鋼梁在增加質(zhì)量塊后，相關(guān)函數(shù)幅值向量曲線形式有顯著的變化。計算有損試驗a、b的Vcf與無損Vcf均值的MAC值，分別為0.9137和0.9428。有損試驗a的Vcf曲線變化顯著的位置出現(xiàn)在r1-2，有損試驗 b的Vcf曲線在r1-3較明顯，該現(xiàn)象與質(zhì)量塊所處梁段的位置（分別為1、2節(jié)點間與2、3節(jié)點間）有相關(guān)性。

圖10 有損試驗a相關(guān)函數(shù)幅值向量

圖11 有損試驗b相關(guān) 函數(shù)幅值向量

4 結(jié)論

（1）鋼梁在無損狀態(tài)下，四組動應(yīng)變相關(guān)函數(shù)幅值向量Vcf呈現(xiàn)一致的線形，說明Vcf正確反映了結(jié)構(gòu)狀態(tài)；

（2）鋼梁在分別施加約梁重 4%與 8%的質(zhì)量塊情況下，規(guī)范后的相關(guān)函數(shù)幅值向量Vcf較無損狀態(tài)發(fā)生了 8.6%與 5.7%的變化，有效識別了固支梁的結(jié)構(gòu)異常；但質(zhì)量塊的增加并未造成Vcf改變量的增大；

（3）有損試驗的Vcf曲線變化較顯著的位置與鋼梁施加質(zhì)量塊的梁段具有一定相關(guān)性，可進(jìn)一步通過算法和試驗進(jìn)行分析驗證。

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