， 　， ， (1.燕山大學(xué) 河北省重型機(jī)械流體動(dòng)力傳輸與控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 河北 秦皇島　066004；2.燕山大學(xué) 先進(jìn)鍛壓成形技術(shù)與科學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 河北 秦皇島　066004)

引言

電液伺服系統(tǒng)是一個(gè)非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，其在運(yùn)行過程中容易產(chǎn)生噪聲或出現(xiàn)沖擊、爬行和非線性振動(dòng)等異?，F(xiàn)象，而且誘因不易確定，影響系統(tǒng)的穩(wěn)定工作[1]。

目前，對(duì)電液伺服系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的研究一般采用系統(tǒng)建模和數(shù)值仿真手段[2,3]，所依據(jù)的理論多是經(jīng)典控制理論和線性動(dòng)力學(xué)理論，較少運(yùn)用非線性動(dòng)力學(xué)理論進(jìn)行分析研究。而且，多數(shù)在系統(tǒng)建模時(shí)對(duì)非線性因素進(jìn)行線性化處理[4,5]，研究結(jié)論與實(shí)際情況有較大差異，很難解釋實(shí)際動(dòng)態(tài)測(cè)試中出現(xiàn)的時(shí)域波形繁雜、周期振蕩等異?，F(xiàn)象，不能準(zhǔn)確反映執(zhí)行機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特征。

本研究根據(jù)非線性動(dòng)力學(xué)原理，重點(diǎn)探究彈簧力和摩擦力等非線性因素對(duì)電液伺服系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特征的影響規(guī)律。通過理論研究及仿真分析，揭示系統(tǒng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的非線性動(dòng)力學(xué)本質(zhì)，旨在為揭示電液伺服系統(tǒng)非線性振動(dòng)的誘因提供理論借鑒。

1　動(dòng)力學(xué)模型

電液伺服系統(tǒng)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)為伺服液壓缸，本研究以常用的雙作用單活塞桿液壓缸為例進(jìn)行分析，其工作原理如圖1所示。

圖1　液壓缸工作原理

其動(dòng)力學(xué)方程為：

(1)

式中，m為活塞及負(fù)載的折合質(zhì)量；x為活塞位移；Fc為黏性力；Fs為彈性力；Ff為摩擦力；FL為負(fù)載力；p1、p2分別為無桿腔和有桿腔壓力；A1、A2分別為無桿腔和有桿腔活塞有效作用面積。

2　非線性作用力及作用特征

2.1　非線性彈簧力及作用特征

液壓缸系統(tǒng)彈簧剛度由活塞桿剛度和液壓油剛度串聯(lián)合成，彈簧力主要來自于受控液壓油所構(gòu)成的液體彈簧。活塞運(yùn)動(dòng)會(huì)改變兩側(cè)液體彈簧的長(zhǎng)度，引起液壓彈簧剛度的改變，變化規(guī)律為[1]：

(2)

式中，βe為油液體積彈性模量；L為液壓缸總行程；L1為活塞初始位置，即無桿腔液柱長(zhǎng)度；VL1、VL2分別為閥與無桿腔和有桿腔之間管道內(nèi)油液體積；α、γ為待定系數(shù)。

由式(2)可得出液壓彈簧剛度隨活塞位移的變化規(guī)律，如圖2所示。

由圖2可知，液壓彈簧剛度隨活塞的運(yùn)動(dòng)呈現(xiàn)出非線性時(shí)變規(guī)律。當(dāng)α>0、γ=0時(shí)呈現(xiàn)軟彈簧特性，α=0、γ>0時(shí)呈現(xiàn)硬彈簧特性，α>0、γ>0時(shí)呈現(xiàn)半程軟彈簧、半程硬彈簧特性[6]。

圖2　液壓彈簧剛度隨活塞位移的變化規(guī)律曲線

設(shè)y為在工作點(diǎn)x附近的振動(dòng)位移，即Δx。將液壓彈簧剛度在工作點(diǎn)附近展成泰勒級(jí)數(shù)形式：

(3)

k(x+y)=k1+k2y+k3y2+o(y2)

(4)

此時(shí)，液壓缸系統(tǒng)的彈簧力可以表示為：

Fs=k(x+y)·y=k1y+k2y2+k3y3+o(y3)

(5)

另外，綜合考慮彈簧彈性勢(shì)能的對(duì)稱性以及其與彈簧力之間的關(guān)系，并去除高階無窮小項(xiàng)o(y3)，彈簧力可以進(jìn)一步表達(dá)為[6]：

Fs≈k1y+k3y3

(6)

暫不考慮摩擦力的非線性因素，集中研究非線性彈簧力對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特征的影響，系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程式(1)在工作點(diǎn)x附近的特性可表達(dá)為：

=p1A1-p2A2-FL-Ff(v)

=Fsin(ωt+φ0)

(7)

式中，c0為結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)，c1為線性摩擦系數(shù)。此外，因液壓缸中油壓有微觀波動(dòng)，基本服從簡(jiǎn)諧振動(dòng)規(guī)律，故式(7)右邊可近似表示為Fsin(ωt+φ0)，是系統(tǒng)的激振源[7]。F為激振力振幅；ω為激振角頻率；φ0為激振力的初相。

由非線性動(dòng)力學(xué)理論可知，式(7)是含有阻尼的Duffing方程。該方程為研究電液伺服系統(tǒng)的非線性彈簧力的作用特征提供了結(jié)構(gòu)模型。

進(jìn)一步將式(7)化為式(8)的形式，并用“諧波平衡法”[8]進(jìn)行求解，可得幅頻關(guān)系式(9)。

(8)

(9)

式中，A為零次近似解的振幅。

由幅頻關(guān)系式可得幅頻特性曲線，如圖3所示。當(dāng)β>0時(shí)為尾部右偏曲線；當(dāng)β<0時(shí)為尾部左偏曲線。阻尼的作用限制了共振振幅的無限上升。當(dāng)激勵(lì)頻率從小到大或從大到小變化時(shí)，會(huì)發(fā)生振幅突然變化的“跳躍現(xiàn)象”[1]。

圖3　幅頻特性曲線

另外，Duffing方程在相平面上有三個(gè)平衡點(diǎn)，初始條件決定系統(tǒng)在不同流域中的軌線將趨于不同的穩(wěn)定定點(diǎn)。當(dāng)外加周期力不等于零時(shí)，系統(tǒng)便有可能在不同流域之間來回跳動(dòng)，從而形成復(fù)雜的振蕩狀態(tài)，做各種復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)[9]。

2.2　非線性摩擦力及作用特征

圖4所示為體現(xiàn)摩擦力與速度關(guān)系的Stribeck曲線[10]。

圖4　Stribeck曲線

(10)

(11)

暫不考慮彈簧力的非線性因素，集中研究非線性摩擦力對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特征的影響。摩擦力的作用效果隨工作點(diǎn)在Stribeck曲線上所處區(qū)段不同而異。當(dāng)工作點(diǎn)在區(qū)域II或III時(shí)，摩擦力呈現(xiàn)非線性時(shí)變特性。此時(shí)，在工作點(diǎn)附近，有[11]：

則系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程式(1)在工作點(diǎn)x附近的特性可表達(dá)為：

(12)

(13)

由非線性動(dòng)力學(xué)理論可知，式(13)是受迫Van Der Pol方程。該方程為研究電液伺服系統(tǒng)的非線性摩擦力的作用特征提供了結(jié)構(gòu)模型。Van Der Pol方程存在極限環(huán)，如圖5所示[1]。當(dāng)|c1|>c0時(shí)，摩擦力作用的效果是產(chǎn)生極限環(huán)型振蕩[12]。

圖5　Van Der Pol 極限環(huán)

2.3　非線性彈簧力和非線性摩擦力耦合作用特征

由上述分析可知，非線性彈簧力的作用特征可以用Duffing方程描述；非線性摩擦力的作用特征可以用Van Der Pol方程描述。

進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，同時(shí)考慮彈簧力和摩擦力的非線性作用，可得到如下形式的動(dòng)力學(xué)方程：

(14)

由非線性動(dòng)力學(xué)理論可知，上式是Duffing-Van Der Pol耦合方程[13，14]。該方程為研究電液伺服系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)行為提供了結(jié)構(gòu)模型。

3　非線性耦合系統(tǒng)數(shù)值試驗(yàn)

為了探索系統(tǒng)阻尼系數(shù)μ、非線性項(xiàng)系數(shù)βm和激振力Fn對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特征的影響，取系統(tǒng)方程式(14)中的σ=1、ωm=0.5、ω=1、φ0=0得到具體算例式(15)，進(jìn)行數(shù)值試驗(yàn)研究：

(15)

3.1　分岔特性研究

Fn取不同值時(shí)，分別以μ和βm為分岔參數(shù)作分岔圖，如圖6、圖7所示。圖中橫軸分別為單位質(zhì)量上的系統(tǒng)阻尼系數(shù)μ和彈簧力非線性項(xiàng)系數(shù)βm，縱軸為振動(dòng)位移y。

圖6　Fn=20 N·rad/(s·kg)時(shí)分岔參數(shù)為μ的分岔圖

圖7　Fn=1.6 N·rad/(s·kg)時(shí)分岔參數(shù)為βm的分岔圖

由圖6、圖7可知，當(dāng)參數(shù)Fn、μ和βm取不同值時(shí)系統(tǒng)發(fā)生了不同程度的分岔現(xiàn)象[6]：① 系統(tǒng)方程存在單解、多解和無窮多個(gè)解，反映在分岔圖上表現(xiàn)為單值曲線、多值曲線和涂黑區(qū)等不同的區(qū)段，分別對(duì)應(yīng)于單周期、多周期和混沌等不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。② 隨著參數(shù)的變化，系統(tǒng)會(huì)發(fā)生運(yùn)動(dòng)狀態(tài)突然變化的動(dòng)態(tài)分岔現(xiàn)象。

3.2　運(yùn)動(dòng)形態(tài)仿真

為了形象地體現(xiàn)系統(tǒng)在不同參數(shù)下的運(yùn)動(dòng)形態(tài)，在MATLAB中建立仿真模型，對(duì)其典型的非線性動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行仿真[12]。采樣頻率取100 Hz，遠(yuǎn)大于外控力頻率：fP=ω/2π=0.16 Hz。

當(dāng)μ=2 N·s/(mm·kg)，F(xiàn)n=20 N·rad/(s·kg)時(shí)，仿真結(jié)果如圖8所示。時(shí)間歷程呈周期重復(fù)；功率譜在基頻fP及其倍頻處出現(xiàn)尖峰；相軌跡在有限的區(qū)域內(nèi)重復(fù)，呈一封閉曲線，即有極限環(huán)存在；Poincaré圖在一定的區(qū)域上只有1個(gè)孤立點(diǎn)存在。表明此時(shí)系統(tǒng)處于極限環(huán)型振蕩狀態(tài)。

圖8　極限環(huán)型振蕩形態(tài)

當(dāng)βm=0.75 N/(mm·kg)，F(xiàn)n=1.6 N·rad/(s·kg)時(shí)，仿真結(jié)果如圖9所示。時(shí)間歷程呈周期重復(fù)；功率譜在分頻fP/3及其倍頻處出現(xiàn)尖峰；相軌跡在有限的區(qū)域內(nèi)重復(fù)，呈封閉曲線；Poincaré圖在一定的區(qū)域上有3個(gè)孤立點(diǎn)存在。說明此時(shí)系統(tǒng)處于3倍周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，周期3意味著混沌。

當(dāng)βm=1.1 N/(mm·kg)，F(xiàn)n=1.6 N·rad/(s·kg)時(shí)，仿真結(jié)果如圖10所示。時(shí)間歷程無規(guī)律；功率譜出現(xiàn)噪聲背景和寬峰；相軌跡在有限區(qū)域內(nèi)不重復(fù)；Poincaré圖在有限的區(qū)域上有無限個(gè)孤立點(diǎn)存在。說明此時(shí)系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)[15]。

圖9　倍周期運(yùn)動(dòng)形態(tài)

圖10　混沌運(yùn)動(dòng)形態(tài)

由以上仿真分析可知，當(dāng)Fn、μ和βm取不同值時(shí)，系統(tǒng)在運(yùn)行過程中蘊(yùn)含豐富的非線性動(dòng)力學(xué)行為，可能做極限環(huán)型振蕩、倍周期運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而通向混沌運(yùn)動(dòng)。

4　結(jié)論

以電液伺服系統(tǒng)為研究對(duì)象，根據(jù)非線性動(dòng)力學(xué)原理，重點(diǎn)探究了彈簧力和摩擦力的非線性作用對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特征的影響規(guī)律。通過理論研究和仿真分析，得到了如下結(jié)論：

(1) 非線性彈簧力和非線性摩擦力的耦合作用特征可以用Duffing-Van Der Pol方程來描述。

(2) 系統(tǒng)外加激振力、阻尼系數(shù)和彈簧力非線性項(xiàng)系數(shù)的大小影響系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。當(dāng)三者參數(shù)取不同值時(shí)，系統(tǒng)可能做極限環(huán)型振蕩、倍周期運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而通向混沌運(yùn)動(dòng)。

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