李小笠，徐有峰，劉桂芝

(南京工程學(xué)院 工業(yè)中心，江蘇 南京 211167)

線性緩沖材料對彈性桿動態(tài)屈曲影響的理論研究

李小笠，徐有峰，劉桂芝

(南京工程學(xué)院 工業(yè)中心，江蘇 南京 211167)

通過分析兩種不同類型載荷對帶線性緩沖材料的彈性直桿的撞擊，得到撞擊條件下桿體屈曲發(fā)生的臨界彈簧剛度。結(jié)合具體材料進行計算，分析了臨界彈簧剛度與載荷作用時間、載荷幅值、緩沖材料和桿體長度的關(guān)系，以及緩沖材料位置對于桿體屈曲防護的影響等。所得結(jié)論為解決在不同沖擊載荷作用下彈性直桿的動態(tài)屈曲防護問題提供了理論依據(jù)。

緩沖材料；彈性桿；動態(tài)屈曲；階躍載荷

結(jié)構(gòu)屈曲問題最早是在18世紀(jì)中期由Euler提出的。他從兩端簡支的受壓理想桿體出發(fā)，給出了壓桿的臨界屈曲載荷，這就是著名的Euler靜態(tài)屈曲方程[1]。此后的研究也異?；钴S，研究內(nèi)容涉及桿、板、殼、拱等各類常見結(jié)構(gòu)單元在各種動載作用下的動力屈曲問題的各個方面，如屈曲準(zhǔn)則的建立、臨界載荷的確定、初缺陷的影響以及后分叉的分析等。

對于動態(tài)屈曲現(xiàn)象的研究，目前主要集中于理想脈沖載荷和階躍載荷作用下的問題。前者是短時超強載荷，后者的加載速率不能忽略。實際上，這兩種類型的載荷都可以簡化為單一參數(shù)(即載荷的幅值[2])的載荷。此外，中等速度撞擊載荷作為一種重要的動載，在實際工程應(yīng)用中也經(jīng)常遇到。比如艦船的梁和板受到海浪的撞擊就是一種中等速度的流固載荷。中等速度撞擊載荷具有中等的載荷持續(xù)時間，這一特性使得其既不同于脈沖載荷，也不同于階躍載荷[3]，因為它需要同時考慮載荷的幅值和持續(xù)時間。

在實際生活中，要避免結(jié)構(gòu)發(fā)生屈曲，除了從結(jié)構(gòu)本身設(shè)計考慮外，使用一定的緩沖材料也是一種有效的解決方法。特別是對于那些可能發(fā)生屈曲的結(jié)構(gòu)而言，使用緩沖材料可以吸收沖擊能量，減小沖擊加速度，對于結(jié)構(gòu)的動態(tài)屈曲能起到減小或者消除的作用。實際上，緩沖材料已經(jīng)應(yīng)用于工業(yè)生產(chǎn)中，對受沖擊的桿體或梁結(jié)構(gòu)起到很好的防

護作用。緩沖材料的材料性能、結(jié)構(gòu)參數(shù)對于受沖擊結(jié)構(gòu)的屈曲影響有多大，防止屈曲的閾值參數(shù)該如何選取，到目前為止，對這些問題的理論分析還不多見。

緩沖材料的實際彈性很復(fù)雜，主要分為線性和非線性兩大類。本文主要針對線性緩沖材料，從對桿體動態(tài)屈曲分析著手，討論緩沖材料對于桿體屈曲的影響，給出閾值條件并進行理論分析。桿體假設(shè)為理想彈性直桿，兩端簡支，受軸向壓縮載荷作用。載荷類型分為兩種，即中等速度撞擊載荷和階躍載荷。

1 基本方程

Euler-Bernoulli 梁理論[4]指出，一個簡支的、長度為L的桿體受到軸向外載P作用，如圖1所示。忽略桿體的剪切應(yīng)力和轉(zhuǎn)動慣量。在t=0時刻受到初始軸向擾動，通過對桿體的屈曲動力學(xué)分析，可以得到桿體最小彈性屈曲載荷Pcr：

式中：E為材料的楊氏模量；I為桿體橫截面慣性矩。

Pcr對應(yīng)桿體的一階屈曲模態(tài)，它表示彈性縱波從桿體一端傳播到另一端時，桿體恰好發(fā)生屈曲的情形。數(shù)值結(jié)果[5]和試驗研究都表明，直桿的動態(tài)屈曲常發(fā)生在一階屈曲模態(tài)下[6]。因此，本文把Pcr作為臨界動態(tài)屈曲載荷用于下面的分析中，即當(dāng)桿體受到的軸向力大于或等于Pcr時，就認(rèn)為桿體發(fā)生動態(tài)屈曲。

2 中等速度撞擊載荷作用下桿體的動態(tài)屈曲

中等速度撞擊載荷可以近似看成半正弦波形式，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

式中：θ為軸向撞擊載荷的頻率，θ=π/t0；Pt為載荷幅值；t0為載荷持續(xù)時間。在本文中，認(rèn)為t0小于彈性縱波從桿體撞擊端傳播到桿體另一端的時間tc(在t=tc時刻，桿體整個長度都發(fā)生軸向應(yīng)變，忽略反射波的作用)。若t0=tc，則用tc代替t0進行計算。根據(jù)文獻(xiàn)[7]，Pt=53.5kN，t0=0.018s，約為正弦波的半個周期，如圖2所示。

圖3所示的長為L，橫截面積為A的簡支直桿，緩沖材料位于撞擊側(cè)。線性緩沖材料因其所受載荷和變形程度成比例，因此可以將這種準(zhǔn)靜態(tài)下的力-變形行為表示為質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)中彈簧的性質(zhì)(下面都以彈簧系統(tǒng)代表緩沖材料)。

彈簧系統(tǒng)的等效質(zhì)量為ms，彈簧的剛度為k，滿足胡克定律。假設(shè)桿變形后橫截面仍為平面，且不考慮應(yīng)力波的傳播。當(dāng)中等速度載荷P(t)沿軸向撞擊時，彈簧系統(tǒng)受壓變形。其運動方程為：

φsinγi1-γi1sinφ

忽略質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)以及桿體的變形，并假設(shè)桿體與系統(tǒng)具有共同的軸向速度。桿體所受軸向力為彈簧力。如前所述，當(dāng)桿體軸向力等于最小彈性臨界屈曲載荷Pcr時，桿體發(fā)生屈曲。定義無量綱最小臨界屈曲載荷Dcr=Pcr/Pt。不同彈簧剛度kil對應(yīng)的彈簧力μil隨時間φ的變化關(guān)系如圖4所示。由圖4可知，隨著kil的增加，屈曲發(fā)生的時間不斷提前。

無量綱中等速度撞擊載荷P(t)/Pt和Dcr與時間φ的關(guān)系如圖5所示。在φ=φ1和φ=φ2區(qū)間，不同ki1值的μi1曲線與另外兩條線都相交，桿體動態(tài)屈曲就出現(xiàn)在這個區(qū)間，這與文獻(xiàn)[7]的試驗結(jié)果一致。當(dāng)三線交匯于φ=φ2時，μi1曲線具有臨界彈簧剛度ki1/cr。換句話說，彈簧系統(tǒng)的剛度如果小于ki1/cr，桿體就能避免發(fā)生動態(tài)屈曲。

φ1和φ2的值可由P(t)=Pt=Dcr獲得。根據(jù)三線交匯于一點，可以推出

于是，在中等速度撞擊載荷以及彈簧系統(tǒng)位于

撞擊側(cè)情況下，臨界彈簧剛度ki1/cr為

對ki1/cr進行無量綱化，可得到無量綱臨界剛度

式中：ρs為彈簧系統(tǒng)的密度；Ec為桿體的楊氏模量；βs為無量綱彈簧系統(tǒng)長度，βs=T/r，r=I/A，其中T為彈簧系統(tǒng)的長度,r為桿體橫截面回轉(zhuǎn)半徑，I為桿體橫截面慣性矩;A為彈簧系統(tǒng)的橫截面積。

如果彈簧系統(tǒng)位于遠(yuǎn)離撞擊一側(cè)，如圖6所示。用上述方法分析，可得桿體的無量綱軸向位移μir。

φsinγir-γirsinφ

類似地，臨界彈簧剛度的無量綱形式kir/cr可以表示為：

式中：ρc是桿體的密度；βc=L/r。

從式(7)和(9)可以看出，無量綱臨界彈簧剛度與撞擊載荷的幅值無關(guān)，而與載荷加載的時間有關(guān)。

3 階躍載荷作用下桿體的動態(tài)屈曲

如圖7所示，長為L的簡支理想彈性直桿，受到軸向階躍載荷P1(t)的作用，質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)位于撞擊側(cè)。階躍載荷的表達(dá)形式如下：

式中：Pt是載荷幅值；t0是動載加載時間。

對彈簧系統(tǒng)的運動進行分析，可以得到其無量綱軸向位移μs1的表達(dá)式，

圖8所示為具有不同ks1的μs1隨無量綱時間τ的變化情況。桿體受到的彈簧作用力μs1≥Dcr，階躍載荷P1(t)對桿體的持續(xù)作用時間為t0，從圖8可知，只有當(dāng)μs1曲線與P1(t)/Pt和Dcr表示的兩條直線同時相交，桿體屈曲才能發(fā)生。此外，隨著ks1值的增大，桿體發(fā)生屈曲的時間不斷提前(如圖8所示)。因此，t=t0對應(yīng)了臨界彈簧剛度ks1/cr，其表達(dá)式如下：

無量綱的臨界彈簧剛度χs1可以表示為：

若彈簧系統(tǒng)位于遠(yuǎn)離撞擊側(cè)的桿體一端，如圖9所示,桿體發(fā)生屈曲的條件是兩端受力都大于或等于臨界屈曲載荷，即P1(t)≥Pcr和ksrusr≥Pcr，其中ksr是此種工況下的彈簧剛度；usr是此種工況下的桿體軸向位移。usr表達(dá)式如下：

(14)

根據(jù)上述方程和條件，并且考慮階躍載荷作用的時間t0，可以得到臨界彈簧剛度ksr/cr:

臨界彈簧剛度的無量綱表達(dá)式如下：

式中：χsr是此種工況下的無量綱彈簧剛度。從式(13)和(16)可以看出，無量綱臨界彈簧剛度與載荷的幅值和加載時間都有關(guān)系。

4 算例和結(jié)果分析

以一矩形截面金屬桿為例進行計算分析。桿體材料為軟鋼，σy=389.24MPa，Ec=2.11×105MPa[7]。桿體截面尺寸為14.74mm×8.64mm，桿體長度L=500mm。階躍載荷和中等速度撞擊載荷的幅值Pt=53.5kN，持續(xù)加載時間t0=0.018s[8]。彈簧系統(tǒng)的密度ρs=100kg/m3。

圖10所示為中等速度撞擊載荷作用下，無量綱臨界彈簧剛度與無量綱長度的關(guān)系。從圖中可以看出，無論彈簧系統(tǒng)位于桿體的哪一側(cè)，臨界彈簧剛度隨彈簧系統(tǒng)長度(圖a)或者隨桿體長度(圖b)的增加而增大。但在θ值較小時，這種變化趨勢并不明顯；只有當(dāng)θ超過一定值后，臨界彈簧剛度隨無量綱長度增加顯著。這表明，采用增加彈簧系統(tǒng)長度或桿體長度來提高臨界彈簧剛度的方法只在一定θ值范圍內(nèi)有效。

由θ的定義可知，θ與載荷持續(xù)時間t0成反比，這意味著θ較大時，加載時間就短。由于中等速度撞擊載荷下桿體的屈曲與加載幅值和持續(xù)時間都相關(guān)，因此，在載荷幅值不變的前提下，加載時間縮短，桿體屈曲的概率就會下降。此時，使用臨界彈簧剛度更大一些的彈簧系統(tǒng)也能起到防護作用。同樣的解釋也適用于階躍載荷撞擊的情形。

對于中等速度撞擊載荷和階躍載荷情況，彈簧系統(tǒng)位置對于臨界彈簧剛度的影響主要與彈簧系統(tǒng)密度和桿體密度有關(guān)。一般情況下，ρc>ρs，所以彈簧系統(tǒng)遠(yuǎn)離撞擊側(cè)時臨界彈簧剛度更大，對桿體屈曲的防護效果更好。

對于中等速度撞擊載荷，臨界彈簧剛度僅與載荷作用時間有關(guān)；而對于階躍載荷，臨界彈簧剛度則與載荷的幅值和作用時間都相關(guān)。因此，在相同條件下，如圖11所示，中等速度載荷的臨界彈簧剛度高于階躍載荷。換句話說，同樣的緩沖材料，對于中等速度載荷撞擊下的桿體屈曲防護要好于階躍載荷。

5 結(jié)束語

本文討論了在兩種撞擊載荷(即中等速度撞擊載荷和階躍載荷)下，具有線性緩沖材料防護的彈性桿的動態(tài)屈曲條件，分析表明線性緩沖材料的結(jié)構(gòu)、材料參數(shù)以及所處位置對彈性桿體的動態(tài)屈曲都有影響。本文認(rèn)為屈曲發(fā)生過程的時間較長，因而忽略了應(yīng)力波在桿體中傳播的影響。實際上，在直桿受軸向壓力的情況下，應(yīng)力波的傳播對屈曲可能有較大的影響，特別是在沖擊速度較高時。由于應(yīng)力波的傳播，使得桿體發(fā)生屈曲的分叉時間可能小于載荷持續(xù)時間t0，則本文得到的臨界彈簧剛度的值可能會偏小。關(guān)于應(yīng)力波傳播對于有緩沖材料的桿體動態(tài)屈曲的影響將在下一步工作中進行研究。

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The simulation on the impact of linear buffer material of elastic rod to the dynamic buckling

LI Xiaoli, XU Youfeng, LIU Guizhi

(Nanjing Institute of Technology, Jiangsu Nanjing, 211167, China)

It analyzes the impact of two different types of load to elastic straight rod with linear buffer material, obtains the critical buckling spring stiffness of rod body under the condition of impact. Taking the rod material as model parameter, it simulates the relationship between critical spring stiffness with the load time, load amplitude with cushioning materials and the length of the rod. The result provides the theory reference for dynamic buckling protection of elastic straight rod under the different impact load.

buffer materials; elastic rod; dynamic buckling; step load

10.3969/j.issn.2095-509X.2015.03.008

2015-02-28

江蘇省第十批“六大人才高峰”資助項目(2013-ZBZZ-044)；南京工程學(xué)院2014年度校級高等教育研究課題(2014ZC16)

李小笠(1975—)，女，重慶人，南京工程學(xué)院副教授，博士，主要研究方向為機械設(shè)計制造及自動化。

O344.1

A

2095-509X(2015)03-0038-05