馬 飛，張建華，尹琳娟

MA Fei1,ZHANG Jianhua2,YIN Linjuan1

1.咸陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 咸陽(yáng)712000

2.陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，西安710062

1.College of Mathematics and Information Science,Xianyang Normal University,Xianyang,Shaanxi 712000,China

2.College of Mathematics and Information Science,Shaanxi Normal University,Xi’an 710062,China

1 引言

設(shè)A是一個(gè)環(huán)或代數(shù)，如果對(duì)任意的a,b∈A，aAb={0}蘊(yùn)涵a=0 或b=0，那么稱A是素的；如果aAa={0}蘊(yùn)涵a=0，那么稱A是半素的。如果可加映射φ:A→A滿足對(duì)任意的a,b∈A有φ(ab)=φ(a)b(φ(ab)=aφ(b)),那么稱φ是一個(gè)左（右）中心化子；如果有φ(a2)=φ(a)a(φ(a2)=aφ(a))成立，那么稱φ是一個(gè)左（右）Jordan 中心化子。如果φ既是左中心化子又是右中心化子，那么稱φ是中心化子。與中心化子密切相關(guān)的一類(lèi)重要映射是中心化映射：若映射φ:A→A滿足對(duì)任意的a∈A，有φ(a)a-aφ(a)∈Z(A)（Z(A)為A的中心），則稱映射φ是中心化的；特別的，若φ(a)a=aφ(a)，則稱映射φ是可交換的。

關(guān)于中心化子的研究一直深受研究人員的關(guān)注。如Beidar[1]證明了若半素環(huán)R上的映射φ既是左Jordan中心化子，又是右Jordan 中心化子，則存在環(huán)R的擴(kuò)展中心中的元素λ，使得φ(a)=λa對(duì)任意的a∈R都成立；Vukman[2]對(duì)2-非擾自由半素環(huán)R上的可加映射φ證明了，如果對(duì)任意的a∈R，有2φ(a2)=φ(a)a+aφ(a)，那么φ是中心化子；Zalar[3]證明2-非撓的半素環(huán)上的任意的左（右）Jordan 中心化子是左（右）中心化子；Benkovi?和Eremita[4]證明2-非撓的素環(huán)上的可加映射φ如果滿足對(duì)任意的a∈R,n≥2 都有φ(an)=φ(a)an-1，那么φ是左 中 心 化 子；Vukman[5]推 廣Benkovi? 和Eremita 的 結(jié)論，證明在標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)A上，若可加映射φ滿足對(duì)任意的a∈A，有φ(am+n+1)=amφ(a)an（其中m、n為正整數(shù)），則存在數(shù)域F中的常數(shù)λ，使得對(duì)任意的a∈A,有φ(a)=λa。楊[6]將Vukman 的結(jié)果推廣到了套代數(shù)上，證明了在套代數(shù)上的可加映射φ若滿足(m+n)φ(ar+1)=mφ(a)ar+narφ(a)（也 稱 為 廣 義Jordan 中 心 化 子）或φ(am+n+1)=amφ(a)an,則存在數(shù)域F中的常數(shù)λ,使得對(duì)任意的a∈A,有φ(a)=λa。文獻(xiàn)[7]證明：設(shè)T是一個(gè)三角代數(shù)，如果一個(gè)可加映射φ:T→T滿足，對(duì)任意的a∈T,有(m+n)φ(ar+1)-mφ(a)ar-narφ(a)∈Z(T)或φ(am+n+1)-amφ(a)an∈Z(T) 成 立（ 其 中m,n,r為 正 整數(shù)），那么存在T的中心中的元素λ∈Z(T)，使得對(duì)任意的a∈T，有φ(a)=λa。類(lèi)似結(jié)果可見(jiàn)文[8-10]。

設(shè)H是一個(gè)復(fù)可分的Hilbert 空間，L是H上的子空間格。其子空間格代數(shù)為AlgL={T∈B(H):T(l)?L,?l∈L}。如果一個(gè)子空間格L中的任意兩個(gè)投影是可交換的，則稱L是交換子空間格，簡(jiǎn)稱CSL，相應(yīng)的稱AlgL為CSL 代數(shù)。一個(gè)全序子空間格N稱為套，相應(yīng)的代數(shù)AlgN稱為套代數(shù)。若?0 ≠e∈L,有e= ∨{l∈L:l?N-},則稱CSL 是完全分配格，其中N-= ∨{P∈L:N?P}，相應(yīng)的稱完全分配格的CSL 代數(shù)為CDC-代數(shù)。本文主要討論具有完全分配交換子空間格的代數(shù)，關(guān)于完全分配格代數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)定義見(jiàn)文獻(xiàn)[11-12]。顯然，套是完全分配的交換子空間格，也是其最重要的模型。

由文獻(xiàn)[13]可知，CDC-代數(shù)是由其包含的秩一算子弱*閉生成的算子代數(shù)，這個(gè)結(jié)果對(duì)研究CDC-代數(shù)具有重要的意義；文獻(xiàn)[14-15]分別研究了CDC-代數(shù)上的代數(shù)同構(gòu)、線性導(dǎo)子及線性Lie 導(dǎo)子。在CDC-代數(shù)AlgL中，記U(L)={e∈L:e≠0,e-≠H}, 稱U(L) 中 的e,e′是連通的，如果存在e1,e2,…,en∈U(L),使得ei與ei+1可比，e0=e，en+1=e′(i=0,1,…,n)。設(shè)C?U(L),如果C中任意兩個(gè)元素是連通的，并且C中的任何元素與U(L)C中的元素都不連通，那么稱C是U(L)的一個(gè)連通分支。設(shè)L是復(fù)可分的Hilbert 空間H上的一個(gè)完全分配的交換子空間格，由文獻(xiàn)[16]可知，AlgL是不可約的，當(dāng)且僅當(dāng)其交換子是平凡的，即其一次換位是FI，也等價(jià)于L∩L⊥={0,I},其中L⊥={e⊥:e∈L}。顯然，套代數(shù)是一個(gè)不可約的CDC-代數(shù)。受中心化子和中心化映射及上述結(jié)論的啟發(fā)，本文主要證明：CDC-代數(shù)AlgL上的可加映射φ,如果滿足對(duì)任意的正整數(shù)m,n≥1 和a∈AlgL，有φ(am+n+1)=amφ(a)an，那么存在λ∈Z(AlgL)，使得對(duì)任意的a∈AlgL,有φ(a)=λa（見(jiàn)定理2.1）。

2 主要結(jié)果及證明

本文的主要結(jié)論如下：

定理2.1設(shè)AlgL是Hilbert空間H上的CDC-代數(shù)，φ:AlgL→AlgL是一可加映射。若存在正整數(shù)m,n≥1,使得對(duì)于任意a∈AlgL,有：

則存在Z(AlgL) 中的常數(shù)λ，使得對(duì)任意的a∈AlgL，有φ(a)=λa。

為了證明這個(gè)結(jié)論，首先考慮在不可約CDC-代數(shù)上的情形。在不可約CDC-代數(shù)上，文獻(xiàn)[14]證明了下面的結(jié)論。

引理2.1[14]設(shè)AlgL是Hilbert 空間H上的不可約CDC-代數(shù)，則存在一個(gè)非平凡投影e∈L，使得e(AlgL)e⊥是忠實(shí)的AlgL-雙邊模。這里忠實(shí)的AlgL-雙邊模指的是對(duì)于任意的a∈AlgL，若ae(AlgL)e⊥={0}，則有ae=0；若e(AlgL)e⊥a={0}，則有e⊥a=0。

為了證明定理2.2，需要證明下面的結(jié)論：

引理2.2設(shè)AlgL是Hilbert 空間H上的不可約CDC-代數(shù)，φ:AlgL→AlgL是一可加映射。若存在正整數(shù)m,n≥1,使得對(duì)于任意a∈AlgL,有：

則存在數(shù)域F中的常數(shù)λ,使得對(duì)任意的a∈AlgL,有φ(a)=λa。

證明若L={0,H},即L只有平凡投影，則AlgL=B(H是素的，則由文獻(xiàn)[10]的主要結(jié)論可知，存在數(shù)域F中的常數(shù)λ,使得對(duì)任意的A∈AlgL,有φ(a)=λa。

下面假設(shè)L是非平凡的。由引理2.1 可知，存在非平凡投影e∈L,使得e(AlgL)e⊥是忠實(shí)的AlgL-雙邊模。令e1=e,e2=I-e，則e1,e2∈AlgL且均為投影。則對(duì)于任意的a∈AlgL可分解為：

a=e1ae1+e1ae2+e2ae2

因而可將AlgL代數(shù)分解為：

AlgL=A11⊕A12⊕A22

其中Aij=ei(AlgL)ej。

在式（2）中用a+b代替a可得：

(m+n)φ(ab+ba)=mφ(a)b+naφ(b)+

特別的，在式（3）中令b=I，則有：

下面分三個(gè)步驟來(lái)完成本引理的證明。

結(jié)論1對(duì)于任意aij,bij∈Aij，有φ(Aij)?Aij(1 ≤i≤j≤2)。

由φ滿足式（2）可得：

(m+n)φ(ei)=mφ(ei)ei+neiφ(ei)

上式兩邊分別左乘和右乘ei，則對(duì)于i=1,2,有：

又因?yàn)?m+n)φ(ei)=mφ(I)ei+neiφ(I)。對(duì)上式兩邊分別左乘和右乘ei，可得：

對(duì)任意aii∈Aii(i=1,2)，由式（3）可知：

對(duì)上式兩邊左乘和右乘ei，且由式（6）可知：eiφ(aii),φ(aii)ei∈Aii，即φ(aii)=eiφ(aii)ei∈Aii。

對(duì)任意a12∈A12，由式（4）可知：

(m+n)φ(a12)=mφ(I)a12+na12φ(I)

對(duì)上式兩邊分別左乘e2和右乘e1，則有：

(m+n)e2φ(a12)=me2φ(I)a12=mφ(I)e2a12=0

及 (m+n)φ(a12)e1=na12φ(I)e1=na12e1φ(I)=0

因而有φ(a12)e1=e2φ(a12)=0。即φ(a12)=e1φ(a12)=φ(a12)e2=e1φ(a12)e2∈A12。

結(jié)論2對(duì)于任意的aij,bij∈Aij，有：

（1）φ(a11b12)=φ(a11)b12=a11φ(b12)

φ(a12b22)=φ(a12)b22=a12φ(b22)

（2）φ(a11b11)=φ(a11)b11=a11φ(b11)

φ(a22b22)=φ(a22)b22=a22φ(b22)

由式（2）、（3）及結(jié)論1 可知，對(duì)任意的a11∈A11,b12∈A12有：

在上式中取a11=e1，有：

即φ(b12)=φ(e1)b12。

同理可證：φ(a12)=a12φ(e2)。從而有：

φ(a11b12)=a11b12φ(e2)=a11φ(b12)

和φ(a11b12)=φ(e1)a11b12=φ(a11)b12

類(lèi)似可得：

對(duì)任意的a12∈A12，由式（7）可知：

φ(a11b11)a12=φ(a11b11a12)=φ(a11)b11a12

且φ(a11b11)a12=φ(a11b11a12)=a11φ(b11a12)=a11φ(b11)a12

在不可約CDC-代數(shù)中，由e(AlgL)e⊥是忠實(shí)的AlgL-雙邊模，因而A12是忠實(shí)的(A11,A22)-雙模，因而有：

φ(a11b11)=φ(a11)b11=a11φ(b11)

對(duì)任意的a12∈A12，由式（8）可知，a12φ(a22b22)=φ(a12a22b22) =a12a22φ(b22) 且a12φ(a22b22) =φ(a12a22b22) =φ(a12a22)b22=a12φ(a22)b22。因而有：

φ(a22b22)=φ(a22)b22=a22φ(b22)

結(jié)論3對(duì)于任意的a∈A，有φ(a)=λa。

對(duì)于任意的a,b∈AlgL，則存在aij,bij∈Aij，使得：a=a11⊕a12⊕a22,b=b11⊕b12⊕b22。

由結(jié)論1 和結(jié)論2 可知：

上式中取B=I可得對(duì)任意的A∈AlgL有φ(A)=φ(I)A=Aφ(I)。因?yàn)樵贏lgL中其換位子是平凡的，即(AlgL)′=FI因而存在λ∈F，使得φ(I)=λI，從而對(duì)任意A∈A，有φ(A)=λA。

定理2.2 的證明在式（1）中用a+tI代替a（其中為數(shù)域F中的任意數(shù)），由φ的可加性得：

由t的任意性可知，對(duì)于任意的t的i次方，式（9）都成立。特別的，當(dāng)t的次方為m+n-1 時(shí)，由等式兩邊系數(shù)相等可得：

當(dāng)t的次方為m+n時(shí)，由等式兩邊系數(shù)相等可得：

對(duì)式（10）兩邊左乘和右乘A可得：

上兩式相加得：

在式（11）中用a2代替a，得：

ma2φ(I)+nφ(I)a2=(m+n)φ(a2)

比較上兩式可知：

(m+n)aφ(I)a=(m+n)(φ(a)a+aφ(a))-(m+n)φ(a2)

將式（14）帶入式（12）與（13）可得：

將aφ(I)a,a2φ(I)及φ(I)a2帶入式（10），從而得到一個(gè)關(guān)于aφ(a),φ(a)a及φ(a2)的等式：

化簡(jiǎn)得：

(m+n)φ(a2)=maφ(a)+nφ(a)a

即φ滿足式（2）。由引理2.2 知，存在λ∈F，使得對(duì)任意a∈AlgL，有φ(a)=λa。

Gilfeather 和Moore 在文獻(xiàn)[16]中證明了任何一個(gè)CDC-代數(shù)都可以分解成可數(shù)個(gè)不可約CDC-代數(shù)的直和，這個(gè)結(jié)果在研究CDC-代數(shù)的同構(gòu)和導(dǎo)子等時(shí)具有非常重要的作用，下面給出這個(gè)結(jié)論。

定 理2.1 的 證 明設(shè)en=∨{e:e∈Cn,n∈Λ} 為 引 理2.3 所述的投影，則有：

并且顯然有：

(AlgL)en=en(AlgL)en=Alg(enL)

因?yàn)閑n=∨{e:e∈Cn,n∈Λ}是Hilbert空間H上的投影，因此，其也是Hilbert空間。因而，(AlgL)en是Hilbert空間en上的不可約CDC-代數(shù)，并且這里的收斂指的是強(qiáng)收斂。由引理2.3 中的en的定義可知，其線性張的閉包就是Hilbert 空間H,并且{en,n∈Λ}?L∩L⊥兩兩正交，因而有∑en=I為AlgL的單位元。

對(duì)于任意的a∈AlgL和任意的n,由φ滿足式（1），因而取a=en可得：

φ(en)=enφ(en)en

分別左右乘en,有：

φ(en)=enφ(en)en=enφ(en)=φ(en)en

又因?yàn)?AlgL)en是en上的不可約CDC-代數(shù)，從而由引理2.2 的證明可知，φ滿足式（3），從而有：

結(jié)合引理2.2 的第一步，可得：

所以有：

φ(enaen)=enφ(enaen)en

設(shè)在Alg(enL) 上有φ=φn，即φn為φ在Alg(enL上的限制，則有φn:Alg(enL)→Alg(enL) 是可加映射并且在Alg(enL)=(AlgL)en=en(AlgL)en上滿足引理2.2，則由引理2.2 知，對(duì)于任意的a∈Alg(enL),存在λ∈F，使得φn(a)=λa。

設(shè)an,a∈AlgL，an是強(qiáng)收斂于a的，則對(duì)于任意的H中的x,結(jié)合引理2.2的證明可知φ滿足式（4），因而有：

從而，對(duì)于任意的a∈AlgL，有：

φ(a)=φ(I)a=aφ(I)

即φ(I)∈Z(AlgL)，因 而 存 在λ=φ(I)∈Z(AlgL), 使 得φ(a)=λa。

通過(guò)定理2.1 的證明過(guò)程，很容易得到下面的推論。

推論2.1設(shè)AlgL是Hilbert空間H上的CDC-代數(shù)，φ:AlgL→AlgL是一可加映射，則下面幾個(gè)條件等價(jià)。

（1）存在λ∈Z(AlgL)，使得對(duì)任意a∈AlgL，有φ(a)=λa。

（2）存在正整數(shù)m,n，使得對(duì)任意的a∈AlgL,有：φ(am+n+1)=amφ(a)an。

（3）對(duì)任意的正整數(shù)m,n,r和任意的a∈AlgL，有：φ(am+n+1)=amφ(a)an。

（4）φ:AlgL→AlgL是中心化子。

3 結(jié)論

本文主要研究了CDC-代數(shù)AlgL上的滿足φ(am+n+1)=amφ(a)an可加映射φ,有φ(a)=λa（其中λ∈Z(AlgL)）的固定形式，給出了CDC-代數(shù)上的保持映射的刻畫(huà)，具有一定的理論意義。

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